COURS SUR LES FORMES GÉOMÉTRIQUES



FORMES GÉOMÉTRIQUES

1. Surfaces connues

1.1. Polygones

1.1.1. Rectangle

1.1.2. Carré

1.1.3. Triangle

1.1.4. Triangle isocèle

1.1.5. Triangle équilatéral

1.1.6. Triangle équilatéral

1.1.7. Triangle rectangle

1.1.8. Trapèze

1.1.9. Parallèlogramme

1.1.10. Losange

1.1.11. Cercle

1.1.12. Ellipse

2. Volumes connus

2.1. Polyèdres

2.1.1. Parallélépipède

2.1.2. Prisme

2.1.3. Pyramide

2.2. Polyèdres réguliers

2.2.1. Tétraèdre régulier

2.2.2. Hexaèdre régulier

2.2.3. Octaèdre régulier

2.2.4. Icosaèdre régulier

2.2.5. Tétraèdre régulier

2.3. Corps de révolutions

2.3.1. Cylindre

2.3.2. Cône

2.3.3. Sphère

2.3.4. Tore

2.3.5. Ellipsoïde

2.3.6. Paraboloïde

2.3.7. Tonneau à section circulaire

Nous avons déjà défini au début du chapitre de Géométrie Euclidienne les concepts de dimensions topologiques, ce qu'était un point de dimension nulle et une courbe de dimension unité. Nous ne reviendrons pas sur ces dernières et nous intéresserons aux formes de dimensions supérieures.

Le but du présent chapitre est de répertorier avec démonstrations quelques propriétés mathématiques remarquables des formes et corps géométriques connus (surface, volume, centre de masse, moment d'inertie). Effectivement, il existe nombre de formulaires les répertoriant sans démonstration mais peu voire pas, d'ouvrages les démontrant toutes (nous n'en avons jamais vu en tout cas...). La liste ci-dessous est à ce jour loin d'être exhaustive (puisqu'il existe une infinité de formes géométriques) mais elle sera complétée avec le temps.

Delucq

Les quelques formes que nous avons souhaité présenter permettent assez facilement de trouver les propriétés remarquables d'un très grand nombre de formes non répertiorées sur cette page par assemblage ou décomposition.

Remarques:

R1. Les relations trigonométriques remarquables dans les formes géométriques ci-dessous ne sont pas démontrées dans ce chapitre. Celles-ci se trouvent déjà toutes dans le chapitre traitant spécifiquement de la Trigonométrie.

R2. Nous entendons par "centre de gravité", le "barycentre" tel que vu dans le chapitre de Géométrie Euclidienne.

SURFACES CONNUES

Il existe plusieurs définitions du concept de surface dont une due à Euclide et une autre moderne due à la topologie (voir chapitre du même nom).

Définitions:

D1. Une "surface plane" est ce qui a longueur et hauteur.

D2. Une "surface" est une variété topologique de dimension 2

Remarque: Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement aux propriétés (périmètre, surface, centre de gravité,...) de surfaces plongées dans des géométries euclidiennes.

POLYGONES

Définition: Un "polygone" est une figure plane limitée par des segments de droites consécutifs (autrement dit: par une polyligne fermée).

equation
  (26.1)

Par définition, un "quadrilatère", "pentagone", "hexagone", "heptagone" sont des polygones à respectivement quatre, cinq, six, sept... côtés.

Nous distinguons trois grandes familles (mais elles ne sont pas les seules!) de polygones : les polygones croisés, les polygones concaves et les polygones convexes (nous retrouverons ces deux familles dans différents chapitres du site).

Définition: Un polygone est dit "polygone croisé" si deux au moins de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent. C'est le cas du pentagone ABCDE ci-dessous :

Pentagone croisé.
  (26.2)

Remarque: "L'enveloppe" d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.

Définition: Un polygone est dit "polygone concave" s'il n'est pas croisé et si une ou plusieurs de ses diagonales ne sont pas entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone.

Par exemple, le pentagone ACDBE ci-dessous est dit concave car les diagonales BC et CE sont respectivement à l'extérieur et partiellement à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Polygone concave.
  (26.3)

Définition: Un polygone est dit "polygone convexe" s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-dessous est dit convexe :

Polygone convexe.
  (26.4)

Relativement aux définitions données précédemment où les diagonales étaient mises en évidence, voyons s'il y a une relation permettant de connaître leur nombre relativement au nombre d'arêtes du polygone.

Partons pour cela d'un polygone de n côtés (notons qu'il a aussi n sommets) :

equation
  (26.5)

Nous définissons le total de segments s égale à la quantité de côtés (arêtes) n plus quantité de diagonales d tel que :

equation

equation
  (26.6)

Maintenant, prenons le premier point de notre pentagone. Nous voyons que nous pouvons joindre tous les points n, sauf  le  point considéré (-1) soit la formation de n - 1 segments comme le montre la figure ci-dessous :

equation 
  (26.7)

Avec le deuxième point, nous pouvons aussi joindre tous les points n, sauf  le  point considéré (-1) et le premier point déjà vu (-1) soit la formation de n - 2 segments :

equation
  (26.8)

Avec le troisième nous pouvons aussi joindre tous les points n, sauf  le  point considéré (-1) et sauf les deux points déjà vu (-2) soit la formation de n - 3 segments

equation
  (26.9)

Nous continuons avec les autres points: le 4ème qui donne n - 4 segments, le 5ème  qui donne n - 5 segments... In extenso, nous voyons donc que le (n - 2)ème point donne donc n - (n - 2) segments, etc.

Nous avons donc finalement pour :

equation   (26.10)

En simplifiant nous trouvons donc :

equationequation   (26.11)

Nous nous retrouvons donc avec deux relations :

equation et equation   (26.12)

Dès lors il vient que :

equation   (26.13)

RECTANGLE

Définition: Le "rectangle" est un cas particulier du quadrilatère (forme à quatre côtés délimités par des segments finis tel que : losange, carré, rectangle, trapèze, etc.) dans le sens où ses côtés L et H (notation pour Longeur et Hauteur selon figure ci-dessous) sont égaux deux à deux et à angle droit (en d'autres termes, L n'est pas forcément égal à H).

D'autres définitions possibles consistent à dire qu'un rectangle est un parallélogramme disposant d'un angle ou un quadrilatère ayant quatre angles droits.

Remarque: Le rectangle peut être vu comme la composition de deux (ou plus) triangles rectangles (voir plus loin la définition). Pour construire un rectangle, il suffirait d'avoir un seul et unique triangle rectangle et lui faire subir une double réflexion et une rotation par rapport à un axe bien choisi (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

equation
  (26.14)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre d'un rectangle est donné par :

equation   (26.15)

Et par définition, sa surface par :

equation   (26.16)

et la longueur de sa diagonale par (application du théorème de Pythagore) :

equation
  (26.17)

La position du centre de gravité du rectangle, si nous posons le repère cartésien dans le coin inférieur gauche de la forme, est trivialement donné par :

equation   (26.18)

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le rectangle serait ce que nous apercevrions si un parallélépipède traversait notre univers parallèlement à ses faces.

carré

Définition: Le "carré" est un cas particulier du rectangle dans le sens où ses quatre côtés sont égaux tel que equation.

equation
  (26.19)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre du carré est donné par :

equation   (26.20)

Ainsi, il vient pour la surface que :

equation   (26.21)

et pour sa diagonale :

equation   (26.22)

La position du centre de gravité du carré, si nous posons le repère cartésien dans le coin inférieur gauche de la forme, est trivialement donné par :

equation   (26.23)

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le carré serait ce que nous apercevrions si un cube traversait notre univers parallèlement à ses faces.

triangle

Définition: Le "triangle quelconque" est un polygone à trois côtés et englobe dans les cas particuliers, les triangles : isocèles, équilatéraux et rectangles.

equation
  (26.24)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre d'un triangle quelconque est donné par :

equation   (26.25)

Le triangle quelconque est toujours décomposable en deux triangles rectangles. Ainsi, celui de la figure ci-dessous peut se décomposer en deux triangles rectangles de base respective equation et equation (définis par la projection orthogonale du sommet opposé au segment a) tels que :

equation   (26.26)

La surface de ces deux triangles rectangles sont comme nous l'avons déjà implicitement dit dans notre étude du rectangle, la moitié de la surface d'un rectangle de même longueur et même hauteur. Ainsi :

equation   (26.27)

Ainsi la somme de ces surfaces, nous donne la surface du triangle quelconque :

equation   (26.28)

Nous pouvons de cette dernière relation, que la surface tout triangle quelconque est assimilable à la moitié de la surface d'un rectangle de longueur equation et hauteur equation.

Remarque: Quelque soit la base a, b, c et la hauteur respective equation, le raisonnement précédent reste bien évidemment totalement juste.

La détermination du centre de gravité (ou barycentre) G (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) est un peu moins intuitive que dans le cas du rectangle...

Nous pouvons bien sûr nous servir d'un repère et des outils du calcul vectoriel pour très facilement déterminer ce dernier. Nous allons donc démontrer que le centre de gravité d'un triangle quelconque est à l'intersection de toutes les médianes :

Démonstration:

Soit un triangle ABC. Nous appelons A' le milieu du segment BC, B' celui de AC et C' celui de AB:

equation
  (26.29)

Nous allons démontrer que le seul point G vérifiant (cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne) :

equation   (26.30)

est le point de concours des trois médianes du triangle ABC. Cette démonstration s'effectuera en deux étapes, en deux propositions. Au terme, nous pourrons conclure par le théorème.

Propositions :

P1. Si ABC est un triangle alors il existe un et un seul centre de gravité G tel que equation

P2. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est ce point G.

Démonstrations:

DM1. Soit G un point du plan tel que equation. Nous pouvons alors écrire que :

equation   (26.31)

d'où :

equation   (26.32)

Cette relation vectorielle garantit que le point G est unique et que nous pouvons même le placer!

equationC.Q.F.D.

DM2. Pour démontrer que les trois médianes sont concourantes, nous allons prouver que G appartient à chacune des trois médianes.

Au point P1., nous avons démontré que G vérifie l'égalité :

equation   (26.33)

Comme A' est le milieu du côté BC, nous pouvons alors écrire que :

equation   (26.34)

Il vient alors que :

equation   (26.35)

Les vecteurs equation et equation sont donc colinéaires! Donc les points A, G, A' sont alignés. Autrement écrit, le point G fait partie de la médiane AA' du triangle ABC. Nous pouvons même dire qu'il se trouve au deux tiers du segment AA' à partir du sommet A.

Ce que nous venons de montrer avec la médiane AA' est bien évidemment aussi vrai pour les deux autres médianes. Ainsi :

equation   (26.36)

En résumé, le point G fait donc partie des trois médianes AA',BB' et CC'. Ces trois droites sont donc concourantes et le point G en est le point d'intersection. Ce résultat nous sera utile plus tard lors de notre étude des polyèdres.

equationC.Q.F.D.

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le triangle serait ce que nous apercevrions si des formes géométriques composées d'au moins trois faces jointes traverseraient notre univers par un des sommets.

Nous arrêterons là cette analogie avec un espace à deux dimensions généralisable à chaque forme géométrique que nous allons présenter par la suite (cercle et sphère, ellipse et ellipsoïde, etc.). L'idée était surtout de soumettre la conception que les volumes que nous connaissons dans notre quotidien peuvent aussi être vus comme des formes à 4 dimensions traversant notre espace de 3 dimensions.

TRIANGE ISOCèLE

Définition: Un "triangle isocèle" est un cas particulier du triangle quelconque, dans le sens où il a deux côtés égaux (isométriques).

equation
  (26.37)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

equation   (26.38)

mais comme il a deux côté égaux tel que par exemple equation:

equation   (26.39)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste :

equation   (26.40)

Et le centre de gravité reste, comme nous l'avons démontré dans le cas général, à la position :

equation   (26.41)

Propriétés remarquables d'un triangle isocèle : la médiatrice et la médiane h du troisième côté non égal aux deux autres sont confondues (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

triangle équilatéral

Définition: Un "triangle équilatéral" est un cas particulier du triangle, dans le sens où il a trois côtés égaux :

equation
  (26.42)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

equation   (26.43)

mais comme il a trois côtés tel que equation :

equation   (26.44)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste :

equation   (26.45)

Et le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas général, reste à la position :

equation   (26.46)

Propriété remarquables d'un triangle équilatéral : Médiatrices et médianes sont confondues (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne)!

triangle rectangle

Définition: Un "triangle rectangle" est un cas particulier du triangle, dans le sens que sur un de ses trois angles, il y a au moins un angle droit.

equation
  (26.47)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

equation   (26.48)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste (surface de la moitié d'un rectangle de même base et de même hauteur):

equation   (26.49)

Et le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas général, reste à la position :

equation   (26.50)

Propriété remarquable d'un triangle rectangle : le triangle rectangle à ceci de particulier, que nous pouvons directement lui appliquer le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

TRAPÈZE

Définition: Un "trapèze", est un quadrilatère (non croisé) ayant deux côtés (au moins) parallèles.

equation
  (26.51)

Lorsque les deux côtés ont même longueur (ou, sont de même longueur), nous obtenons les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange, du parallélogramme (ici, ordre du plus précis au plus général, nous pourrions mettre le losange en n° 2).

Aussi un usage courant consiste à ne retenir qu'une définition plus restrictive, afin de ne pas prendre en compte ces figures particulières. Nous ajoutons dans ce cas que les longueurs des deux côtés parallèles ne sont pas égales (cela permet aux élèves des petites classes d'éviter les confusions résultant de l'existence de deux noms pour le même objet, par exemple losange et trapèze).

Remarque: Il existe un cas particulier de trapèze, le "trapèze isocèle", dont les deux côtés non parallèles sont de même longueur. (nous pouvons ajouter : Comme ces deux côtés ne sont pas parallèles, il ne s'agit pas d'un parallélogramme).

PARALLÉLOGRAMME

Définition: Le "parallélogramme" est un cas particulier du quadrilatère (et du losange aussi), où les côtés sont parallèles deux à deux :

equation
  (26.52)

Remarque: Tous les parallélogrammes sont donc dans la famille des trapèzes.

LOSANGE

Définition: Le "losange" est un cas particulier du parallélogramme dans le sens où ses quatre côtés sont égaux.

equation
  (26.53)

CERCLE

Il existe plusieurs définitions possibles du cercle. Voyons au moins deux.

Définitions:

D1. Un "cercle" est un cas particulier d'un polygone avec une infinité de côtés. 

D2. Un "cercle" est une courbe plane dont tous les points sont à égale distance d'un point fixe appelé "centre".

equation
  (26.54)

Nous démontrons dans la section d'Informatique Théorique (cf. chapitre de Méthodes Numériques), que le périmètre d'un cercle de rayon R et donc de diamètre equationest donné par :

equation   (26.55)

La relation de surface peut être obtenue de deux manières :

1. Par recherche de la primitive du périmètre P ce qui nous donne :

equation   (26.56)

2. La seconde méthode est plus esthétique et fait appel à l'équation paramétrique du cercle, trivialement donnée par les projections orthogonales des coordonnées cartésiennes :

equation   (26.57)

Nous savons que l'aire décrite par une fonction f(x) est donnée par :

equation   (26.58)

Il nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées :

equation   (26.59)

Ainsi :

equation   (26.60)

Les bornes d'intégration étant bien évidemment equation nous avons :

 equation   (26.61)

Nous avons donc aussi par cette méthode :

equation   (26.62)

La longueur l d'une tranche d'angle d'ouverture equation d'un cercle de rayon R est bien évidemment donné par :

equation   (26.63)

et la surface S d'une tranche d'angle d'ouverture equation d'un cercle de rayon R de manière identique par :

equation   (26.64)

Soit connue la relation de calcul de la surface d'un triangle. Nous avons selon la figure ci-dessous (la démonstration tient seulement dans le résultat lui-même) :

equation

equation
  (26.65)

Remarque: Par définition du cercle, il est évident que le centre de gravité du cercle se confond avec le centre de celui-ci.

ELLIPSE

Définition: Une "ellipse" est une courbe fermée dont chaque point est tel que la somme de ses distances à deux points fixes appelés "foyers" est constante (comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste, l'ellipse peut aussi être vue comme une transformation affine du cercle).

equation
  (26.66)

Introduisons pour commencer un petit texte relativement au calcul du périmètre de l'ellipse:

Soit l'équation paramétrique en coordonnées cartésiennes d'une ellipse :

equation   (26.67)

La distance entre le centre de l'ellipse et son périmètre est alors donnée par le théorème de Pythagore :

 equation   (26.68)

Un élément d'arc est alors donné par :

equation   (26.69)

Le périmètre de l'ellipse est alors donné par l'intégrale :

equation   (26.70)

et là sa commence à se corser... Ce genre d'intégrale n'est pas facilement calculable à l'aide des primitives connues, intégration par parties, changements de variable ou autre. Il s'agit de ce que nous appelons une "intégrale elliptique du second ordre en J" pour equation  (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (26.71)

De longs développements que nous présenterons dans quelques années dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral donnent pour le périmètre après un calcul en série limitée :

equation   (26.72)

La relation de surface de l'ellipse peut être obtenue de manière très similaire à celle du cercle et les calculs sont curieusement beaucoup plus simples que ceux du périmètre. Rappelons que l'équation paramétrique l'ellipse est :

equation   (26.73)

Nous savons que l'aire décrite par une fonction f(x) est donnée par :

equation   (26.74)

Il nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées :

equation   (26.75)

Ainsi :

equation   (26.76)

Les bornes d'intégration étant bien évidemment equation nous avons :

equation   (26.77)

Remarque: Il faut faire attention dans ce genre de calculs à l'ordre des bornes d'intégration. Effectivement, si nous avions pris les bornes allant de equation (au lieu de equation) il faut imaginer que la fonction intégrée parcoure le périmètre dans le sens négatif de l'axe des abscisses. Donc l'intégrale serait alors forcément négative.

Nous avons donc aussi par cette méthode :

equation   (26.78)

Remarques:

R1. Nous supposons comme évident que le centre de gravité de l'ellipse se confond avec le centre de celle-ci.

R2. Nous renvoyons le lecteur à l'étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) pour le calcul de la surface d'une ellipse à partir de son "paramètre d'ellipse" et son "excentricité" (tout y est démontré).


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