ESPACES VECTORIELS FONCTIONNELS



COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

Soit equation l'ensemble des fonctions réelles k-fois dérivables dans l'intervalle fermé equation. Nous désignerons les éléments de cet ensemble par les lettres equation 

La valeur de equation au point t sera bien évidemment notée equation. Dire que equation équivaudra donc à dire que :

equation   (12.121)

De manière abrégée, nous écrirons equation, le signe equation indiquant ainsi que les deux membres sont égaux pour tout  t de l'intervalle equation.

Considérons les deux opérations suivantes :

- equation définie par la formule equation

- equation définie par la formule equation

Ces deux opérations satisfont à toutes les conditions des vecteurs d'un espace vectoriel que nous avons déjà définies au début de ce chapitre (associativité, commutativité, vecteur nul, vecteur opposé, distributivité, élément neutre) et munissent donc equation d'une structure d'espace vectoriel. Le vecteur nul de cet espace étant bien évidemment la fonction nulle et l'opposé de equation étant la fonction equation.

Il est intéressant de constater que equation en tant qu'espace vectoriel est une généralisation  de equation au cas continu. Nous pouvons en effet concevoir tout vecteur equation de equation sous la forme d'une fonction réelle définie dans l'ensemble equation: la valeur de cette fonction au point i est tout simplement equation.

Remarque: Les polynômes de degré n et à une inconnue forment aussi un exemple d'espace vectoriel fonctionnel de dimension n+1 (à chaque coefficient du polynôme correspond une composante du vecteur).

Le champ d'application privilégié de la théorie abstraite du produit scalaire est constitué par les espaces vectoriels fonctionnels. Nous appelons ainsi aussi produit scalaire canonique dans equation l'opération définie par la relation :

equation   (12.122)

Cette opération définit bien un produit scalaire, les propriétés de ce dernier sont vérifiées et, en outre, l'intégrale :

equation   (12.123)

est positive si la fonction continue equation n'est pas identiquement nulle.

ESPACES VECTORIELS HERMITIENS

L'objectif de ce qui va suivre n'est pas de faire une étude détaillée du sujet des espaces vectoriels complexes mais juste de donner le bagage et le vocabulaire minimum nécessaire à l'étude de certaines théories physiques comme la physique quantique par exemple.

Lorsque les scalaires qui apparaissent dans la définition de la notion d'espace vectoriel sont des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres), et non plus des nombres réels, nous parlons alors "d'espaces vectoriels complexes".

Remarque: Rigoureusement dans la communication courante, il devrait systématiquement être fait mention si nous parlons d'espace vectoriel réel ou d'espace vectoriel complexe...

Citons quelques exemples d'espaces vectoriels complexes :

E1. L'espace vectoriel equationdes vecteurs-colonnes à n termes complexes (equation étant identifié à equation). Nous rencontrerons, entre autres, de tels vecteurs dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste.

E2. L'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes en une indéterminée. Nous rencontrerons ce genre d'espaces dans les chapitres de Physique Quantique Ondulatoire ou encore de Chimie Quantique.

E3. L'espace vectoriel des fonctions complexes d'une variable réelle ou complexe dérivable ou non. Nous rencontrerons ce genre d'espace très fréquemment dans la section de Mécanique globalement et surtout dans les chapitres d'Électrodynamique ou encore de Mécanique Ondulatoire.

Il s'agit ici d'adapter ce que nous avons fait précédemment au espace vectoriels complexes. L'exemple suivant nous montre que nous ne pouvons pas transposer tel quel les définitions précédentes. En effet, considérons l'espace vectoriel equation. Comme pour equation, nous pourrions être tenté de définir un produit scalaire sur equation par :

equation  (12.124)

avec equation.

Malheureusement, nous nous apercevons que cette définition n'est pas satisfaisante car nous aurions alors :

equation   (12.125)

et cette quantité n'est pas en général un nombre réel dans l'espace des complexes ce qui viole la propriété de positivité du produit scalaire et donc empêche d'introduire tout concept de distance.

Nous ne pourrions donc plus définir une norme en posant equation. Pour que equation soit un nombre réel positif nous voyons qu'il faudrait plutôt définir le produit scalaire comme ceci :

equation   (12.126)

Dans ce cas nous avons :

equation   (12.127)

qui est bien un nombre réel positif. A partir de là, nous pouvons à nouveau définir une norme sur l'espace vectoriel complexe equation en posant :

equation   (12.128)

Nous allons à présent montrer comment définir un produit scalaire sur en espace vectoriel complexe dans le cas général.

PRODUIT HERMITIEN

Définition: Soit H un espace vectoriel complexe (!). Nous appelons "produit scalaire" ou plus exactement "produit hermitien" sur H, une application :

equation   (12.129)

qui vérifie :

P1. La positivité :

equation   (12.130)

P2. Nullité (définie):

equation   (12.131)

P3. Symétrie hermitienne :

equation   (12.132)

P4. La bilinéarité (forme bilinéaire) change un peu aussi... ce qui fait que nous parlons alors de "sesquilinéarité". Nous parlons alors, dans l'ordre, d'anti-linéarité à gauche et de linéarité à droite tel que :

equation   (12.133)

Remarques:

R1. Certains mathématiciens mettent l'antilinéarité à droite. C'est simplement une question de convention qui n'a aucune importance.

R2. Le lecteur remarquera peut-être sans peine que si les éléments des définitions précédentes sont tous dans equation alors la sesquilinéarité se réduit à la bilinéarité et le caractère hermitien à la symétrie. Donc le produit hermitien se réduit au produit scalaire.

R3. Nous souhaitons donner pour l'instant uniquement le minimum sur le vaste sujet que sont les espaces vectoriels complexes afin que le lecteur puisse lire sans trop de peine le début du chapitre de Physique Quantique Ondulatoire.

Lorsque nous munissons un espace vectoriel complexe d'un produit scalaire alors au même titre qu'un espace vectoriel réel devient un espace vectoriel euclidien ou préhilbertien, l'espace vectoriel complexe devient donc ce que nous appelons un "espace vectoriel hermitien" (terme assez souvent utilisé dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Définition: Encore une fois, nous disons qu'un espace H  muni d'un produit hermitien equation est un "espace de Hilbert" si cet espace est complet pour la métrique définie ci-dessus.

Ainsi, les espaces de Hilbert sont une généralisation comprenant les produits scalaires et produits hermitiens des espaces euclidiens, préhilbertiens et hermitiens.

TYPES D'ESPACES VECTORIELS

Pour résumer tout cela :

- Nous appelons espace préhilbertien (réel ou complexe) tout espace vectoriel, de dimension finie ou non, muni d'un produit scalaire.

- Nous appelons espace de Hilbert (réel ou complexe) tout espace préhilbertien complet (en tant qu'espace normé).

- Nous appelons espace euclidien tout espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

- Nous appelons espace hermitien tout espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Nous savons que tout espace vectoriel (réel ou complexe) normé de dimension finie est complet. Ainsi, les espaces euclidiens et les espaces hermitiens sont des espaces de Hilbert (respectivement réels ou complexes).


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