PRODUIT SCALAIRE vectoriel



COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

Définition: Un "espace vectoriel euclidien", est un espace vectoriel (réel et de dimension finie pour les puristes) possédant une opération particulière, le "produit scalaire" que nous noterons (notation spécifique à ce site Internet) en ce qui concerne le cas particulier des vecteurs :

equation   (12.52)

Remarques:

R1. Nous trouvons dans certains ouvrages (pour information) la notation equation ou encore equation lors de la généralisation de cette définition comme nous le verrons un peu plus loin.

R2. Le produit scalaire à une importance énorme dans l'ensemble du domaine des mathématiques et de la physique, ainsi nous le retrouvons dans le calcul différentiel et intégral (de par le produit scalaire fonctionnel), en topologie, en physique quantique en analyse du signal etc... il convient donc de bien comprendre ce qui va suivre.

R3. Le produit scalaire peut être vu comme une projection de la longueur d'un vecteur sur la longueur d'un autre.

Ce produit scalaire possède les propriétés suivantes (dont la plupart découlent de la définition même du produit scalaire) dans un espace euclidien:

P1. Commutativité : equation

P2. Associativité : equation

P3. Distributivité : equation

P4. Si equation

P5. equation et equation si equation

P6. equation

Seule cette dernière propriété nécessite peut-être une démonstration (de plus un des résultats de la démonstration nous servira à démontrer une autre propriété très importante du produit scalaire):

Démonstration:

Soit :

equation   (12.53)

qui constitue la "projection orthogonale vectorielle" (le v en indice du proj signifiant "vectoriel) du vecteur equation sur la normalisation à l'unité du vecteur equation.

A l'aide du produit scalaire, le vecteur equationpeut être exprimé autrement il suffit de prendre la relation que nous avons vu plus haut: 

equation   (12.54)

et de l'introduire dans equationavec les vecteurs adéquats pour obtenir :

equation   (12.55)

Cette expression vaut également dans le cas où equation est nul, à condition d'admettre que la projection orthogonale de vecteur nul est nul.

La norme de equation s'écrit :

equation   (12.56)

Si equation est unitaire, les relations de projections précédentes se simplifient et deviennent :

equation et  equation   (12.57)

Par des considérations géométriques élémentaires (distributivité du produit scalaire), il est facile de se rendre compte que :

equation et equation   (12.58)

Si nous revenons maintenant à la démonstration de :

equation   (12.59)

Nous avons donc dans un premier temps:

equation   (12.60)

et d'après la définition la propriété de la projection orthogonale il vient alors immédiatement en faisant la correspondances terme à terme:

equation   (12.61)

d'où la propriété P6 qui s'ensuit par multiplication des deux membres de l'égalité par equation.

equationC.Q.F.D.

Définitions:

D1. L'espace vectoriel E est dit "espace vectoriel proprement euclidien" si equation

D2. Nous disons que les vecteurs equation et equation sont des "vecteurs orthogonaux" s'ils sont non nuls et que leur produit scalaire est nul (leur angle est égal à equation).

Une base equation de V est dite "base orthonomormale" si les vecteurs equation sont orthogonaux deux à deux et unitaires (donc constituant une famille libre).

Remarque: Nous verrons en calcul tensoriel (nous aurions pu le faire ici aussi mais bon...) comment à partir d'un ensemble de vecteurs indépendants construire une base orthogonale. C'est ce que le lecteur pourra trouver sous le nom de "méthode d'orthogonalisation de (Grahm-)Schmidt".

Par le raisonnement géométrique, nous voyons que tout vecteur est la somme de ses projections orthogonales sur les vecteurs d'une base orthonormale, autrement dit, si equation est une base orthonormale:

equation   (12.62)

Cette décomposition s'obtient également par la propriété de P6 du produit scalaire. En effet, equation étant les composantes de equation :

equation   (12.63)

puisque equation et equation de même :

equation et equation   (12.64)

d'où la décomposition.

Soit equation et equation les composantes respectives des vecteurs equation et equation dans une base orthonormale canonique equationnous pouvons écrire le produit scalaire sous la forme :

equation   (12.65)

de la propriété P6 du produit scalaire :

equation
  (12.66)

en utilisant la propriété P1 et à nouveau P6 :

equation
  (12.67)

Ce qui nous donne finalement la décomposition :

equation   (12.68)

qui constitue l'une des relations les plus importantes dans le domaine du calcul vectoriel et que nous appelons "produit scalaire canonique".

INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ

La relation:

equation   (12.69)

s'écrit également trivialement sous la forme suivante si nous utilisons la notion de norme et la définition du produit scalaire :

equation   (12.70)

Il est intéressant de remarque que si les deux vecteurs equation et equation sont orthogonaux, nous retrouvons le résultat d'un théorème fameux: le théorème de Pythagore!

Effectivement, dès lors nous avons si les deux vecteur sont orthogonaux:

equation   (12.71)

Ce qui nous donne:

equation   (12.72)

Cette relation est très importante en physique-mathématique. Il faut s'en souvenir !

Nous appelons également "inégalité de Cauchy-Schwarz" l'inégalité, valable pour tout choix des vecteurs equation et equation, la relation :

equation   (12.73)

Ce qui s'écrit aussi :

equation   (12.74)

D'abord nous considérerons comme évident que l'égalité n'a lieu qu'en cas de colinéarité des deux vecteurs.

Démonstration:

Nous nous plaçons dans le cas où equation. Alors, pour equation nous avons trivialement selon les propriétés du produit scalaire :

equation   (12.75)

Il s'agit donc d'une simple équation du deuxième degré où la variable est equation. En se rappelant de ce que nous avons vu lors de notre étude des polynômes du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique) la relation précédente (le fait qu'elle soit toujours supérieure ou égale à zéro) est satisfaite que si le discriminant equation est négatif ou nul. En d'autres termes, si :

equation   (12.76)

Soit après simplification :

equation   (12.77)

equationC.Q.F.D.

Lorsque E est equation, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit avec les composantes des vecteurs :

equation   (12.78)

Dans le cas particulier où equation elle devient:

equation   (12.79)

ou encore:

equation   (12.80)

ce qui montre que le carré de la moyenne arithmétique est inférieur ou égal à la moyenne arithmétique des carrés. Ce résultat est important pour l'étude des statistiques.

Par ailleurs, en vertu de la propriété du cosinus et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous pouvons écrire:

equation   (12.81)

relation que nous retrouvons également dans le cadre de l'étude des statistiques (cf. chapitre de Statistiques).

INÉGALITÉ TRIANGULAIRE

En majorant equation par equation (de par l'inégalité de Cauchy-Schwarz!) et en mettant ceci dans la relation établie déjà précédemment:

equation   (12.82)

Nous obtenons:

equation   (12.83)

ce qui entraîne la fameuse "inégalité triangulaire" (très utile dans l'étude des suites et séries pour l'étude des convergences ainsi qu'en topologie) :

equation   (12.84)

Remarque: La généralisation de cette inégalité relativement aux propriétés des normes telles que nous le verrons en topologie, donne ce que nous appelons "l'inégalité de Minkowski".

En appliquant une fois l'inégalité triangulaire aux vecteurs equation et equation et une autre fois aux vecteurs equation et equation nous obtenons la variante :

equation   (12.85)

PRODUIT SCALAIRE (GÉNÉRAL)

Voyons maintenant une autre manière un peu plus générale (s'appliquant à des vecteurs ou fonctions), formelle et abstraite pour définir le produit scalaire tout en tentant de rester le plus simple possible (attention dans le cas général la notation du produit scalaire change!) :

Définition: Soit E un espace vectoriel réel (!). Une "forme bilinéaire symétrique positive" sur E, est une application :

equation   (12.86)

qui vérifie (par définition!):

P1. La positivité :

equation   (12.87)

P2. La nullité (définie) :

equation   (12.88)

P3. La symétrie :

equation   (12.89)

P4. La bilinéarité (forme bilinéaire) avec, dans l'ordre, la "linéarité à gauche" et la "linéarité à droite":

equation   (12.90)

Remarque: A nouveau, ces propriétés sont principalement imposées par notre approche intuitive de l'espace euclidien et de son interprétation géométrique.

Définition: Un espace E muni d'un produit scalaire est appelé un "espace préhilbertien". Si E est de dimension finie, nous parlons alors "d'espace euclidien".

Nous avons vu en topologie (cf. chapitre de Topologie) que les propriétés du produit scalaire sont les briques de bases pour définir  une norme et donc une distance dans un espace métrique. Cette distance sera alors donnée selon ce que nous avons obtenu en topologie :

equation   (12.91)

Définition: Nous disons qu'un espace E  muni d'un produit scalaire equation est un "espace Hilbertien" ou "espace de Hilbert" si cet espace est complet pour la métrique définie ci-dessus.

En d'autres termes, avoir un espace métrique muni donc d'une distance générée par un produit scalaire est une chose. Ensuite, avoir une distance mesurable en est une autre. Un espace de Hilbert a donc des distances mesurables au sens topologique du terme car l'ensemble sur lequel on travaille est continu et n'importe quel point peut-être approché indéfiniment (imaginez avoir une règle et que vous ne pouvez pas avec cette règle approcher les points qui définissent les dimensions de votre objet... ce serait gênant...). Donc sans espace complet une grande partie des théorèmes de l'analyse fonctionnelle ne pourraient pas être utilisés dans l'étude des espaces vectoriels et cela serait très gênant en physique quantique ondulatoire par exemple...

Formellement, rappelons qu'un espace métrique est complet si toutes les suites de Cauchy (cf. chapitre des Suites Et Séries) de cet espace sont convergentes (cf. chapitre sur les Fractals) dans un espace métrique (cf. chapitre de Topologie).


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