EspaceS VectorielS



COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

Définition: Nous appelons "espace vectoriel" un ensemble E d'éléments désignés par equation et appelés "vecteurs", muni d'une "structure algébrique vectorielle" définie par la donnée de l'addition (soustraction) vectorielle et la multiplication par un scalaire. Ces deux opérations satisfaisant les lois associativité, de commutativité, de distributivité, d'élément neutre et d'opposé comme nous l'avons déjà vu dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.

Pour plus d'informations sur ce qu'est un espace vectoriel dans le sens "ensembliste" le lecteur devra se reporter au chapitre de Théorie Des Ensembles où ce concept est défini avec plus de rigueur.

Remarque: Muni de ces deux opérations, un espace vectoriel est dit "vectorialisé".

Pour tout entier positif n, equationdésignera l'ensemble des n-uplets de nombres disposés en colonne :

equation   (12.14)

et equationest à l'évidence munie d'une structure d'espace vectoriel. Les vecteurs de cet espace seront appelés "vecteurs-colonne". Il seront souvent désignés plus brièvement par :

 equation   (12.15)

ou encore plus simplement par : 

equation   (12.16)

Le nombre equation est parfois appelé "terme" ou "composante d'indice i" de equation.

combinaisons linéaires

Dorénavant, sauf mention explicite du contraire, les vecteurs seront les éléments d'un espace vectoriel E.

Définition: Nous appelons "combinaison linéaire" des vecteurs equation tout vecteur de la forme :

equation   (12.17)

ou equation sont des nombres appelés "coefficients de la combinaison linéaire".

Le vecteur nul est combinaison linéaire de equation avec tous les coefficients égaux à zéro. Nous parlons dès lors de "combinaison linéaire triviale".

Définition: Nous appelons "combinaison convexe", toute combinaison linéaire dont les coefficients sont non négatifs et de somme égale à 1. L'ensemble des combinaisons convexes de deux points P et Q d'un espace ponctuel equation (ayant un origine) est le segment de droite P et Q. Pour s'en rendre compte, il suffit d'écrire:

 equation   (12.18)

de faire varier equation de 0 à 1 et de constater que tous les points du segment sont ainsi obtenus.

Si le vecteur equation est combinaison linéaire des vecteurs equation et chacun de ces vecteurs est combinaison linéaire des vecteurs equation, alors equation est combinaison linéaire de equation.

SOUS-ESPACES VECTORIELS

Définition: Nous appelons "sous-espace vectoriel de E" tout sous-ensemble de E qui est lui-même un espace vectoriel pour les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire définies dans E.

Un sous-espace vectoriel, en tant qu'espace vectoriel, ne peut être vide puisqu'il comprend au moins un vecteur, à savoir son vecteur nul, celui-ci étant d'ailleurs forcément le vecteur nul de E. En outre, en même temps que les vecteurs equation et equation(s'il en contient d'autres que le vecteur nul), il comprend également toutes leurs combinaisons linéaires equation.  

Inversement, nous voyons aussitôt que tout sous-ensemble jouissant de ces propriétés est un sous-espace vectoriel. Nous avons ainsi établi la proposition suivante :

Un sous ensemble S de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si S est non vide et equation appartient à S pour tout couple equation de vecteurs de S et tout couple equation.

FAMILLES GÉNÉRATRICES

Il en découle que si nous avons une famille de vecteurs equation l'ensemble des combinaisons linéaires de equation peut être un sous-espace vectoriel S de E, plus précisément le plus petit sous-espace vectoriel de E comprenant equation.

Les vecteurs equation qui satisfont à la condition ci-dessus sont appelés "générateurs" de S et la famille equation, famille génératrice de S. Nous disons aussi que ces vecteurs ou cette famille engendrent S.

Remarque: Le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul est formé de tous les multiples de ce vecteur. Nous appelons un tel sous-espace "droite vectorielle". Un sous-espace vectoriel engendré par deux vecteurs non multiples l'un de l'autre est appelé "plan vectoriel".

DÉPENDANCE ET INDÉPENDANCES LINÉAIRES

Ce qui va suivre est très important en physique nous conseillons donc au futur physicien de prendre vraiment le temps de bien lire les développements qui vont suivre.

Si equation sont trois vecteurs de equation dont les représentants ne sont pas parallèles à un même plan (par convention une flèche d'intensité nulle est parallèle à tout plan), alors tout vecteur equation de equationpeut s'écrire de manière unique sous la forme :

equation   (12.19)

equation sont des nombres.

equation
  (12.20)

En particulier, la seule possibilité d'obtenir le vecteur nul comme combinaison linéaire de equation est d'attribuer la valeur triviale 0 à equation.

Réciproquement, si pour trois vecteurs equation de equation la relation : 

equation   (12.21)

implique equation, aucun des vecteurs ne peut être combinaison linéaire des deux autres, autrement dit, leurs représentants ne sont pas parallèles à un même plan.

Sur la base de ces observations, nous allons étendre la notion d'absence de parallélisme à un même plan au cas d'un nombre quelconque de vecteurs d'un espace vectoriel E.

Nous disons que les vecteurs equation sont "linéairement indépendants" si la relation : 

equation    (12.22)

implique nécessairement equation, autrement dit, si la combinaison linéaire triviale est la seule combinaison linéaire de equation qui soit nulle. Dans le cas contraire, nous disons que les vecteurs equation sont "linéairement dépendants".

Si l'attention est fixée sur la famille equation plutôt que sur les termes dont elle est constituée, nous disons que celle-ci est une "famille libre" ou "famille liée" suivant que les vecteurs equation sont linéairement indépendants ou dépendants.

BASES D'UN ESPACE VECTORIEL

Définition: Nous disons qu'une famille finie de vecteurs est une base de E si et seulement si :

1. Elle est libre

2. Elle engendre E

D'après cette définition, toute famille libre equation est une base du sous-espace vectoriel qu'elle engendre.

exemple Exemple:

Si nous considérons equation comme equation-espace vectoriel (cf. chapitre de Théorie des Ensembles), alors puisque tous les éléments de equation s'écrivent equation, les éléments qui engendrent equation sont 1 et i (les deux sont libres).

Une base de equation (qui est de dimension 2) comme equation-espace vectoriel est donc la famille finie libre {1,i}.

Pour qu'une famille de vecteurs equation soit une base de E, il faut et il suffit donc que tout vecteur equation de E s'exprime de manière unique sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs equation :

equation   (12.23)

La relation ci-dessus est une décomposition de equation suivant la base equation où les coefficients equation sont les composantes de equation dans cette base. En présence d'une base, tout vecteur est donc entièrement déterminé par ses composantes.

Proposition:

Si equation sont les composantes de equation et equation celles de equation, alors:

equation   (12.24)

sont les composantes de equation.

En d'autres termes, additionner deux vecteurs revient à additionner leurs composantes et multiplier un vecteur par un scalaire revient évidemment à multiplier ses composantes par ce même scalaire. La base est donc un outil important car elle permet d'effectuer les opérations sur les vecteurs au moyen d'opérations sur les nombres. 

exempleExemple:

Les vecteurs colonnes de equation :

equation   (12.25)

 

forment un base que nous appelons "base canonique" de equation(nous travaillerons dans les espaces complexes dans un autre chapitre).

Remarque: Dans le cadre de l'espace à trois dimensions, les bases sont très souvent assimilées à un trièdre (effectivement si vous reliez les extrémités des trois vecteurs par des traits vous obtiendrez un trièdre imaginaire).

ANGLES DIRECTEURS

Il est clair qu'un seul angle ne peut décrire la direction d'un vecteur dans l'espace. Nous utilisons alors la notion "d'angles directeurs". Il s'agit de mesurer l'angle du vecteur equation par rapport à chacun des axes positifs de la base :

equation
  (12.26)

Si : 

equation  (12.27)

alors:

equation   (12.28)

Les valeurs :

equation   (12.29)

sont appelées les "cosinus directeurs" de equation.

Les 3 angles mentionnés ne sont pas complètement indépendants. En effet, 2 suffisent pour déterminer complètement la direction d'un vecteur dans l'espace, le troisième pouvant se déduire de la relation suivante (obtenue à partir du calcul de la norme du vecteur, concept que nous verrons un peu plus loin):

equation   (12.30)

De plus, les cosinus directeurs sont les composantes scalaires d'un vecteur de norme unitaire equation ayant la même direction que equation:

equation   (12.31)

DIMENSIONS D'UN ESPACE VECTORIEL

Nous disons que E est de "dimension finie" s'il est engendré par une famille finie de vecteurs. Dans le cas contraire, nous disons que E est de "dimension infinie" (nous aborderons ce type d'espaces dans un autre chapitre). Tout espace vectoriel de dimension finie et non réduit au vecteur nul admet une base. En fait, de toute famille génératrice d'un tel espace nous pouvons extraire une base.

La dimension d'un espace vectoriel est notée:

dim(E)   (12.32)

Tout espace vectoriel E de dimension finie non nulle n peut être mis en correspondance biunivoque (c'est-à-dire en bijection) avec equation. Il suffit de choisir une base de E et de faire correspondre à tout vecteur equation de E le vecteur-colonne dont les termes sont les composantes de equation dans la base choisie (c'est du bla bla de mathématicien mais ce sera utile quand nous aborderons des espaces plus complexes) :

equation   (12.33)

Cette correspondance conserve les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire que nous avons déjà vues; en d'autres termes, elle permet d'effectuer les opérations sur les vecteurs par des opérations sur les nombres. 

Remarque: Nous disons alors que E et equation sont "isomorphes" ou que la correspondance est un isomorphisme (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

PROLONGEMENT D'UNE FAMILLE LIBRE

Soit equation une famille libre et equation une famille génératrice de E. Si equation n'est pas une base de E, nous pouvons extraire une sous-famille equation de equation de telle manière que la famille equation soit une base de E.

Remarque: Une telle étude a son utilité lors de passage d'espace mathématique ayant des propriétés données à un autre espace ayant des propriétés mathématiques différentes.

Démonstration:

H1. Nous supposons qu'au moins un des vecteurs equation n'est pas combinaison linéaire des vecteurs equation, sinon equationengendrerait E et serait donc une base possible de E. Notons ce vecteur equation. La famille equation est alors une famille libre. En effet, la relation : 

equation   (12.34)

implique alors tout d'abord que equation, autrement equation serait combinaison linéaire des vecteurs equation, et ensuite equation, puisque les vecteurs equation sont linéairement indépendants. 

Si la famille equation engendre E, elle est une base possible de E et le théorème est démontré. Dans le cas contraire, le même raisonnement nous assure l'existence d'un autre vecteur equation.... Si la nouvelle famille en découlant n'est pas un base de E, alors le procédé d'extraction de vecteurs equation de equation se poursuit. Lorsqu'il s'arrête, nous aurons obtenu un "prolongement" de equation en une famille libre engendrant E, c'est-à-dire une base de E.

equationC.Q.F.D.

Il en retourne un corollaire: Tout espace vectoriel de dimension finie et non réduit au vecteur nul admet une base. En fait, de toute famille génératrice d'un tel espace, nous pouvons donc extraire une base.

RANG D'UNE FAMILLE FINIE

Définition: Nous appelons "rang d'une famille" de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel de E qu'elle engendre.

Montrons que le rang d'une famille de vecteurs equation est inférieur ou égal à k et qu'il est égal à k si et seulement si cette famille est libre.

Démonstration:

Ecartons d'abord le cas trivial où le rang de la famille equation est nul. D'après le corollaire vu précédemment, nous pouvons alors extraire de cette famille une base du sous-espace vectoriel qu'elle engendre. Le rang est donc inférieur ou égal à k suivant que equation est une famille liée ou non.

equationC.Q.F.D.

SOMMES DIRECTES

Définition: Nous disons que la somme S+T de deux sous-espaces vectoriels S et T de E (cas particulier appliqué à un espace de dimensions 2 !) est une "somme directe" si :

equation   (12.35)

Dans ce cas, nous la notons :

equation   (12.36)

En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels S et T de E est directe si la décomposition de tout élément de S+T en somme d'un élément de S et d'un élément de T est unique.

Ce concept de décomposition trivial va nous être très utile dans certains théorèmes dont le plus important sur ce site est certainement le théorème spectral (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

De la somme directe nous pouvons introduire la notion de "sous-espace complémentaire" appelé encore "sous-espace supplémentaire" (selon les pays...) :

Supposons que E soit de dimension finie. Pour tout sous-espace vectoriel S de E, il existe un sous-espace vectoriel T (non unique) de E tel que E soit somme directe de S et T. Nous disons alors que T est un "sous-espace complémentaire" de S dans E.

Démonstration:

Ecartons d'abord les cas triviaux où equation et S=E. Le sous-espace vectoriel S admet une base equation, où equation est inférieur à la dimension n de E. Par le théorème du prolongement d'une famille libre, cette base peut se prolonger en une base equationde E. Soit T le sous-espace vectoriel engendré par la famille equation. Si equation est un vecteur quelconque de E, alors equation, où equationest un vecteur de S et equationun vecteur de T. En outre, equation car aucun vecteur, excepté le vecteur nul, ne peut être combinaison linéaire des vecteurs equation et des vecteurs equation. Nous en concluons donc que :

equation   (12.37)

equationC.Q.F.D.


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