PRODUIT VECTORIEL



COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

Le produit vectoriel de deux vecteurs est une opération propre à la dimension 3. Pour l'introduire, il faut préalablement orienter l'espace destiné à le recevoir. L'orientation étant définie au moyen de la notion de "déterminant", nous commencerons par une brève introduction à l'étude de cette notion. Cette étude sera reprise plus tard dans le détail lors de l'analyse des systèmes linéaires dans le chapitre d'algèbre linéaire.

Définition: Nous appelons "déterminant" des vecteurs-colonnes de equation (pour la forme générale du déterminant se reporter au chapitre d'Algèbre Linéaire) :

equation   (12.92)

et nous notons:

equation   (12.93)

le nombre (produit soustrait en croix) :

equation   (12.94)

Nous appelons déterminant des vecteurs-colonnes de equation (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire):

equation   (12.95)

et nous notons :

equation   (12.96)

le nombre :

equation   (12.97)

Ainsi, la fonction qui associe à tout couple de vecteurs-colonnes de equation (à tout triplet de vecteurs-colonnes de equation) son déterminant est appelé "déterminant d'ordre 2" (respectivement d'ordre 3).

Le déterminant a comme propriété d'être multiplié par -1 si l'un de ses vecteurs colonnes est remplacé par son opposé ou si deux de ses vecteurs-colonnes sont échangés (la vérification étant simple nous nous abstiendrons de la démonstration, sauf sur demande). En plus, le déterminant est non nul si et seulement si ses vecteurs-colonnes sont linéairement indépendants (la démonstration se trouve quelques lignes plus bas et est d'une grande importance en mathématique).

Définition: Soit equation et equation les composantes respectives des vecteurs equation et equation dans la base orthonormale equation. Nous appelons "produit vectoriel" de equation et equation, et nous notons indistinctement:

equation   (12.98)

le vecteur :

equation   (12.99)

ou sous forme de composantes :

equation   (12.100)

Remarques:

R1. La première notation est la notation internationale due à Gibbs (que nous utiliserons tout au long de ce site), la deuxième est la notation français due à Burali-Forti (assez embêtant car se confond avec l'opérateur ET en logique).

R2. Il est assez embêtant de retenir par coeur les relations qui forment le produit vectoriel habituellement. Mais heureusement il existe au moins trois bons moyens mnémotechniques :

1. Le plus rapide consiste à retrouver l'une des expressions des composantes du produit vectoriel et ensuite par décrémentation des indices (en recommencent à 3 lorsque qu'on arrive à 0) de connaître toutes les autres composantes. Encore faut-il trouver un moyen simple de se souvenir d'une des composantes. Un bon moyen est la propriété mathématique suivante de deux vecteur colinéaires permettant facilement de retrouver la troisième composante (celle selon l'axe Z) :

Soit deux vecteurs colinéaires dans un même plan, alors :

equation   (12.101)

Nous retrouvons donc bien l'expression de la troisième composante du produit vectoriel de deux vecteurs (non nécessairement colinéaires... eux!).

2. La seconde mais que nous verrons lors de notre étude du calcul tensoriel consiste à utiliser le symbole d'antisymétrie (également appelé "tenseur de Levi-Civita"). Cette méthode est certainement la plus esthétique d'entre toutes mais pas nécessairement la plus rapide à développer. Nous donnons ici juste l'expression sans plus d'explications pour l'instant (elle est également utile pour l'expression du déterminant par extension) :

equation   (12.102)

3. Cette dernière méthode est assez simple et triviale aussi mais elle utilise implicitement la première méthode: la i-ème composante equation est le déterminant des deux colonnes privées de leur i-ème terme, le deuxième déterminant étant cependant pris avec le signe "-" tel que :

equation   (12.103)

Il est important, même si c'est relativement simple, de se rappeler que les différents produits vectoriels pour les vecteurs d'une base orthogonale sont :

equation   (12.104)

Le produit vectoriel jouit aussi propriétés suivantes que nous allons démontrer :

P1. Antisymétrie :

equation   (12.105)

P2. Linéarité :

equation   (12.106)

P3. Si et seulement si equation et equation sont linéairement indépendants (très important !) :

equation   (12.107)

P4. Non associativité : 

equation   (12.108)

Les deux premières propriétés découlent directement de la définition et la propriété P4 se vérifié aisément en développant les composantes et en comparant les résultats obtenus.

Démontrons alors la troisième propriété qui est très importante en algèbre linéaire.

Démonstration:

Soient deux vecteurs equation et equation. Si les deux vecteurs sont linéairement dépendants alors il existe equation tel que nous puissions écrire:

equation   (12.109)

Si nous développons le produit vectoriel des deux vecteurs dépendants à un facteur equation près, nous obtenons:

equation   (12.110)

Il va sans dire que le résultat ci-dessus est égal au vecteur nul equationsi effectivement les deux vecteurs sont linéairement dépendants.

equationC.Q.F.D.

Si nous supposons maintenant que les deux vecteurs equation et equation sont linéairement indépendants et non nuls, nous devons démontrer que le produit vectoriel est:

P3.1. Orthogonal (perpendiculaire) à equation et equation

P3.2. De norme equation, où equation est l'angle entre equation et equation

Démonstration:

Commençons par la première propriété P3.1 (première importance en physique!) :

equation   (12.111)

ce qui montre bien que le vecteur equation est perpendiculaire au vecteur résultant du produit vectoriel entre equation et equation!

equationC.Q.F.D.

Terminons avec la deuxième propriété P3.2 (aussi de première importance en physique!) :

Démonstration:

Soit le carré de la norme du produit vectoriel equation. D'après la définition du produit vectoriel nous avons:

equation   (12.112)

Donc finalement:

equation   (12.113)

equationC.Q.F.D.

Nous remarquerons que dans le cas où E est l'espace vectoriel géométrique, la norme du produit vectoriel représente l'aire du parallélogramme construit sur des représentants equation et equation d'origine commune.

equation
  (12.114)

Si equation et equation sont linéairement indépendants, le triplet equation et donc aussi le triplet equation sont directs.

En effet, equationétant les composantes de equation (dans la base equation), le déterminant de passage de equation à equation (par exemple) s'écrit:

equation   (12.115)

Ce déterminant est donc positif, puisqu'au moins un des equation n'est pas nul, d'après la troisième propriété d'indépendance linéaire du produit vectoriel.

Voici encore quelques propriétés très importantes d'utilité pratique du produit vectoriel (en physique particulièrement) qui sont triviales à vérifier si les développements sont effectués (nous pouvons les faire sur demande si jamais!) :

P1. equation

Remarque: Cette relation est appelée la "règle de Grassmann" et il est important de noter que sans les parenthèses le résultat n'est pas unique.

P2. equation

P3. equation

P4. equation

P5. equation

PRODUIT MIXTE

Nous pouvons étendre la définition du produit vectoriel à un autre type d'outil mathématique que nous appelons le "produit mixte" : 

Définition: Nous appelons "produit mixte" des vecteurs x, y, z  le double produit :

equation   (12.116)

souvent condensé sous la notation suivante :

equation   (12.117)

D'après ce que nous avons vu lors de la définition du produit scalaire et vectoriel , le produit mixte peut également s'écrire :

equation   (12.118)

Nous remarquerons que dans le cas où E est l'espace vectoriel euclidenequation, la valeur absolue du produit mixte symbole le volume (orienté) du parallélépipède, construit sur des représentants x, y, z d'origine commune.

Remarque: Il est assez trivial que le produit mixte est une extension à 3 dimension du produit vectoriel. Effectivement, dans l'expression du produire mixte, le produit vectoriel représente la surface de base du parallélépipède et le produit scalaire projette un des vecteurs sur le vecteur résultant du produit vectoriel ce qui donne la hauteur h du parallélépipède.

De par les propriétés de commutativité du produit scalaire, nous avons :

equation   (12.119)

et le lecteur vérifiera sans aucune peine (nous le ferons s'il y a demande) en développant les composantes que :

equation   (12.120)

Le produit mixte jouit également des propriétés que le lecteur ne devrait avoir aucun mal à vérifier en développant les composantes mis à part peut-être P3 qui découle des propriétés du produit scalaire et vectoriel (nous pouvons développer sur demande si jamais!) :

P1. equation

P2. equation

P3. equation si et seulement si x, y, z sont linéairement indépendants

P4. equation

Remarque: Nous reviendrons sur le produit mixte lors de notre étude du calcul tensoriel car il permet d'arriver à un résultat très intéressant en particulier en ce qui concerne la relativité générale!

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