OPRÉRATEURS DIFFÉRENTIELS



COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

Définition: Un champ scalaire, vectoriel ou tensoriel, dans un volume V, est une application qui, à tout point equation de ce volume V, associe respectivement une grandeur scalaire, vectorielle ou tensorielle.

Ainsi, l'application f qui, à tout point equation de V, de coordonnées spatiales x, y, z associe la valeur scalaire equation est un champ scalaire dans V.

En chaque point d'un volume traversé par un fluide en mouvement, le vecteur qui coïncide à chaque instant avec la vitesse de la particule changeante qui passe en ce point à ce même instant définit un champ vectoriel 3D, éventuellement variable dans le temps. Les champs ainsi définis constituent un outil mathématique de base dans l'ensemble de la physique.

Remarque: Lorsque nous représentons graphiquement un champ scalaire, l'ensemble des points continus de valeur égale constituent ce que l'on appelle des "isolignes" ou plus couramment "courbes de niveau".

Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre que nous allons présenter ici. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles d'ordre 2.

Nous les rencontrerons en particulier en mécanique des fluides et en électromagnétisme ainsi que physique quantique ondulatoire où ils permettent d'exprimer facilement certaines propriétés.

GRADIENTS D'UN CHAMP SCALAIRE

Le gradient est un opérateur qui s'applique à un champ de scalaires et le transforme en champ de vecteurs. Intuitivement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire, et l'intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l'altitude est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.

Soit un champ scalaire tridimensionnel equation, où x et y et z sont les coordonnées cartésiennes d'un point M de l'espace. Lorsque M se déplace dans l'espace selon le vecteur equation de composantes dx, dy et dz, le champ scalaire f varie de df selon la différentielle totale:

equation   (12.175)

A partir de cette relation, nous pouvons définir "l'opérateur gradient" d'un champ scalaire tel que:

equation   (12.176)

où :

equation   (12.177)

est un terme vectoriel appelé le "gradient du champ scalaire f". Pour condenser l'écriture, nous utilisons parfois le symbole equation nommé le "nabla du champ scalaire f".

Le vecteur obtenu par le calcul du gradient a les quatre propriétés suivante :

P1. Ses composantes représentent la variation (pente) de la fonction f selon les différentes directions de l'espace.

P2. Sa norme est la variation maximale de f en fonction de la distance.

P3. Sa direction est selon la variation maximale de f en fonction de la distance.

P4. Le sens indique les valeurs où f augmente.

A partir de la définition et de la différentielle totale, nous obtenons

equation   (12.178)

Ce qui nous amène à poser que:

equation   (12.179)

et donc que finalement l'opérateur "gradient en coordonnées cartésiennes" est donné par :

equation   (12.180)

Finalement nous voyons que le gradient d'un champ scalaire equation est le champ vectoriel dont les composantes en chaque point sont les trois dérivées du champ scalaire f par rapport aux trois coordonnées spatiales, notées ici x, y, z.

La variation de f pour un déplacement equation est donc le produit scalaire de equation par le gradient du champ f. Or, un déplacement infinitésimal equationeffectué le long d'une isoligne (décrivant une isosurface), du champ scalaire tridimensionnel f(x, y, z) n'engendre aucune variation df de f. Le produit scalaire évoqué est donc nul dans ce cas, ce qui implique que equation et equation sont perpendiculaires.

En considérant cette fois un déplacement perpendiculaire aux isolignes, nous montrons facilement que le vecteur gradient de f est dirigé depuis les faibles valeurs de f vers les fortes valeurs de f. Son module étant d'autant plus grand que f varie rapidement au voisinage du point considéré.

Par sa direction, son sens et son module, le vecteur gradient d'un champ en un point comporte donc des indications sur la manière dont varie le champ autour de ce point.

Remarque: Une des conditions nécessaire et suffisante pour qu'un champ de vecteurs soit le gradient d'un champ scalaire f est que ce champ vectoriel soit irrotationnel (voir plus loin l'opérateur rotationnel d'un champ vectoriel).

Après avoir défini le gradient en coordonnées cartésiennes x, y, z nous devons nous intéresser à l'expression de cet opérateur dans d'autres systèmes de coordonnées. Il est fréquent en physique d'avoir à utiliser les coordonnées cylindriques, polaires et sphériques pour simplifier l'étude formelle de systèmes physiques. Ainsi, si nous faisons référence à notre étude des systèmes de coordonnées, nous avons (rappel) d'abord en coordonnées polaires:

equation   (12.181)

Or, avec la définition du gradient en coordonnées cartésiennes, nous avons en coordonnées polaires la définition suivante:

equation   (12.182)

Si nous exprimons la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) de df nous obtenons les relations suivantes:

equation   (12.183)

Ce qui nous permet d'obtenir la relation:

equation   (12.184)

donc :

equation   (12.185)

ce qui nous amène à :

equation   (12.186)

Ainsi le "gradient en coordonnées polaires" s'exprime comme:

equation   (12.187)

Occupons nous maintenant de l'expression du gradient en coordonnées cylindriques. Rappelons que lors de l'étude des différents systèmes de coordonnées nous avons obtenu pour les coordonnées cylindriques:

equation   (12.188)

Donc nous savons déjà que l'expression du gradient en coordonnées cylindriques sera identique à celle en coordonnées polaires à l'exception de l'ajout de la composante verticale z indépendante des autres coordonnées. Ainsi, nous obtenons l'opérateur "gradient en coordonnées cylindriques" :

equation   (12.189)

Occupons nous maintenant de l'expression du gradient en coordonnées sphériques. Rappelons que lors de l'étude des différents systèmes de coordonnées nous avons obtenu pour les coordonnées sphériques:

equation   (12.190)

Or, avec la définition du gradient en coordonnées cartésiennes, nous avons en coordonnées sphériques la définition suivante:

equation   (12.191)

Si nous exprimons la différentielle totale de df nous obtenons les relations suivantes:

equation   (12.192)

Ce qui nous permet d'obtenir la relation (nous utilisons maintenant la notation qui use de l'opérateur "nabla"):

equation   (12.193)

La relation:

equation   (12.194)

Nous impose:

equation   (12.195)

Ainsi l'opérateur "gradient en coordonnées sphériques" s'exprime comme:

equation   (12.196)

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions du gradient dans les systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.

GRADIENTS D'UN CHAMP DE VECTEURS

Le gradient d'un champ vectoriel equation est le champ dit "champ tensoriel" défini par les 9 relations suivantes en coordonnées cartésiennes:

equation   (12.197)

Nous utiliserons un tel gradient lors de notre étude dans le chapitre de Génie Météo de l'effet Papillon dont l'origine vient de la détermination des équations de Navier-Stokes en Mécanique des Milieux Continus.

Par les 4 relations suivantes en coordonnées polaires:

equation   (12.198)

Par les 9 relations suivantes en coordonnées cylindriques:

equation   (12.199)

Par les 9 relations suivantes en coordonnées sphériques:

equation   (12.200)

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions du gradient d'un champ vectoriel dans les systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.  

DIVERGENCES D'UN CHAMP DE VECTEURS

La divergence s'applique à un champ de vecteurs et le transforme en un champ de scalaires. Intuitivement, et dans les cas le plus courant, la divergence d'un champ vectoriel exprime sa tendance à provenir ou converger vers certains points.

Cependant, il faut distinguer deux contributions à la divergence que nous définirons rigoureusement un peu plus loin : l'une due aux variations de direction appelée la "divergence directionnelle" et l'autre due aux variations de modules (norme) appelée la "divergence modulaire". Ainsi, pour des champs simples, nous pouvons imaginer des cas où la divergence ne serait que modulaire et d'autres, où elle ne serait que directionnelle. Nous pourrions aussi construire un champ où les deux types de divergence coexistent, mais d'effets contraires (convergence modulaire et divergence directionnelle par exemple).

Prenons par exemple un vecteur equation de l'espace et faisons lui traverser une surface S quelconque. Les physiciens assimilent alors la quantité equation qui se dirige suivant la normale à la surface au flux de equation à travers S .

Pour se convaincre de cette analogie nous pouvons imaginer un fluide coulant sur une surface plane, le flux à travers la surface est évidemment nul, par contre si le fluide coule verticalement à travers une surface horizontale le flux sera maximal. Il est alors immédiat de vouloir représenter le flux par le produit scalaire de equation avec la normale equation de la surface S.

Remarque: Il faut toujours prendre garde à la direction de equation car en un point quelconque d'une surface on a en général deux normales.

Si la surface est plane la normale est la même partout mais si elle change suivant les endroits, nous nous intéresserons alors à un petit élément de surface ds.

Si un petit élément de flux est défini par :

equation   (12.201)

alors le flux total sera donné par :

equation   (12.202)

ce qui est parfois noté (c'est un peu abusif mais pourquoi pas...) :

equation   (12.203)

Supposons maintenant que notre vecteur equation déplace un point equation de l'espace en equation à travers un parallélépipède rectangle de côtés dx, dy et dz :

equation
  (12.204)

Nous pouvons décomposer le mouvement (flux) à travers chaque face du parallélépipède (décompositions dans la base orthonormée). Par exemple, si nous nous intéressons à l'élément décomposé du flux à travers la face (dy, dz)  décrite par les sommets BCFG nous avons bien évidemment equation.

Il nous faut encore déterminer comment représenter le flux equation pour cette direction. Comme le flux est une fonction, c'est-à-dire que chacune de ces composantes peut être dépendante des trois composantes de l'espace (si nous prenons le cas particulier d'une fonction dans equation) nous avons :

equation   (12.205)

Remarque: Ceux qui ne sont pas convaincus peuvent aller lire le début du chapitre d'électrodynamique où nous prenons le champ électrique comme (excellent) exemple.

Alors la variation du flux selon x sera donnée par :

equation   (12.206)

ce qui nous donne :

equation   (12.207)

De même pour les deux autres faces :

equation   (12.208)

d'où en sommant :

equation   (12.209)

Par rapport à la première expression de equation, le terme dxdydz est donc un élément de volume et non plus de surface. Nous avons aussi un résultat intéressant :

equation   (12.210)

Remarque: Voir les exemples pratiques dans le chapitre d'électrodynamique où par exemple pour le champ électrique la divergence est nulle pour un charge sphérique libre car les vecteurs pointent dans des directions différentes (divergence directionnelle) et les modules décroissent comme l'inverse du carrée du rayon (convergence modulaire). Les deux contributions sont en oppositions et donc la divergence totale est nulle.

Le développement ci-dessus est appelé "théorème d'Ostrogradsky" ou "théorème de Gauss-Ostrogradsky" ou encore "théorème de la divergence" et définit en fait la divergence totale de equation dans un volume comme le flux de equation à travers les parois du volume (surface Gauss), ce qu'exprime bien le nom divergence.

Nous définissons "l'opérateur divergence" par la relation suivante (la notation tensorielle a été utilisée afin d'abréger l'écriture) dans un espace à n dimensions:

equation   (12.211)

Ainsi, nous avons pour l'opérateur "divergence en coordonnées cartésiennes" :

equation   (12.212)

Si la divergence d'un champ de vecteurs est identiquement nulle en tous les points d'un repère Eulérien, l'intégrale triple du flux de ce champ à travers un volume V sera:

equation   (12.213)

Il en résulte que le flux de ce champ de vecteurs à travers les bords du volume est nul, c'est-à-dire que le flux entrant compense le flux sortant. Nous disons qu'un tel champ de vecteurs de divergence nulle présente un flux conservatif.

Pour déterminer l'expression de la divergence en coordonnées polaires rappelons les relations démontrées plus haut :

equation   (12.214)

Soit à présent equation une fonction vectorielle. Nous avons :

equation   (12.215)

Connaissant l'expression de equation en fonction de equation, à partir de l'expression ci-dessus nous en déduisons :

equation   (12.216)

La divergence de equation est définie par equation. Nous avons :

equation   (12.217)

Le premier terme vaut (application du gradient en coordonnées cylindriques):

equation   (12.218)

de la même façon nous obtenons (nous pouvons détailler sur demande) :

equation   (12.219)

En additionnant les trois termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions equation en fonction des dérivées partielles des fonctions equation à l'aide des relations :

equation   (12.220)

Nous obtenons :

equation   (12.221)

Après simplification :

equation   (12.222)

L'expression de l'opérateur "divergence en coordonnées polaires" est alors :

equation   (12.223)

Pour déterminer l'expression de l'opérateur divergence en coordonnées cylindriques rappelons les relations :

equation   (12.224)

Soit à présent equation une fonction vectorielle. Nous avons :

equation   (12.225)

Connaissant l'expression de equation en fonction de equation, à partir de l'expression ci-dessus nous en déduisons :

equation   (12.226)

La divergence de equation est définie par equation. Nous avons :

equation   (12.227)

Le premier terme vaut (application du gradient en coordonnées cylindriques):

equation   (12.228)

de la même façon nous obtenons (nous pouvons détailler sur demande) :

equation   (12.229)

et :

equation   (12.230)

En additionnant les trois termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions equation en fonction des dérivées partielles des fonctions equation à l'aide des relations :

equation   (12.231)

Nous obtenons :

equation   (12.232)

Après simplification :

equation   (12.233)

L'expression de l'opérateur "divergence en coordonnées cylindriques" est alors :

equation   (12.234)

Pour obtenir l'expression de la divergence en coordonnes sphériques, rappelons les relations :

equation   (12.235)

Soit à présent equation une fonction vectorielle. Nous avons :

equation   (12.236)

Connaissant l'expression de equation en fonction de equation, à partir de l'expression ci-dessus nous en déduisons :

equation   (12.237)

La divergence de equation est définie par equation. Nous avons :

equation   (12.238)

Le premier terme vaut (application du gradient en coordonnées sphériques):

equation   (12.239)

de la même façon nous obtenons (nous pouvons détailler sur demande) :

equation   (12.240)

et :

equation   (12.241)

En additionnant les trois termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions equation en fonction des dérivées partielles des fonctions equation à l'aide des relations :

equation   (12.242)

nous obtenons (nous pouvons développer les détails intermédiaires sur demande) :

equation  (12.243)

Ainsi, l'expression de la divergence en coordonnées sphériques devient :

equation   (12.244)

et donc l'opérateur de "divergence en coordonnées sphériques" est alors :

equation   (12.245)

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions de la divergence d'un champ vectoriel dans les systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.

ROTATIONNELS D'UN CHAMP DE VECTEURS

Le rotationnel d'un champ de vecteurs peut être vu (c'est une simplification!) comme le champ de vecteurs dont les lignes de champs sont perpendiculaires à celles dont nous avons calculé le rotationnel comme le montre l'exemple particulier ci-dessous:

equation
  (12.246)

Le rotationnel transforme ainsi un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Plus difficile à se représenter précisément que le gradient et la divergence, il exprime intuitivement la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un point (la manière dont il est tordu).

exempleExemples:

E1. Dans une tornade, le vent tourne autour de l'oeil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du vent a un rotationnel non nul autour de l'oeil.

E2. Le rotationnel du champ des vitesses d'un disque qui tourne à vitesse constante est constant, dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens direct.

Un champ de vecteurs est dit "irrotationnel" lorsque le rotationnel de ce champ est identiquement nul en tous les points de l'espace. Dans le cas contraire, nous disons qu'il est "tourbillonnaire".

Dans le cas usuel où dx représente un élément de longueur, l'unité du rotationnel est alors l'unité du champ considéré divisée par une unité de longueur. Par exemple, en mécanique des fluides: l'unité du rotationnel d'un champ de vitesse est le radian par unité de temps, comme une vitesse angulaire!

La divergence donne certaines indications sur le comportement d'un vecteur ou d'un champ de vecteurs : comment il se dirige par rapport à la normale et comment il traverse les surfaces, mais c'est insuffisant. Prenons un champ qui aurait la forme d'un cylindre et un autre champ qui aurait la forme d'une hélice de même diamètre que le cylindre. S'ils se dirigent dans la même direction leur divergence sera identique alors que les mouvements sont bien différents. Il faut donc que nous déterminions la manière dont le champ est courbé quand il traverse une surface : ceci va être déterminé par la circulation (comme le travail d'une force par exemple) du vecteur le long d'une courbe fermée, obtenue avec la somme des produits scalaires equation sur le contour :

equation   (12.247)

en fait ça revient au même de regarder comment est tordu le vecteur par rapport à la normale à la surface ce qui nous amène à définir le "rotationnel" ou "vecteur tourbillon" en écrivant :

equation   (12.248)

qui établit donc une relation entre l'intégrale curviligne et l'intégrale de surface (on transforme donc une intégrale curviligne sur un parcours fermé en une intégrale de surface délimitée par ledit parcours).

En d'autres termes, le rotationnel se calcule en utilisant le fait que la circulation autour d'un circuit élémentaire fermé d'un champ de vecteurs est égal au flux de son rotationnel à travers la surface élémentaire immédiate engendrée par ce circuit.

Ceci est le "théorème de Stokes" (qui est plus rigoureusement démontrable avec un formalisme mathématique assez lourd) qui est donc en fait une définition de l'opérateur rotationnel dont nous allons chercher l'expression mathématique explicite :

Soit equation un champ vectoriel défini dans un espace donné. Nous voulons donc calculer la circulation du equation autour d'un contour fermé C :

equation   (12.249)

Nous choisissons comme contour C le contour d'un rectangle infinitésimal de côté equation plongé dans equation et parallèle au plan xOy (remarquez que nous parcourons le contour de façon a toujours avoir la surface à notre gauche) :

equation
  (12.250)

Pour les deux côtés horizontaux, la contribution à la circulation est :

equation   (12.251)

Ce qui nous autorise à écrire :

equation   (12.252)

De même, pour les faces verticales :

equation   (12.253)

Ainsi, nous avons la circulation selon z :

equation   (12.254)

Ce qui s'écrit aussi sous la forme générale traditionnelle suivante :

equation   (12.255)

et constitue le non moins fameux "théorème de Green" ou appelé encore "théorème de Green-Riemann" que nous retrouverons dans le chapitre d'Analyse Complexe.

Et que nous écrirons dans le cas qui nous intéresse :

equation   (12.256)

Par permutation circulaire nous obtenons alors :

equation   (12.257)

Soit sous forme vectorielle condensée :

equation   (12.258)

Ce qui permet de mieux comprendre la notation, ou la définition non intuitive du rotationnel dans beaucoup d'ouvrages et qui est :

equation   (12.259)

soit le produit vectoriel de l'opérateur gradient avec le champ vectoriel.

Donc nous avons finalement démontré le théorème de Stokes qui donne bien :

equation   (12.260)

et en même temps le rotationnel en coordonnées cartésiennes.

Cherchons maintenant à déterminer l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques ((le rotationnel en coordonnées polaires n'étant pas définissable).

En réutilisant la même technique que pour le rotationnel en coordonnées cylindriques, nous écrivons la circulation de equationle long d'un contour correspondant à un petit morceau de cylindre orthogonal à (Oz) : equation.

equation
  (12.261)

Nous avons alors en fixant z (attention le equationn'a rien à voir avec le r du rayon du cylindre... la notation peut être confuse nous en sommes désolé!) :

equation   (12.262)

la circulation totale donne donc après regroupement des termes :

equation
  (12.263)

Nous ne pouvons pas à cette étape directement comparer avec le rotationnel car il nous est difficile de faire apparaître la différentielle de la surface si nous regardons les différentielles qui apparaissent actuellement dans la circulation. Le mieux est alors tout diviser par equation:

equation   (12.264)

Donc :

equation   (12.265)

Maintenant nous déterminons le rotationnel en fixant equation. Le problème revient à avoir donc un rectangle dans l'espace que nous parcourons pour déterminer la circulation. Or, nous savons déjà ce qu'est le résultat du rotationnel pour un rectangle en coordonnées cartésiennes :

equation   (12.266)

à la différence que dans les coordonnées cylindrique il faut substituer z par equation, x par z, y par r, equation par equation et finalement equation par equation (ce choix s'impose toujours simplement parce que le circulation se fait de telle manière que la surface soit toujours à notre gauche) . Ce qui nous donne :

equation   (12.267)

Il ne nous reste plus qu'à trouver la composante du rotationnel en r (soit quand r est fixé). Le calcul est alors plus délicat puisqu'il s'agit de parcourir (positivement toujours!) une surface courbée par la variation de l'angle equation.

Nous avons alors en fixant r :

equation   (12.268)

la circulation totale donne donc après regroupement des termes :

equation   (12.269)

Nous ne pouvons pas à cette étape directement comparer avec le rotationnel car il nous est difficile de faire apparaître la différentielle de la surface si nous regardons les différentielles qui apparaissent actuellement dans la circulation. Le mieux est alors tout diviser par equation:

equation
  (12.270)

Donc finalement :

equation   (12.271)

Et finalement le rotationnel en coordonnées cylindriques dans sa globalité est donné par :

equation   (12.272)

Le lecteur pourrait aisément vérifier que ce résultat est simplement le gradient en coordonnées cylindriques appliqué au champ vectoriel equation.

Pour s'en persuader, montrons maintenant directement l'expression du rotationnel en coordonnées sphériques directement en montrant ceci via le produit vectoriel du gradient en coordonnées sphériques avec le champ vectoriel equation.

D'abord rappelons que nous avons obtenu pour le gradient en coordonnées sphériques :

equation   (12.273)

Donc il vient :

equation   (12.274)

ce que nous pouvons aussi écrire en décomposant à l'aide des vecteurs de base :

equation   (12.275)

A l'aide des dérivées partielles que nous avions démontrées lors de notre introduction plus haut du système de coordonnées sphériques il vient :

equation   (12.276)

Les produits vectoriels avec le vecteur colinéaires s'annulent. Il reste donc :

equation   (12.277)

Comme le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne le vecteur orthogonal correspondant (positivement ou négativement) nous avons alors :

equation   (12.278)

En regroupant les termes il vient :

equation   (12.279)

Soit en simplifiant :

equation   (12.280)

Soit finalement :

equation   (12.281)


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