SYSTÈMES DE COORDONNÉES



COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

Nous allons aborder ici, l'aspect des changements de coordonnées des composantes de vecteurs non pas d'une base à une autre (pour cela il faut aller voir le chapitre d'algèbre linéaire) mais d'un système de coordonnées à un autre. Ce type de transformation à un fort potentiel en physique (ainsi qu'en mathématique) lorsque nous souhaitons simplifier l'étude de systèmes physiques dont les équations deviennent plus facilement manipulables dans d'autres systèmes de coordonnées.

Définition: En mathématiques, un "système de coordonnées" permet de faire correspondre à chaque point d'un espace à n dimensions, un n-uplet de scalaires.

Remarque: Dans beaucoup de cas, les scalaires considérés sont des nombres réels, mais il est possible d'utiliser des nombres complexes ou des éléments d'un quelconque corps (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles). Plus généralement, les coordonnées peuvent provenir d'un anneau ou d'une autre structure algébrique apparentée.

Bien que nous soyons dans un chapitre et une section de mathématiques du site, nous nous permettrons dans ce qui va suivre de faire une liaison directe avec la physique pour ce qui concerne les expressions de la vitesse et de l'accélération dans différentes systèmes de coordonnées (désolé pour les matheux...)

SYSTÈME DE COORDONNÉES CARTÉSIENNES

Nous ne souhaitons pas trop nous attarder sur ce système car il est bien connu de tout le monde habituellement. Rappelons cependant que la plupart du temps, en physique, les systèmes cartésiens dans lesquels nous travaillons sont equation (deux dimensions spatiales), equation (trois dimensions spatiales) voir equationou equation (trois dimensions spatiales et une temporelle) lorsque nous travaillons en relativité.

Les systèmes cartésiens sont représentés par des vecteurs de base orthonormés (dans le sens qu'ils sont linéairement indépendant et de norme unité) qui forment une "base euclidienne" d'un espace vectoriel euclidien...

Dans equation (cas le plus fréquent), il y a trois vecteurs de base notés traditionnellement:

equation   (12.134)

Dans ce système, la position d'un point P (repérable par un vecteur equation) est défini par le triplet de nombres noté (en calcul tensoriel):

equation   (12.135)

et en physique plus conventionnellement:

equation   (12.136)

où habituellement la coordonnée (z) représente la hauteur (la verticale), la coordonnée (x) la largeur et la coordonnée (y) la longueur (évidemment ces choix sont complètement arbitraires).

Ce point P peut être repéré par un vecteur noté arbitrairement equation dans la base equation par la relation (utilisant la notation tensorielle):

equation   (12.137)

En physique, si nous travaillons avec des coordonnées, c'est toujours pour pouvoir déterminer l'emplacement d'un élément. Or, comme nous le verrons plus rigoureusement en mécanique analytique, le physicien travaille avec les notions suivantes (chaque élément dépendant souvent du temps):

- Position: equation

- Vitesse: equation

- Accélération: equation

Maintenant voyons comment s'expriment ces différentes notions dans des systèmes telles que les coordonnées sphériques, cylindriques et polaires.

SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHÉRIQUES

Le choix de commencer avec ce système de coordonnées n'est pas un hasard. Il a pour avantage d'être une généralisation des systèmes cylindrique et polaire dont nous en retrouverons par la suite plus facilement les expressions de la position, de la vitesse et de l'accélération.

Nous représentons traditionnellement un système à coordonnées sphériques de la façon suivante:

equation
  (12.138)

Nous voyons très bien si nous connaissons bien les relations trigonométriques élémentaires (voir le chapitre du même nom dans la section de géométrie) que nous avons les transformations:

equation   (12.139)

et inversement:

equation   (12.140)

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base sphérique que nous choisissons de noter equation  avec les vecteurs de la base cartésienne equation.

Nous avons, comme nous pouvons le voir sur le schéma ci-dessus:

equation
equation
  (12.141)

Indiquons qu'divisant par equation pour le deuxième vecteur de base, nous nous assurons ainsi de par les propriétés de la norme du produit vectoriel que:

equation   (12.142)

sera bien normalisé à l'unité!

Remarque: Il est important de remarquer que le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne toujours le troisième vecteur de base perpendiculaire (comme pour les coordonnées cartésiennes donc!).

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

equation   (12.143)

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation equation exprimée en coordonnées sphériques:

equation   (12.144)

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées sphériques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

equation   (12.145)

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons:

equation   (12.146)

ce qui nous amène donc à (nous aurons besoin de cette relation en astrophysique) :

equation   (12.147)

Il est intéressant de remarquer que nous arrivons au même résultat en passant par la méthode suivante qui est peut-être moins intuitive:

equation   (12.148)

et en y substituant la dérivée obtenue plus haut:

equation   (12.149)

En ce qui concerne l'accélération nous obtenons :

equation
  (12.150)

Or, nous avons:

equation   (12.151)

Donc il vient:

equation   (12.152)

Soit au final:

equation   (12.153)

SYSTÈME DE COORDONNÉES CYLINDRIQUES

Le système de coordonnées cylindriques (très utile dans l'étude des systèmes à mouvements hélicoïdaux) est assez semblable à celui des coordonnées sphériques puisqu'il peut être vu comme une tranche de la sphère. Soit le schéma:

equation
  (12.154)

il vient sans peine qu'en coordonnées polaires:

equation et equation   (12.155)

et inversement:

equation   (12.156)

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base polaire que nous choisissons de noter equation (au lieu de equation comme cela se fait traditionnellement) avec les vecteurs de la base cartésienne equation. Nous avons, identiquement à ce que nous avons fait pour les coordonnées sphériques:

equation   (12.157)

Indiquons qu'en divisant par equation, nous nous assurons de par les propriétés de la norme du produit vectoriel que:

equation   (12.158)

sera bien normalisé à l'unité! Dans le cas des coordonnées cylindriques l'angle étant de toute façon droit, nous ne serions pas obligé d'indiquer cette division, mais nous avons fait ce choix par souci d'homogénéité avec les développements précédents...

Remarque: Il est important de remarquer que le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne toujours le troisième vecteur de base perpendiculaire (comme pour les coordonnées cartésiennes et sphériques donc!).

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

equation   (12.159)

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation equation exprimée en coordonnées cylindriques:

equation   (12.160)

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées cylindriques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

equation   (12.161)

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons (rappelons que la composante z est indépendante des autres composantes cylindriques):

equation   (12.162)

ce qui nous amène à:

equation   (12.163)

Pour l'accélération nous obtenons (exactement dans la même démarche que pour déterminer l'expression de la vitesse):

equation   (12.164)

SYSTÈME DE COORDONNÉES POLAIRES

Le système de coordonnées polaires est très semblable à celui des coordonnées cylindriques puisqu'il peut être vu comme un retranchement d'une dimension (la hauteur) du système cylindrique.

equation
  (12.165)

Ainsi, il vient sans peine qu'en coordonnées polaires:

equation et equation   (12.166)

et inversement:

equation   (12.167)

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base polaire que je choisis de noter equation (au lieu de equation comme cela ce fait traditionnellement) avec les vecteurs de la base cartésienne equation. Nous avons identiquement à ce que nous avions fait pour les coordonnées sphériques:

equation   (12.168)

Explications pour la seconde ligne : en divisant par equation, nous nous assurons de par les propriétés de la norme du produit vectoriel que equation sera bien normalisé à l'unité. Dans le cas des coordonnées polaires l'angle étant de toute façon droit, nous ne serions pas obligé d'indiquer cette division, mais nous avons fait ce choix par souci d'homogénéité avec les développements précédents.

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

equation   (12.169)

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation equation exprimée en coordonnées cylindriques:

equation   (12.170)

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées sphériques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

equation   (12.171)

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons:

equation   (12.172)

ce qui nous amène à:

equation   (12.173)

où le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire).

Pour l'accélération nous obtenons (exactement dans la même démarche que pour déterminer l'expression de la vitesse):

equation   (12.174)

où le premier terme est l'accélération radiale, le second l'accélération centripète, le troisième l'accélération de Coriolis et le quatrième l'accélération tangentielle.


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