LAPLACIENS D'UN CHAMP SCALAIRE



COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

Le laplacien d'un champ scalaire equationest le champ scalaire qui mesure la différence entre la valeur de la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. En d'autres termes, la dérivée partielle deuxième mesure les variations de la pente au point étudiée dans un entourage immédiat et selon une dimension à la fois. Si la dérivée partielle deuxième est nulle selon x, alors la pente est constante dans un entourage immédiat et selon cette dimension, cela implique que la valeur de la fonction au point étudié est la moyenne de son entourage (selon une dimension)

Cet opérateur s'obtient à partir de la divergence du gradient et nous la notons (écriture tensorielle):

equation   (12.282)

Le laplacien est nul, ou assez petit, lorsque la fonction varie sans à-coup. Les fonctions vérifiant l'équation de Laplace equation sont appelées "fonctions harmoniques".

Donc l'opérateur "laplacien en coordonnées cartésiennes" est :

equation   (12.283)

Le laplacien d'un champ scalaire et dans d'autres systèmes de coordonnées est un peu plus long à développer. Il existe plusieurs méthodes et parmi celles existantes j'ai choisi celles dont le type de raisonnement et les outils utilisés semblaient pertinents. Il est intéressant d'aborder différentes stratégies mais bien sûr il existe des méthodes plus simples que celle présentée ci-dessous.

Soit le laplacien en coordonnées cartésiennes dans equation d'un champ scalaire f :

equation   (12.284)

Pour déterminer cette expression en coordonnées polaires,  nous allons utiliser la différentielle totale et la règle de chaîne en coordonnées polaires:

equation   (12.285)

donc pour une dérivée seconde:

equation   (12.286)

or, nous avons pour les coordonnées polaires:

equation et equation   (12.287)

d'où:

equation et equation

equation et equation
  (12.288)

d'où:

equation   (12.289)

et compte tenu que les dérivées partielles secondes sont continues, alors les dérivées croisées sont égales selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (12.290)

Donc:

equation   (12.291)

De façon similaire, nous aurons :

equation   (12.292)

d'où l'expression du laplacien en coordonnées polaires en sommant les deux dernières expressions :

equation   (12.293)

Donc l'opérateur "laplacien en coordonnées polaires" est finalement donné par :

equation   (12.294)

Pour trouver l'expression du laplacien en coordonnées sphériques, nous allons utiliser l'intuition du physicien et les notions de similitude.

Nous allons tout d'abord nous aider de la figure ci-dessus pour savoir de quoi l'on parle:

equation
  (12.295)

Rappelons que les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques sont données par les relations:

equation   (12.296)

Nous allons considérer maintenant les similitudes suivantes:

Coordonnées cylindriques: equation et equation

Coordonnées sphériques: equation et equation

Construisons un tableau de correspondance:

equation   (12.297)

L'objectif est de jouer avec cette correspondance avec d'abord le laplacien en coordonnées cylindriques où l'on a soustrait des deux côtés de l'égalité le terme equation. Ainsi:

equation  (12.298)

utilisons le tableau de correspondance et nous obtenons :

equation   (12.299)

Le deuxième terme de l'égalité de cette dernière relation est l'équivalent sphérique du terme #1 du laplacien en coordonnées cylindriques:

equation   (12.300)

Maintenant examinons le terme : equation

Identiquement lorsque nous avons déterminé la relation:

equation   (12.301)

nous obtenons:

equation   (12.302)

avec:

equation et equation   (12.303)

ce qui nous permet d'écrire:

equation   (12.304)

si nous jouons encore avec le tableau de correspondance, nous avons:

equation   (12.305)

nous divisons cette relation des deux côtés par equation et ainsi nous obtenons:

equation   (12.306)

Nous avons donc ci-dessus l'équivalent sphérique du terme #2 du laplacien en coordonnées cylindriques:

equation   (12.307)

Le troisième et dernier terme est très simple à déterminer. Nous remplaçons equation par equation afin d'obtenir:

equation   (12.308)

En rassemblant tous les termes obtenus précédemment, nous obtenons enfin la forme étendue du laplacien en coordonnées sphériques si utilisé en physique:

equation   (12.309)

Nous pouvons raccourcir cette expression et factorisant les termes:

equation   (12.310)

Si nous condensons encore un peu, nous obtenons l'expression finale de l'opérateur "laplacien en coordonnées sphériques" appelé aussi "laplacien sphérique":

equation   (12.311)

LAPLACIENS D'UN CHAMP VECTORIEL

Le laplacien d'un champ vectoriel equation est le champ vectoriel défini par (notation tensorielle):

equation   (12.312)

dont les composantes sont les laplacien des composantes.

Ainsi, en coordonnées cartésiennes:

equation   (12.313)

Le laplacien d'un champ de vecteurs, appelé fréquemment "laplacien vectoriel", en d'autres systèmes de coordonnées est assez simple à obtenir à partir de la connaissance du laplacien d'un champ scalaire dans ces mêmes coordonnées. Ainsi, en coordonnées polaires, nous avons pour le laplacien d'un champ vectoriel la relation suivante:

equation   (12.314)

et en coordonnées cylindriques:

equation   (12.315)

et finalement en coordonnées sphériques :

equation   (12.316)

IDENTITÉS

Les opérateurs différentiels scalaires et vectoriels ont des identités remarquables très simples que nous retrouverons très souvent en physique.

Voyons d'abord les relations qui n'ont aucun sens (au cas où vous tomberiez dessus sans faire exprès...):

 equation ou equation   (12.317)

Le rotationnel d'une divergence n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ vectoriel alors que la divergence est un scalaire.

equation ou equation   (12.318)

Le rotationnel d'un laplacien scalaire n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ vectoriel alors que par construction, le laplacien est un scalaire.

Voyons maintenant quelques propriétés remarquables sans démonstrations (cependant si vous en avez besoin car vous n'y arrivez pas seul, n'hésitez pas à nous contacter, nous compléterons):

I1. Par construction le laplacien scalaire est la divergence du gradient du champ :

equation   (12.319)

I2. Le rotationnel du gradient est nul:

equation   (12.320)

Donc si le rotationnel d'une variable vectorielle est nul, la variable peut être exprimée comme le gradient d'un potentiel scalaire! C'est une propriété très important en éléctromagnétisme et mécanique des fluides!

Démonstration:

equation   (12.321)

equationC.Q.F.D.

I3. La divergence du rotationnel d'un champ vectoriel est toujours nulle :

equation ou equation   (12.322)

Démonstration:

equation   (12.323)

equationC.Q.F.D.

I4. Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel est égal au gradient de la divergence de ce champ moins son laplacien vectoriel :

equation ou equation   (12.324)

Démonstration:

equation   (12.325)

Il est ensuite facile de vérifier que cette dernière égalité est égale à :

equation   (12.326)

equationC.Q.F.D.

I5. La multiplication de l'opérateur nabla par le produit scalaire de deux vecteurs est égale à... (voir ci-dessous), qui donne une relation très utile en mécanique des fluides :

equation   (12.327)

I6. Le produit scalaire du rotationnel d'un vecteur est la différence des opérateurs commutés tel que :

equation   (12.328)

Nous réutiliserons cette dernière relation lors de notre étude en électromagnétisme de la pression de radiation (entre autres).

RÉSUMÉ

Dans le cadre de ce site Internet, nous faisons usage des différentes notations présentées et résumées dans le tableau ci-dessous. Leur usage permet dans le cadre de différentes théories d'éviter des confusions avec d'autres êtres mathématiques. C'est embêtant certes mais il faudra faire avec.

ÊTRE MATHEMATIQUE

NOTATIONS

Gradient d'un champ scalaire

equation  equation

Gradient d'un champ vectoriel

equation

Divergence d'un champ de vecteurs

equation

Rotationnel d'un champ de vecteurs

equation   rot(equation)

Laplacien d'un champ scalaire

equation

Laplacien d'un champ vectoriel

equation

Tableau: 12.1  - Résumé des opérateur différentiels vectoriels

Et pour les pragmatiques voici un résumé des explications des opérateurs les plus importants en physique :

- Le gradient signifie "la pente" (exemple : le champ électrique est la pente du potentiel électrostatique).

Les différentes expressions du gradient (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques sont les suivantes :

equation   (12.329)

equation   (12.330)

equation   (12.331)

equation   (12.332)

- La divergence caractérise un flux de quelque chose qui vient de quelque part, d'une source, ou qui y va. Si la divergence n'est pas nulle, c'est qu'il y a concentration autour d'un point, donc la densité augmente (ou diminue, c'est selon le signe). Ca peut être la densité de charges électriques ou bien la masse volumique. D'où le fameux théorème qui dit que le flux (ce qui passe dans une surface) est égal à l'intégrale de la divergence (ce qui reste).

Les différentes expressions de la divergence (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques sont les suivantes :

equation   (12.333)

equation   (12.334)

equation   (12.335)

equation   (12.336)

- Le rotationnel caractérise l'existence d'un tourbillon (très utilisé en mécanique des fluides). S'il y a un tourbillon, on peut suivre une ligne de courant sur une courbe fermée sans qu'elle change de sens : la circulation ne sera pas nulle (elle vaut l'intégrale du rotationnel).

Les différentes expressions du rotationnel en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques sont les suivantes :

equation

equation

- Le laplacien d'un champ scalaire est le champ scalaire qui mesure la différence entre la valeur de la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. En d'autres termes, la dérivée partielle deuxième mesure les variations de la pente au point étudiée dans un entourage immédiat et selon une dimension à la fois. Si la dérivée partielle deuxième est nulle selon une direction, alors la pente est constante dans un entourage immédiat et selon cette dimension, cela implique que la valeur de la fonction au point étudié est la moyenne de son entourage (selon une dimension).

Les différentes expressions du laplacien (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en coordonnées cartésiennes, polaires et sphériques sont les suivantes :

equation   (12.337)

equation   (12.338)

equation   (12.339)