CORPS DE RÉVOLUTIONS



FORMES GÉOMÉTRIQUES

1. Surfaces connues

1.1. Polygones

1.1.1. Rectangle

1.1.2. Carré

1.1.3. Triangle

1.1.4. Triangle isocèle

1.1.5. Triangle équilatéral

1.1.6. Triangle équilatéral

1.1.7. Triangle rectangle

1.1.8. Trapèze

1.1.9. Parallèlogramme

1.1.10. Losange

1.1.11. Cercle

1.1.12. Ellipse

2. Volumes connus

2.1. Polyèdres

2.1.1. Parallélépipède

2.1.2. Prisme

2.1.3. Pyramide

2.2. Polyèdres réguliers

2.2.1. Tétraèdre régulier

2.2.2. Hexaèdre régulier

2.2.3. Octaèdre régulier

2.2.4. Icosaèdre régulier

2.2.5. Tétraèdre régulier

2.3. Corps de révolutions

2.3.1. Cylindre

2.3.2. Cône

2.3.3. Sphère

2.3.4. Tore

2.3.5. Ellipsoïde

2.3.6. Paraboloïde

2.3.7. Tonneau à section circulaire

Définition: Un "corps de révolution" est un volume que nous obtenons en faisant tourner une
courbe 2D autour d'un axe.

Il existe donc autant de corps de révolution que de type de courbe fermée ou non que nous pouvons faire tourner autour d'un axe.

Voyons avant d'aller plus loin la méthode générale permettant de déterminer l'aire d'un corps de révolution. C'est-à-dire la surface du corps engendré par la rotation d'une courbe de longueur finie autour d'un axe:

equation
  (26.213)

Pour cela, nous remarquons que lorsque la courbe est donnée par une équation equation nous remarquons par Pythagore (voir figure ci-dessous) que l'élément de longueur dl vérifie (relation que nous avons déjà rencontrée dans d'autres chapitres du site):

equation   (26.214)

donc :

equation   (26.215)

equation

Ainsi l'élément de surface engendré par la rotation de l'élément de longueur dl est donné par:

equation   (26.216)

L'aire de la surface de révolution engendrée par une fonction equation continûment différentiable est donc donnée par la relation:

equation   (26.217)

cylindre

Définition: Un  "cylindre" est une surface engendrée par une droite qui se déplace parallèlement à une direction fixe en rencontrant une courbe plane fixe, dont le plan coupe la direction donnée.

equation
  (26.218)

Le volume d'un cylindre de révolution de rayon equation et de hauteur égale à h se calcule par la méthode des disques en sachant que la surface d'un cercle (disque) vaut equation:

equation   (26.219)

La surface d'un disque étant simplement la somme de la surface des deux disques de base et du sommet et de la surface du rectangle plié de hauteur h et de longueur equation:

equation   (26.220)

Calculons maintenant le moment d'inertie d'un cylindre plein par rapport à son axe de symétrie vertical (axe de révolution) :

equation
  (26.221)

Nous avons :

equation   (26.222)

Donc :

equation   (26.223)

Soit maintenant G le centre de gravité du cylindre, equation coïncide avec l'axe de révolution du cylindre. Les axes equation et equation jouent des rôles identiques. Les moments d'inertie equation et equationpar rapport à ces axes sont donc égaux et s'écrivent :

equation   (26.224)

d'où :

equation   (26.225)

d'où :

equation   (26.226)

La première intégrale est en fait le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe equation et nous savons quelle vaut :

equation   (26.227)

La deuxième intégrale se calcule facilement en découpant le cylindre en tranches d'épaisseur dz perpendiculaires à l'axe equation. La masse de la tranche élémentaire est equation soit :

equation   (26.228)

Le moment d'inertie d'un cylindre par rapport à un axe perpendiculaire à son axe de révolution s'écrit donc :

equation   (26.229)

Calculons maintenant le moment d'inertie d'un tube ou d'un cylindre creux d'épaisseur non nulle (toujours donné dans les formulaires techniques) : le moment d'inertie d'un tube par rapport à son axe de révolution est un grand classique du traitement du moment d'inertie du cylindre. Ainsi, considérons un tube de rayon extérieur equation et de rayon intérieur equation. Comme (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

equation   (26.230)

Il vient dès lors que le moment d'inertie d'un tube peut-être vu comme le moment d'inertie du cylindre de rayon égal au rayon externe du tube diminué du moment d'inertie du cylindre de rayon égal au rayon interne du tube. Ainsi :

equation   (26.231)

et si equation, il vient dès lors la relation classique disponible dans nombre de formulaires de physique :

equation   (26.232)

cône

Définition: Un "cône" est une surface engendrée par une droite mobile, passant par un point fixe et s'appuyant sur une courbe fixe; solide déterminé par cette surface.

Le volume d'un cône de révolution de rayon à la base r et de hauteur égale à h se calcule également par la méthode des disques.

La droite passant par les points equation (extrémité de la base du cône) et equation (sommet du cône) est :

equation   (26.233)

La rotation de cette droite par rapport à l'axe des y donne le volume du cône :

equation   (26.234)

equation
  (26.235)

Calculons maintenant d'inertie d'un cône par rapport à son axe de révolution :

Pour ce calcul, nous allons utiliser la valeur du moment d'inertie du cylindre equation et considérer le cône comme un empilement de cylindres infinitésimaux.

Donc :

equation   (26.236)

SPHÈRE

Définition: La "sphère" est le volume engendré par la rotation d'un disque (ou cercle) de rayon r autour de son centre de gravité.

equation
  (26.237)

Nous pouvons voir une sphère de rayon R, comme une surface qui est formée par la rotation d'un demi-cercle autour de son grand axe. La fonction décrivant un demi-cercle étant :

equation   (26.238)

La sphère peut être disséquée donc comme un somme de disques d'épaisseur equation. Les demi-disques étant perpendiculaires à l'axe des abscisses et de largueur equation à la position equation (voir figure ci-dessous).

equation
  (26.239)

Nous avons ainsi :

equation   (26.240)

Le volume d'un disque (cylindre) étant donné par (en passant à la limite) :

equation   (26.241)

et le rayon equation étant donné par la fonction :

equation   (26.242)

nous avons alors :

equation   (26.243)

En intégrant entre equation, nous avons alors le volume de la sphère :

equation   (26.244)

Nous pouvons également prendre les bornes entre equation cela revenant au même à un facteur 2 près :

equation   (26.245)

Après simplification, nous obtenons pour le volume :

equation   (26.246)

L'expression de la surface étant donnée par dérivant par  rapport à l'élément générant la surface, nous obtenons ainsi (c'est un peu limite comme raisonnement mais bon...):

equation   (26.247)

Il existe une autre manière d'aborder ces calculs un peu plus rigoureuse. Effectivement, dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons introduit le concept de Jacobien qui permet de changer les variables d'intégration en fonction du système de coordonnées sur lequel nous travaillons.

equation   (26.248)

et nous avons démontré que le jacobien en coordonnées sphériques est :

equation   (26.249)

Dès lors, nous avons :

equation   (26.250)

et pour la surface (pour laquelle le rayon est constant) :

equation   (26.251)

Au besoin, on peut trouver l'élément de surface de manière géométrique plutôt que de passer par la jacobien car ce dernier n'est pas très pédagogique dans les petites classes...

Alors en se rappelant que dans le chapitre de Trigonométrie nous avons démontré que la longueur d'un arc de cercle est donné par:

equation   (26.252)

Alors il devient très aisé de compléter la figure suivante:

equation

  (26.253)

et nous voyons alors immédiatement que:

equation   (26.254)

ce qui est quand même plus sympa...

Calculons maintenant le moment d'inertie d'une boule pleine homogène de masse M et de masse volumique equation. Pour cela, la boule présentant une symétrie maximum, il est plus commode de calculer d'abord le moment d'inertie polaire (cf. chapitre de Mécanique Classique), puis de déterminer le moment d'inertie axial à partir de ce premier :

equation   (26.255)

Comme equation sont égaux par symétrie de la boule, il vient :

equation   (26.256)

TORE

Définition: Un "tore" est la surface engendrée par la rotation d'un cercle c de rayon r autour d'une droite située dans son plan, mais ne passant pas par son centre.

Soit l'équation d'un demi-cercle de centre equation:

equation   (26.257)

Afin d'écrire y sous la forme d'une fonction de x, isolons y dans cette équation:

  equation   (26.258)

Le cercle est constitué des graphes des deux fonctions :

- Demi-cercle supérieur :

equation   (26.259)

- Demi-cercle inférieure :

equation   (26.260)

Le volume demandé est la différence entre les volumes engendrés par la rotation des surfaces (surfaces définies par l'aire comprise entre la fonction du cercle concerné et l'axe des abscisses compris entre equation)  dans l'espace autour de l'axe des abscisses.

En appliquant la relation d'intégration des corps de révolution :

equation
equation
equation   (26.261)
equation
equation

Calculons cette dernière intégrale par la substitution classique equation donc :

equation   (26.262)

si equation :

equation   (26.263)

si equation:

equation   (26.264)

donc :

equation   (26.265)
equation

Linéarisons cette expression en utilisant à nouveau les relations trigonométriques :

equation
equation   (26.266)
equation

Donc le volume d'un tore de "rayon mineur" r et de "rayon majeur" c est donné par :

equation   (26.267)

Adapté à la figure ci-dessous (prise de la littérature) :

equation   (26.268)

et la surface (par dérivation de l'élément génération de surface) :

equation   (26.269)

equation

Le moment d'inertie du tore relativement à son axe de révolution se calcule de la manière suivante :

Soit le volume du tore (démontré précédemment) noté :

equation   (26.270)

La densité volumique du tore est donnée par (masse sur volume):

equation   (26.271)

En coordonnées cylindriques, nous avons :

equation   (26.272)

d'où :

equation   (26.273)

Le moment d'inertie est alors donné par :

equation   (26.274)

Posons equation , dès lors :

1. Les bornes d'intégration deviennent dès lors equation puisque nous ramenons tous les points d'intégration à l'origine en posant equation

2. Trivialement, puisque equation nous avons donc equation

Ce qui nous donne :

equation   (26.275)

Comme l'intégrale entre deux bornes égales d'une fonction ou produit de fonction impaires est nul (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), les intégrales de :

equation   (26.276)

sont nulles.

Nous avons donc à calculer :

equation   (26.277)

Posons maintenant equation et donc equation. Il vient donc :

equation   (26.278)

Or, comme :

equation   (26.279)

Donc :

equation
  (26.280)

Soit (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation
  (26.281)

Donc finalement :

equation   (26.282)

ELLISPOÏDE

Définitions:

D1. Un "ellipsoïde" est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques (cf. chapitre de Géométrie Analytique)

equation
  (26.283)

D2. Un "ellipsoïde de révolution" est un solide engendré par la révolution d'une ellipse autour de l'un de ses axes.

Pour calculer le volume délimité par l'ellipsoïde, prenons l'équation que nous avons déterminée lors de notre étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) :

equation   (26.284)

Remarque: Dans le cas où seuls deux paramètres aux dénominateurs sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit alors de l'ellipsoïde de révolution définie juste précédemment et parfois appelé "sphéroïde".

La section par un plan parallèle au plan Oyz et se trouvant à la distance x de ce dernier, donne l'ellipse :

equation   (26.285)

ou :

equation   (26.286)

avec pour demi-axes :

equation   (26.287)

Mais comme nous l'avons démontré, la surface d'une ellipse vaut equation. Par conséquent :

equation   (26.288)

Le volume de l'ellipsoïde est alors égal à :

equation   (26.289)

Donc :

equation   (26.290)

et si equation, nous retrouvons l'expression du volume d'une sphère :

equation   (26.291)

Remarque: Le calcul du moment d'inertie d'un ellipsoïde est très important en astrophysique puisque un grand nombre d'étoiles ou de planètes en rotation sur elles-mêmes de par leur déformation à l'équateur à cause de la force centrifuge se voient déformés en première approximation en tel volume.

Pour un ellipsoïde, définissons C comme étant le moment d'inertie le long de l'axe c, A le moment d'inertie le long de l'axe a et B le moment d'inertie le long de l'axe b.

Pour commencer, considérons le moment d'inertie le long de l'axe c que nous assimilerons à l'axe z. Dès lors, en coordonnées cartésiennes, nous avons :

equation   (26.292)

En faisant la substitution suivante, nous sous-entendons que l'intégrale précédente est une normalisation d'un ellipsoïde :

equation   (26.293)

ce qui nous donne pour notre intégrale (nous transformons donc ainsi le volume V de l'ellipsoïde en le volume V' d'une sphère) :

equation   (26.294)

Nous pouvons maintenant passer les coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) sans oublier d'utiliser le Jacobien (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que nous avions démontré comme valant en coordonnées sphériques :

equation   (26.295)

Donc (nous utilisons les primitives usuelles démontrées dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (26.296)

en y insérant pour l'ellipsoïde :

equation   (26.297)

nous obtenons alors :

equation   (26.298)

et par symétrie, nous avons les résultats triviaux suivants :

equation   (26.299)

La matrice d'inertie (cf. chapitre de Mécanique Classique) est alors :

equation   (26.300)

 

PARABOLOÏDE

Définition: Un "paraboloïde" est un solide engendré par la révolution d'une parabole autour de son foyer :

equation
  (26.301)

La méthode de calcul du volume du paraboloïde à base elliptique est exactement la même que celle pour la pyramide à la différence que l'équation d'une parabole est du type equation et que nous avons aussi equation. Dès lors, nous avons évidemment equation. Le carré de la fonction nous amène à écrire :

equation   (26.302)

et idem pour equation. Dès lors :

equation   (26.303)

TONNEAU À SECTION CIRCULAIRE

Maintenant regardons pour la plaisir un volume très connu par les viticulteurs (et pas seulement!):

equation
  (26.304)

Considérons que la courbe latérale du tonneau est une parabole d'équation:

equation   (26.305)

Posons:

equation et equation   (26.306)

étant donné la manière dont nous avons disposé les axes x, y il est relativement aisé de déterminer les coefficients du polynôme. Déterminer le coefficient c est le plus simple:

equation   (26.307)

Nous avons aussi:

equation   (26.308)

De même que:

equation   (26.309)

Ainsi, nous avons:

equation   (26.310)

Le rayons d'une section horizontale d'ordonnée x est equation et sa surface est donc:

equation   (26.311)

ou:

equation   (26.312)

Développons:

equation   (26.313)

Le volume de liquide pour une hauteur h sera donc:

equation   (26.314)

Pour calculer la surface intérieure du tonneau, nous considérons la courbe extérieure donnée par un arc de parabole comme représenté ci-dessous:

equation
  (26.315)

Pour calculer l'aire latérale de ce tonneau nous devons d'abord déterminer l'expression de la parabole ci-dessus.

En regardant la figure nous obtenons :

equation   (26.316)


 

qui est un système de trois équations en les inconnuesequation.

Après résolution nous obtenons :

equation   (26.317)

La surface latérale du tonneau incluant la surface des deux disques aux extrémités est alors donnée par :

equation   (26.318)

En faisant le changement de variable equation nous obtenons :

equation   (26.319)

Cette dernière intégrale peut être calculée en utilisant les relations suivantes (dont la deuxième a été démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (26.320)

où pour rappel:

equation   (26.321)

Nous n'irons pas plus loin car la formule obtenue serait énorme et sans grand intérêt.

Voici néanmoins une application numérique. Supposons:

equation   (26.322)

Nous calculons :

equation   (26.323)

Donc:

equation   (26.324)

la première des intégrales vaut :

equation   (26.325)

La deuxième vaut :

equation   (26.326)

Et finalement:

equation   (26.327)