POLYÈDRES RÉGULIERS



FORMES GÉOMÉTRIQUES

1. Surfaces connues

1.1. Polygones

1.1.1. Rectangle

1.1.2. Carré

1.1.3. Triangle

1.1.4. Triangle isocèle

1.1.5. Triangle équilatéral

1.1.6. Triangle équilatéral

1.1.7. Triangle rectangle

1.1.8. Trapèze

1.1.9. Parallèlogramme

1.1.10. Losange

1.1.11. Cercle

1.1.12. Ellipse

2. Volumes connus

2.1. Polyèdres

2.1.1. Parallélépipède

2.1.2. Prisme

2.1.3. Pyramide

2.2. Polyèdres réguliers

2.2.1. Tétraèdre régulier

2.2.2. Hexaèdre régulier

2.2.3. Octaèdre régulier

2.2.4. Icosaèdre régulier

2.2.5. Tétraèdre régulier

2.3. Corps de révolutions

2.3.1. Cylindre

2.3.2. Cône

2.3.3. Sphère

2.3.4. Tore

2.3.5. Ellipsoïde

2.3.6. Paraboloïde

2.3.7. Tonneau à section circulaire

Définitions:

D1. Un "polyèdre régulier" est constitué de faces toutes identiques et régulières.

D2. Un "polyèdre convexe" est tel que chaque point d'un segment de droite qui joint deux points quelconques appartient au polyèdre.

Les polyèdres réguliers sont au nombre de neuf, dont cinq sont convexes et étaient connus de Platon. Nous appelons parfois polyèdres réguliers uniquement les solides de Platon et ce sont ceux-ci qui vont nous intéresser ici.

Démontrons d'abord n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes qui sont donc appelés les "les cinq solides platoniciens" (les autres colonnes du tableau ci-dessous seront démontrées et expliquées un peu plus loin) :

Nom (m,n)

Image

S

A

F

F - A + S

Tétraèdre (3,3)

equation

4

6

4

2

Hexaèdre ou cube (4,3)

equation

8

12

6

2

Octaèdre (3,4)

equation

6

12

8

2

Dodécaèdre  (5,3)

equation

20

30

12

2

Icosaèdre (3,5)

equation

12

30

20

2

Tableau: 2161  - Cinq polyèdres réguliers

Démonstration:

Soient m le nombre de côtés de chaque face d'un polyèdre régulier, n le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet. Nous avons alors que chaque angle d'une face quelconque est donné par :

equation   (26.101)

Attention c'est l'angle equation qui définit donc l'angle d'une face et non pas equation!

Ce qui découle de la figure suivante :

equation
  (26.102)  

où nous avons :

equation   (26.103)

et :

equation   (26.104)

Mais, la somme des n angles groupés autour d'un sommet est plus petit que les n angles qui coupent un plan en partie égales (nous supposerons cela intuitif par découpage)! Chacun d'eux est donc inférieur à :

equation   (26.105)

donc :

equation   (26.106)

d'où :

equation   (26.107)

Les nombres m et n sont tous deux au moins égaux à 3 (le plus petit polygone étant le triangle). Il en résulte que les seuls cas possible sont :

equation   (26.108)

equationC.Q.F.D.

Notons maintenant F le nombre de faces, A le nombre d'arêtes et S le nombre de sommets. Alors, rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Théorie Des Graphes la "formule d'Euler" (ou "théorème de Descartes-Euler") que :

equation   (26.109)

et celle-ci est bien évidemment valable aussi pour l'aplatissement d'un polyèdre dans la plan (et donc in extenso d'un polyèdre).

Remarque: La représentation sous forme d'un graphe de l'aplatissement d'un polyèdre est appelé "diagramme de Shlegel".

equation
  (26.110)

Dans le cas des polyèdres réguliers, chaque face possède m arêtes de sorte que equationest l'ensemble des arêtes des faces et comme chaque arête rencontre exactement deux faces, nous avons l'égalité (prendre un exemple pour s'en convaincre au cas où!) :

equation   (26.111)

et comme n est le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet, et que chaque arête relie deux sommets, nous avons également :

equation   (26.112)

Soit :

equation   (26.113)

En injectant dans la formule d'Euler, nous avons alors :

equation   (26.114)

et nous retrouvons l'inégalité du théorème précédente. Reprenons notre calcul :

equation   (26.115)

d'où nous tirons :

equation   (26.116)

Nous pouvons maintenant entreprendre la classification des polyèdres réguliers.

Le tétraèdre equation :

equation   (26.117)

L'octaèdre equation :

equation   (26.118)

L'hexaèdre equation ou cube :

equation   (26.119)

L'icosaèdre equation:

equation   (26.120)

Le dodécaèdre equation:

equation   (26.121)

ce qui termine notre classification.

TÉTRAÈDRE RÉGULIER

Nous avons montré que pour le tétraèdre equation et il est relativement aisé de deviner qu'un tel polyèdre est formé de 3 triangles équilatéraux identiques comme le montre la figure ci-dessous :

 equation
  (26.122)

Pour cela, commençons par étudier le triangle équilatéral suivant :

 equation
  (26.123)

Dans ce triangle équilatéral, a est la côté, h la hauteur. Les médiatrices sont h, h', h'' des côtés respectifs BC, AB, AC.

h et h' se coupent en un point P (barycentre). Par construction du triangle équilatéral, nous avons equation (il suffit d'appliquer Pythagore pour le démontrer).

Nous avons par ailleurs démontré lors de notre étude du triangle, que le barycentre de celui-ci se situe toujours à 2/3 de la hauteur de la médiane. Comme médiane et médiatrices sont confondues dans le cas du triangle équilatéral, nous avons alors equation.

Maintenant, nous tirons une droite passant par le point P et perpendiculaire au plan dans lequel se trouve le triangle. Soit D un point sur cette droite, comme equation nous aurons bien sûr equation (il suffit d'appliquer Pythagore à nouveau!).

Il ne nous reste donc plus qu'à nous arranger pour que equation et nous aurons le tétraèdre régulier que nous voulions. Nous calculons alors :

equation   (26.124)

et donc :

equation   (26.125)

donc :

equation   (26.126)

 equation
  (26.127)

La médiatrice de BC passant par M coupe H en un point O, qui n'est rien d'autre que le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre. En effet, par construction, nous avons equation et la médiatrice nous donne equation.

Thalès nous donne également :

equation   (26.128)

et pour les développements qui suivront nous poserons equation.

Calculons maintenant la surface totale. Elle sera nécessairement donnée par la surface d'une seule face multipliée par le nombre de faces, et comme nous avons démontré comment calcul la surface d'un triangle plus haut il vient immédiatement :

equation   (26.129)

Pour le volume c'est tout aussi simple puisque nous avons démontré plus haut quel était celui d'une pyramide. Il vient alors immédiatement :

equation   (26.130)

HEXAÈDRE RÉGULIER (CUBE)

Le cube est le polyèdre régulier qui nous est le plus familier, il compte 6 faces et sa construction ne nécessite probablement pas d'être présentée.

 equation
  (26.131)

Puisque tous les côtés sont de longueur a, la surface est simplement donné par la multiplication de la surface des 6 faces. Ainsi :

equation   (26.132)

et le volume :

equation   (26.133)

OCTAÈDRE RÉGULIER

Nous avons montré que pour l'octaèdreequation et il est relativement aisé de deviner que l'octaèdre régulier est formé (par définition) de 6 triangles équilatéraux identiques.

Pour construire, et montrer qu'il est possible de construire, un tel polyèdre nous posons comme précédemment que son côté vaut a.

 equation
  (26.134)

Ensuite, nous notons O le point d'intersection des deux diagonales. Nous avons alors :

equation   (26.135)

et :

equation   (26.136)

Sur la droite perpendiculaire au plan qui contient notre carré, et passant par O, nous ajoutons deux sommets E, F à une distance que nous calculons comme suit :

equation   (26.137)

d'où nous tirons :

equation   (26.138)

Donc :

equation   (26.139)

Notre polyèdre est bien composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Chaque sommet compte quatre arêtes et quatre faces, ce qui nous permet d'affirmer qu'il est bien régulier et termine ainsi notre construction.

La surface de l'octaèdre régulier est :

equation   (26.140)

avec h étant la hauteur du triangle équilatéral de côté a que nous avons déjà calculé plus haut. Pour le volume, c'est encore basé sur celui de la pyramide. Ainsi :

equation   (26.141)

Et nous supposerons qu'il est évident pour le lecteur que notre octaèdre est inscrit dans une sphère de rayon R dont le centre est le point O. Pour R, nous avons :

equation   (26.142)

Montrons déjà maintenant que nous pouvons construire l'icosaèdre régulier à partir de l'octaèdre et que ce premier existe est bien constructible.

Pour cela, nous allons d'abord considérer un repérage vectoriel des points suivants de l'octaèdre avec l'origine O placée au barycentre:

 equation
  (26.143)

Nous avons alors :

equation   (26.144)

Une fois ceci posé, considérons la figure suivante :

 equation
  (26.145)

Sur la figure ci-dessus, A' est un point qui part de A et qui arrive en B, et soit B' un point qui part de C et qui arrive en B, et pour finir E' un point qui part de B et arrive en E. Ces trois points partent en même temps et avancent à la même vitesse. Si nous suivons ces trois points, qui forment un triangle A'B'E', nous sentons bien intuitivement qu'il existe un lieu tel que A'B'E' soit un triangle équilatéral.

Déterminons ce lieu :

equation   (26.146)

et donc :

equation   (26.147)

et nous voulons :

equation   (26.148)

Alors :

equation   (26.149)

Soit :

equation   (26.150)

Ce qui se simplifie en :

equation   (26.151)

et comme equation, nous obtenons pour la résolution de ce polynôme du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique) la seule solution acceptable  :

equation   (26.152)

le lecteur remarquera peut-être qu'il s'agit de l'inverse du nombre d'or.

Selon la figure ci-dessous, si nous posons equation alors nous retrouvons à nouveau la même valeur pour equation (soit le lecteur le vérifiera lui-même, soit nous sur demande nous pouvons faire le détail des calculs) et idem pour tous les autres points :

 equation
  (26.153)

Notre nouveau polyèdre comporte donc une face par face de l'octaèdre et une face par arête de l'octaèdre. Nous avons ainsi vingt faces composées de triangles équilatéraux identiques. De plus, cinq arêtes et cinq faces se rencontrent en chaque sommet. Nous obtenons alors un icosaèdre régulier.

Nous avons pour les coordonnées de chaque sommet (il faut bien observer que les sommets sont opposés par paire en une composante sur la figure) :

equation   (26.154)

ICOSAÈDRE RÉGULIER

Nous avons vu précédemment comment construire l'icosaèdre régulier. Il existe donc bien.

equation
  (26.155)

Connaissant les coordonnées des différentes sommets, calculons maintenant la surface et le volume de l'icosaèdre régulier.

Le calcul de la surface est simple puisqu'il s'agit de 20 triangles équilatéraux. Nous avons doc :

equation   (26.156)

donc :

equation   (26.157)

Donc :

equation   (26.158)

Donc :

equation   (26.159)

Le calcul du volume est lui un peu plus subtil...

L'icosaèdre est construit autour du pentagone et de la section d'or comme nous avons pu nous en apercevoir lors de notre étude de l'octaèdre.

Si jamais le lecteur n'est pas convaincu voici une figue supplémentaire où nous voyons bien que chaque arête de l'icosaèdre est une arête d'un pentagone (AFECB, LGHJK, DAJKC, DEGHA, BJILC, FELIH...) :

equation
  (26.160)

 

Utilisant la méthode des pyramides, nous avons 20 triangles équilatéraux qui servent de base à une pyramide dont la hauteur va jusqu'à l'origine O de l'icosaèdre (où l'origine confondue de la sphère inscrite ou circonscrite).

Prenons pour exemple la base ABD avec l'intersection des médiatrices se trouvant au point M comme représenté ci-dessous.

equation
  (26.161)

Comme nous le savons, le volume de chaque pyramide est :

equation   (26.162)

La surface b est dans notre situation celle du triangle équilatéral ADB et la hauteur h est le segment OM.

Si nous notons a le côté de triangle, alors la surface est donnée par :

equation   (26.163)

Pour trouver h, nous savons par construction du point M que les triangles OMA, OMB, OMD sont des triangles rectangles.

Travaillions arbitrairement avec le triangle OMD. D'abord, déterminons la longueur DM. Nous avons démontré lors de notre étude des médiatrices de longueur H du triangle équilatéral (cf. chapitre de Géométrique Euclidienne) que DM vaut alors :

equation   (26.164)

Or :

equation   (26.165)

Donc finalement :

equation   (26.166)

Pour trouver h nous devons trouver la longueur equation en termes de longueur des arêtes a de l'icosaèdre. Pour cela, nous devons reconnaître une des propriétés géométrique élémentaires de l'icosaèdre.

Avant d'aller plus loin, montrons une propriété du pentagone ci-dessous avec ses diagonales d et ces cotés c :

equation
  (26.167)

BSEA est  un parallélogramme. Effectivement, la diagonale BD est parallèle au côté AE (par exemple, parce que tout deux sont perpendiculaire à l'axe de symétrie passant par OC). Comme S est sur BD, cela prouve que BS et AE sont parallèles. Nous montrons de la même manière que AB et SE sont parallèles.

Nous en déduisons que :

equation   (26.168)

et de même pour CS :

equation   (26.169)

Continuons..., nous avons l'égalitéequation. Comme de plus CD et BE sont parallèles, les triangles SCD et ABE sont semblables. Par conséquent, les rapports de distances entre leurs côtés sont conservés (Thalès) :

equation   (26.170)

d'où la relation :

equation   (26.171)

Si equation désigne maintenant le rapport d/c, la relation précédente devient :

equation   (26.172)

et equation étant strictement positif, nous avons déjà vu lors de notre étude de l'octaèdre que l'unique racine positive est le nombre d'or :

equation   (26.173)

Nous venons donc de montrer qu'une diagonale d'un pentagone est égale au nombre d'or multiplié par la longueur d'une arête de ce même pentagone.

Ainsi, nous avons dans les pentagones AFECB et LGHJK de notre icosaèdre :

equation   (26.174)

Remarquons également le rectangle FBGK dont le barycentre est confondu avec celui de l'icosaèdre. Par ailleurs, FK et BG représentent par construction le diamètre de la sphère circonscrite à l'icosaèdre et donc equation en sont le rayon r que nous allons cherchons.

Nous avons :

equation   (26.175)

Donc :

equation   (26.176)

d'où :

equation   (26.177)

Maintenant, nous pouvons calculer h :

equation   (26.178)

Or :

equation   (26.179)

puisque le nombre d'or est racine de l'équation equation.

Soit :

equation   (26.180)

Donc finalement :

equation   (26.181)

et :

equation   (26.182)

Ainsi, le volume d'une pyramide de l'icosaèdre est :

equation   (26.183)

Comme il y a 20 pyramides :

equation   (26.184)

DODÉCAÈDRE RÉGULIER

Faut d'avoir trouvé dans la littérature une manière esthétiquement et simple de faisabilité de construction du dodécaèdre, nous nous en passerons pour l'instant (il est possible de vivra sans).

Remarquons simplement que le dodécaèdre est composé de 12 pentagones réguliers et son volume est assimilable à un parallélépipède sur lequel nous avons posé sur chacune des faces une sorte de petit toit qui au final donner les pentagones :

equation
  (26.185)

Pour notre étude du dodécaèdre, nous nous intéresserons uniquement à déterminer sa surface et son volume.

Pour cela, considérons dans un premier temps le pentagone régulier ci-dessous :

equation
  (26.186)

Nous allons d'abord devoir déterminer la longueur de h et de b.

Rappelons d'abord que nous avons lors de notre étude l'icosaèdre déjà démontré que la diagonale d'un pentagone est reliée à la longueur de ses côtés par la relation :

equation   (26.187)

equation est donc le nombre d'Or. Il nous reste alors à déterminer h.

Il est d'abord évident que equation et que :

equation   (26.188)

Or, deux informations nous manquent ici : l'angle et c. Commençons par déterminer combien vaut le cosinus sans utiliser la calculatrice (vous comprendrez pourquoi...).

Nous avons d'abord selon la relation (cf. chapitre de Trigonométrie) equation :

equation   (26.189)

Ce qui s'écrit aussi :

equation   (26.190)

Mais cela s'écrit également en utilisant toujours la même relation trigonométrique remarquable :

equation   (26.191)

Soit après simplification :

equation   (26.192)

En faisant un changement de variable et en réarrangeant les différents termes :

equation   (26.193)

Nous avons -1 et 1/2 qui sont deux racines évidentes et nous obtenons donc (cf. chapitre de Calcul Algébrique) :

equation   (26.194)

Nous n'avons plus qu'à résoudre une simple équation du deuxième degré dont la solution est triviale en appliquant les méthodes vues dans le chapitre de Calcul Algébrique, et nous obtenons :

equation   (26.195)

Soit en ne prenant que la seule solution admissible nous avons alors :

equation   (26.196)

nous retrouvons donc nombre d'Or là aussi! et ceci nous amène directement à écrire que :

equation   (26.197)

Il nous reste à déterminer c. Nous avons :

equation   (26.198)

et comme equation nous avons :

equation   (26.199)

et donc :

equation   (26.200)

d'où :

equation   (26.201)

Nous avons donc pour le calcul de la surface du pentagone, une surface composée de 12 pentagones dont chacun est composé d'un triangle de base a et de hauteur h.

equation   (26.202)

Pour calculer le volume nous allons faire usage de l'astuce mentionnée au début. C'est-à-dire de découper dans un premier temps le dodécaèdre en un parallélépipède de côté :

equation   (26.203)

puisque le côté du parallélépipède est une diagonale du pentagone de côté s et de 6 petits toits (qui sont bien visibles sur la figure du dodécaèdre donnée précédemment).

Chaque petit toit selon deux vues différentes aura les longueurs suivantes (où nous retrouvons bien évidemment pour certaines arêtes celles des pentagones s ou encore les diagonales c de ceux-ci) :

equation
  (26.204)

Pour chaque petit toit nous traitons à part les extrémités en les séparant et en les réunissant. Finalement nous avons deux morceaux à traiter : la partie majeure du toit visible à gauche sur la figure ci-dessous et la partie secondaire du toit à droite sur la figure qui n'est d'autre que la réunion des extrémités du toit :

equation
  (26.205)

Il nous faut donc déterminer x et l  et h puisque c et s nous sont déjà connus.

D'abord nous voyons trivialement que :

equation   (26.206)

Du théorème de Pythagore, nous avons alors :

equation   (26.207)

En combinant ces deux relations, nous avons :

equation   (26.208)

Il vient alors :

equation   (26.209)

Donc :

equation   (26.210)

Nous pouvons maintenant calculer le volume equation de chacune des 6 petits toits :

equation   (26.211)

Donc le volume total du dodécaèdre est finalement le volume des 6 petits toits sommé au volume du parallélépipède central :

equation   (26.212)


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