ESPACE AFFINE



COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

L'espace G de la géométrie élémentaire est à la fois usuel et la source de la notion "d'espace affine" que nous allons introduire. 

Cet espace G est associé à "l'espace vectoriel" géométrique V par la correspondance entre flèches et vecteurs étudiés jusqu'ici! La définition suivante ne fait que mettre en évidence les traits dominants de cette correspondance :

Définition: Soit U un ensemble non vide d'éléments que nous appellerons "points" et désignerons par les lettres P, Q, ... ; soit en outre E un espace vectoriel. Supposons qu'à tout couple de points (P,Q) corresponde un vecteur noté equation. Nous disons alors que U est un "espace affine" d'espace directeur (ou dit simplement abusivement de "direction") E si les conditions suivantes sont satisfaites :

C1. Pour tout point P fixé, la correspondance entre couples (P,Q) et vecteurs equation est biunivoque, autrement dit, pour tout vecteur equation il existe un point Q et un seul tel que equation.

C2. Pour tout triplet de points (P,Q,R) :

equation   (12.38)

C'est la fameuse "relation de Chasles"-

C3. Si P est un point et equation un vecteur, pour exprimer que Q est l'unique point tel que equation, nous écrivons:

equation   (12.39)

Bien qu'un peu abusive, cette écriture est conforme à l'usage et suggère bien le sens de l'opération qu'elle désigne.

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine :

P1. equation

P2. Pour tout point P, equation. Cela résulte de la condition equation dans le cas où nous avons equation.

P3. equation. Il suffit de poser R=P dans la relation de Chasles equation.

P4. Règle du parallélogramme : 

Soit le polygone de sommets (dans le sens des aiguilles d'un montre) equation et arêtes equation :

equation

Nous avons : 

equation    (12.40)

si et seulement si :

equation   (12.41)

ce qui donnerait alors un parallélogramme!

En effet, en remplaçant R par Q' dans la relation de Chasles il vient :

equation   (12.42)

et en faisant de même mais en remplaçant R par Q' et Q  par P' nous avons :

equation   (12.43)

Nous avons alors en égalisant ces deux dernières relations :

equation   (12.44)

ce qui force l'égalité susmentionnée que nous voulions démontrer.

Précédemment, nous avons vu ce qui faisait qu'un espace G pouvait être muni d'une structure d'espace vectoriel (nous avons vu que nous disons que ce dernier était dès lors "vectorialisé"). Dans le cas général d'un espace affine U, le procédé est le même :

Nous choisissons un point quelconque O de U. La correspondance entre couples equation et vecteurs de l'espace directeur étant alors biunivoque nous définissons l'addition de points et la multiplication d'un point par un scalaire par les opérations correspondantes sur les vecteurs de E. Muni de ces deux opérations, U devient un espace vectoriel, appelé "vectorialisé de U relativement à O". Nous désignerons cet espace par equation et appellerons O "l'origine".

Vu la manière dont les opérations ont été définies, il résulte que equation est isomorphe à l'espace directeur E:

equation   (12.45)

Toutefois, cet isomorphisme dépend du choix de l'origine O et en pratique cette origine est choisie sur la base, de données inhérentes aux problèmes posés. Par exemple, si une transformation affine admet un point invariant (qui ne bouge pas), il y a avantage à choisir ce point comme origine.

Remarques:

R1. Lorsque nous parlons de dimension d'un espace affine, nous parlons de la dimension de son espace directeur.

R2. L'espace G de la géométrie élémentaire est un espace affine. En effet, sa direction est l'espace géométrique V et les conditions de définition d'un espace affine sont satisfaites. Il faut bien noter qu'au couple de points equation est associé le vecteur equation et non pas la flèche PQ. En fait, la flèche pouvant être identifiée au couple de points, nous voyons que ce que postule la définition d'un espace affine n'est rien d'autre qu'une forme abstraite de correspondance entre flèches et vecteurs.

R3. Tout espace vectoriel E peut être considéré comme un espace affine de direction E lui-même si au couple de vecteurs equation est associé le vecteur equation. En effet, les conditions de définition d'un espace affine sont dès lors satisfaites.

ESPACEs VECTORIELs EUCLIDIENs

Avant de définir ce qu'est un espace vectoriel euclidien, nous allons au préalable définir quelques outils mathématiques et quelques concepts.

Nous pouvons, en choisissant une unité de longueur, mesurer l'intensité de chaque flèche, autrement dit, déterminer sa longueur. Nous pouvons aussi mesurer l'écart angulaire de deux flèches (ou vecteurs) quelconques d'origine commune (non nécessairement distinctes) en prenant comme unité de mesure d'angle par exemple le radian. La mesure de cet écart est alors un nombre compris entre 0 et equation, appelé "angle" des deux flèches. Si les deux flèches ont même direction et même sens, leur angle est nul et si elles ont même direction et sens opposé, ce même angle est equation.

Les flèches représentatives d'un même vecteur equation ont toutes la même longueur. Nous désignerons cette longueur par la notation:

equation   (12.46)

et l'appellerons "norme" de equation. Il est clair que la longueur d'un vecteur est nulle si et seulement si sa norme est nulle. Nous dirons qu'un vecteur est unitaire si sa norme est 1. 

Si equation est un vecteur non nul :

equation   (12.47)

est un vecteur unitaire colinéaire (nécessairement...) à equation dont la norme est égale à l'unité et que nous notons equation.

Nous appellerons "angle des vecteurs non nuls" equation et equation l'angle de deux flèches d'origine commune représentant l'une equation et l'autre equation.

Plus rigoureusement cependant une "norme" sur un espace vectoriel réel (ou complexe) E est une application equation vérifiant les propriétés :

P1. Positivité :

equation   (12.48)

P2. Linéarité :

equation   (12.49)

P3. Nullité :

equation   (12.50)

P4. Inégalité de Minkowski (inégalité triangulaire) :

equation   (12.51)

Remarques:

R1.Ces propriétés sont principalement imposées par notre approche intuitive de l'espace euclidien et de son interprétation géométrique.

R2. Nous démontrerons un peu plus loin la propriété P4 sous la dénomination "d'inégalité triangulaire" et nous ferons une étude un peu plus générale de cette inégalité sous la dénomination "d'inégalité de Minkowski" dans le chapitre de Topologie.


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