PRODUIT VECTORIEL
1. Notion de flèche
2. Ensemble des vecteurs
2.1. Pseudo-vecteurs
2.2. Multiplication par un scalaire
2.2.1. Règle de trois
3.1. Combinaison linéaires
3.2. Sous-espaces vectoriels
3.3. Familles génératrices
3.4. Dépendance et indépendance linéaire
3.5. Bases d'un espace vectoriel
3.5.1. Angles directeurs
3.6. Dimensions d'un espace vectoriel
3.7. Pronlogement d'une famille libre
3.8. Rang d'une famille finie
3.9. Sommes directes
5. Espaces vectoriels euclidiens
5.1. Norme d'un vecteur
5.2. Produit scalaire vectoriel
5.2.1. Théorème de Pythagore
5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz
5.2.3. Inégalité triangulaire
v5.2.4. Produit scalaire (général)5.2. Produit mixte
6. Espaces vectoriels fonctionnels
7. Espaces vectoriels hermitiens
7.1. Produit hermitien
7.2. Types d'espaces vectoriels
8.1. Système de coordonnées cartésiennes
8.2. Système de coordonnées sphériques
8.3. Système de coordonnées cylindriques
8.4. Système de coordonnées polaires
9.1. Gradients d'un champ scalaire
9.2. Gradients d'un champ de vecteurs
9.3. Divergences d'un champ de vecteurs
9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky
9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs
9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)
9.5. Laplaciens d'un champ scalaire
9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel
9.7. Identités
9.8. Résumé
Le produit vectoriel de deux vecteurs est une opération propre à la dimension 3. Pour l'introduire, il faut préalablement orienter l'espace destiné à le recevoir. L'orientation étant définie au moyen de la notion de "déterminant", nous commencerons par une brève introduction à l'étude de cette notion. Cette étude sera reprise plus tard dans le détail lors de l'analyse des systèmes linéaires dans le chapitre d'algèbre linéaire.
Définition: Nous appelons "déterminant"
des vecteurs-colonnes de 
(pour
la forme générale du déterminant se reporter
au chapitre d'Algèbre
Linéaire) :
(12.92)
et nous notons:
(12.93)
le nombre (produit soustrait en croix) :
(12.94)
Nous appelons déterminant
des vecteurs-colonnes de 
(cf.
chapitre d'Algèbre Linéaire):
(12.95)
et nous notons :
(12.96)
le nombre :
(12.97)
Ainsi, la fonction qui associe à
tout couple de vecteurs-colonnes de 
(à
tout triplet de vecteurs-colonnes de 
)
son déterminant est appelé "déterminant
d'ordre 2" (respectivement
d'ordre 3).
Le déterminant a comme propriété d'être multiplié par -1 si l'un de ses vecteurs colonnes est remplacé par son opposé ou si deux de ses vecteurs-colonnes sont échangés (la vérification étant simple nous nous abstiendrons de la démonstration, sauf sur demande). En plus, le déterminant est non nul si et seulement si ses vecteurs-colonnes sont linéairement indépendants (la démonstration se trouve quelques lignes plus bas et est d'une grande importance en mathématique).
Définition: Soit 
et
les
composantes respectives des vecteurs 
et
dans
la base orthonormale 
.
Nous appelons "produit vectoriel" de 
et
,
et nous notons indistinctement:
(12.98)
le vecteur :
(12.99)
ou sous forme de composantes :
(12.100)
R1. La première notation est la notation internationale due à Gibbs (que nous utiliserons tout au long de ce site), la deuxième est la notation français due à Burali-Forti (assez embêtant car se confond avec l'opérateur ET en logique).
R2. Il est assez embêtant de retenir par coeur les relations qui forment le produit vectoriel habituellement. Mais heureusement il existe au moins trois bons moyens mnémotechniques :
1. Le plus rapide consiste à retrouver l'une des expressions des composantes du produit vectoriel et ensuite par décrémentation des indices (en recommencent à 3 lorsque qu'on arrive à 0) de connaître toutes les autres composantes. Encore faut-il trouver un moyen simple de se souvenir d'une des composantes. Un bon moyen est la propriété mathématique suivante de deux vecteur colinéaires permettant facilement de retrouver la troisième composante (celle selon l'axe Z) :
Soit deux vecteurs colinéaires dans un même plan, alors :
(12.101)
Nous retrouvons donc bien l'expression de la troisième composante du produit vectoriel de deux vecteurs (non nécessairement colinéaires... eux!).
2. La seconde mais que nous verrons lors de notre étude du calcul tensoriel consiste à utiliser le symbole d'antisymétrie (également appelé "tenseur de Levi-Civita"). Cette méthode est certainement la plus esthétique d'entre toutes mais pas nécessairement la plus rapide à développer. Nous donnons ici juste l'expression sans plus d'explications pour l'instant (elle est également utile pour l'expression du déterminant par extension) :
(12.102)
3. Cette dernière méthode
est assez simple et triviale aussi mais elle utilise implicitement
la première méthode: la i-ème composante 
est
le déterminant des deux colonnes privées de leur i-ème terme,
le deuxième déterminant étant cependant pris avec le signe "-" tel
que :
(12.103)
Il est important, même si c'est relativement simple, de se rappeler que les différents produits vectoriels pour les vecteurs d'une base orthogonale sont :
(12.104)
Le produit vectoriel jouit aussi propriétés suivantes que nous allons démontrer :
P1. Antisymétrie :
(12.105)
P2. Linéarité :
(12.106)
P3. Si et seulement si 
et
sont
linéairement indépendants (très important !) :
(12.107)
P4. Non associativité :
(12.108)
Les deux premières propriétés découlent directement de la définition et la propriété P4 se vérifié aisément en développant les composantes et en comparant les résultats obtenus.
Démontrons alors la troisième propriété qui est très importante en algèbre linéaire.
Démonstration:
Soient deux vecteurs 
et 
.
Si les deux vecteurs sont linéairement dépendants alors il existe 
tel
que nous puissions écrire:
(12.109)
Si nous développons le produit
vectoriel des deux vecteurs dépendants à un facteur 
près,
nous obtenons:
(12.110)
Il va sans dire que le résultat ci-dessus est égal au vecteur nul
si
effectivement les deux vecteurs sont linéairement dépendants.
C.Q.F.D.
Si nous supposons maintenant
que les deux vecteurs 
et
sont
linéairement indépendants et non nuls, nous devons démontrer que
le produit vectoriel est:
P3.1. Orthogonal (perpendiculaire)
à 
et
P3.2. De norme 
,
où 
est
l'angle entre 
et
Démonstration:
Commençons par la première propriété P3.1 (première importance en physique!) :
(12.111)
ce qui montre bien que le vecteur 
est
perpendiculaire au vecteur résultant du produit vectoriel entre
et
!
C.Q.F.D.
Terminons avec la deuxième propriété P3.2 (aussi de première importance en physique!) :
Démonstration:
Soit le carré de la norme du produit vectoriel 
.
D'après la définition du produit vectoriel nous avons:
(12.112)
Donc finalement:
(12.113)
C.Q.F.D.
Nous remarquerons que dans
le cas où E
est l'espace vectoriel géométrique, la norme du produit vectoriel
représente l'aire du parallélogramme construit sur des représentants
et
d'origine
commune.
(12.114)
Si 
et
sont
linéairement indépendants, le triplet 
et
donc aussi le triplet 
sont
directs.
En effet, 
étant
les composantes de 
(dans
la base 
),
le déterminant de passage de 
à
(par
exemple) s'écrit:
(12.115)
Ce déterminant est donc positif,
puisqu'au moins un des 
n'est
pas nul, d'après la troisième propriété d'indépendance linéaire
du produit vectoriel.
Voici encore quelques propriétés très importantes d'utilité pratique du produit vectoriel (en physique particulièrement) qui sont triviales à vérifier si les développements sont effectués (nous pouvons les faire sur demande si jamais!) :
P1. 
P2. 
P3.
P4. 
P5. 
PRODUIT MIXTE
Nous pouvons étendre la définition du produit vectoriel à un autre type d'outil mathématique que nous appelons le "produit mixte" :
Définition: Nous appelons "produit mixte" des vecteurs x, y, z le double produit :
(12.116)
souvent condensé sous la notation suivante :
(12.117)
D'après ce que nous avons vu lors de la définition du produit scalaire et vectoriel , le produit mixte peut également s'écrire :
(12.118)
Nous remarquerons que dans
le cas où E est
l'espace vectoriel eucliden,
la valeur absolue du produit mixte symbole le volume (orienté)
du parallélépipède,
construit sur des représentants x,
y, z d'origine
commune.
De par les propriétés de commutativité du produit scalaire, nous avons :
(12.119)
et le lecteur vérifiera sans aucune peine (nous le ferons s'il y a demande) en développant les composantes que :
(12.120)
Le produit mixte jouit également des propriétés que le lecteur ne devrait avoir aucun mal à vérifier en développant les composantes mis à part peut-être P3 qui découle des propriétés du produit scalaire et vectoriel (nous pouvons développer sur demande si jamais!) :
P1. 
P2. 
P3. 
si
et seulement si x, y, z sont
linéairement indépendants
P4. 
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