COURS DE CALCUL VECTORIEL

COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL

1. Notion de flèche

2. Ensemble des vecteurs

2.1. Pseudo-vecteurs

2.2. Multiplication par un scalaire

2.2.1. Règle de trois

3. Espaces vectoriels

3.1. Combinaison linéaires

3.2. Sous-espaces vectoriels

3.3. Familles génératrices

3.4. Dépendance et indépendance linéaire

3.5. Bases d'un espace vectoriel

3.5.1. Angles directeurs

3.6. Dimensions d'un espace vectoriel

3.7. Pronlogement d'une famille libre

3.8. Rang d'une famille finie

3.9. Sommes directes

4. Espaces affines

5. Espaces vectoriels euclidiens

5.1. Norme d'un vecteur

5.2. Produit scalaire vectoriel

5.2.1. Théorème de Pythagore

5.2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

5.2.3. Inégalité triangulaire

v5.2.4. Produit scalaire (général)

5.1. Produit vectoriel

5.2. Produit mixte

6. Espaces vectoriels fonctionnels

7. Espaces vectoriels hermitiens

7.1. Produit hermitien

7.2. Types d'espaces vectoriels

8. Systèmes de coordonnées

8.1. Système de coordonnées cartésiennes

8.2. Système de coordonnées sphériques

8.3. Système de coordonnées cylindriques

8.4. Système de coordonnées polaires

9. Opérateurs différentiels

9.1. Gradients d'un champ scalaire

9.2. Gradients d'un champ de vecteurs

9.3. Divergences d'un champ de vecteurs

9.3.1. Théorème de Gauss-Ostrogradsky

9.4. Rotationnels d'un champ de vecteurs

9.4.1. Théorème de Green (-Riemmann)

9.5. Laplaciens d'un champ scalaire

9.6. Laplaciens d'un champ vectoriel

9.7. Identités

9.8. Résumé

Le calcul vectoriel ou "analyse vectorielle" est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens (voir définition plus loin).

L'importance du calcul vectoriel provient de son utilisation intensive en physique et dans les sciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue que nous la présenterons, et c'est pourquoi nous nous limiterons le plus souvent au cas de l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, un champ de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles), tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel.

Remarque:Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs (voir définition plus loin).

Des notions physiques telles que la force ou la vitesse sont caractérisées par une direction, un sens et une intensité. Ce triple caractère est mis en évidence par les flèches. Celles-ci sont à l'origine de la notion de vecteur et en constituent l'exemple le plus suggestif. Bien que leur nature soit essentiellement géométrique, c'est leur aptitude à se lier les unes aux autres, donc leur comportement algébrique, qui retiendra principalement notre attention. Partagé en classes d'équivalence l'ensemble qu'elles forment représente le modèle classique d'un "espace vectoriel". Un de nos premiers objectifs est la description détaillée de ce modèle.

Remarques:

R1. Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillons au lecteur d'avoir au moins parcouru en diagonale le chapitre traitant de la théorie des ensembles dans la section d'arithmétique. Nous y définissons ce qu'est un "espace vectoriel" en utilisant les outils de la théorie des ensembles. Ce concept bien que non absolument indispensable vaut la peine quand même de s'y attarder pour voir comment deux domaines des mathématiques s'imbriquent et aussi histoire... d'aborder les choses au moins un peu rigoureusement.

R2. L'analyse vectorielle contient beaucoup de termes et de définitions qu'il faut apprendre par coeur. Ce travail est pénible mais malheureusement nécessaire.

NOTION DE FLÈCHE

Nous désignerons par U l'espace ordinaire de la géométrie élémentaire et par P, Q, ... ses points. Nous appellerons "flèche" tout segment de droite orienté (dans l'espace).

La flèche d'origine P et d'extrémité Q sera notée ou abrégé par une lettre unique (latine ou grecque) choisie arbitrairement tel que par exemple : .

Nous considérerons comme évident que toute flèche est caractérisée par sa direction, son sens (car pour une direction donnée elle peut pointer dans deux sens), son intensité ou grandeur (longueur) et ainsi que son origine.

ENSEMBLE DES VECTEURS

Définitions:

D1. Nous disons que deux flèches sont "équivalentes" si elles ont la même direction, le même sens et la même intensité.

D2. Nous disons que deux flèches sont "colinéaires" si elles ont seulement la même direction

Partageons l'ensemble des flèches en classes d'équivalences : deux flèches appartiennent à une même classe si et seulement si elles sont équivalentes.

D3. Chaque classe d'équivalence de flèches constitue un "vecteur" ou plus exactement un "vecteur libre" car son origine n'est pas prise en compte (dans le cas où son origine est bien définie, nous avons alors un "vecteur lié").

Rangeons, en outre, les flèches dégénérées (c'est-à-dire de la forme ) en une classe distinguée que nous appellerons "vecteur nul" et noterons qui ont une direction et un sens non définis... et instensité nulle.

L'ensemble des vecteurs sera lui désigné par V. Il faut souligner que les éléments de V sont des classes de flèches et non pas des flèches individuelles. Il est cependant clair qu'une flèche quelconque suffit cependant à déterminer la classe à laquelle elle appartient et il est donc naturel de l'appeler "représentant de la classe" du vecteur.

Traçons le représentant d'un vecteur à partir de l'extrémité d'un représentant d'un vecteur . La flèche dont l'origine est celle du représentant de et l'extrémité celle du représentant de détermine un vecteur que nous noterons . L'opération qui associe à tout couple de vecteurs leur somme s'appelle "addition vectorielle".

equation
(12.1)

A l'aide d'une figure, il est facile de montrer que l'opération d'addition vectorielle est associative et commutative, autrement dit, que:

(12.2)

et:

(12.3)

Il est en outre évident que le vecteur nul est l'élément neutre de l'addition vectorielle, autrement dit, que:

et (12.4)

où désigne le vecteur opposé de , c'est-à-dire le vecteur dont les représentants ont la même direction et la même intensité que ceux de , mais le sens opposé. Deux vecteurs dont la somme est nulle sont alors appelés "vecteurs opposés" puisque la seule chose qui les différencie est leur sens...

Il s'ensuit aussi que si deux ou plusieurs vecteurs ont la même direction, la même intensité et le même sens alors ce sont des "vecteur égaux".

L'opération inverse de l'addition vectorielle est la soustraction vectorielle. Soustraire un vecteur revient à additionner le vecteur opposé.

Remarques:

R1. L'addition s'étend, par récurrence, au cas d'une famille finie quelconque de vecteurs. En vertu de l'associativité, ces additions successives peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre, ce qui justifie l'écriture sans parenthèses.

R2. La multiplication entre deux vecteurs est un concept qui n'existe pas. Par contre, comme nous le verrons un peu plus loin, nous pouvons multiplier les vecteurs par certaines propriétés d'autres vecteurs que nous appelons la "norme" et encore d'autres petites choses...

PSEUDO-VECTEURS

En physique, lors de l'énoncé de ce que nous appelons le "principe de Curie", les physiciens font mention de ce qu'ils appellent des "pseudo-vecteurs". Il s'agit du vocabulaire simple pour parler de quelque chose de tout aussi trivial mais fondamentalement peu de gens en font vraiment usage. Mais il peut quand même être utile de présenter de quoi il s'agit.

Au fait, vecteurs et pseudo-vecteurs se transforment de la même manière dans une rotation ou une translation (nous verrons plus tard dans ce chapitre comment effectuer mathématiquement ces transformations). Il n'en est pas de même dans la symétrie par rapport à un plan ou à un point. Dans ces transformations nous avons par définition les propriétés suivantes :

P1. Un vecteur est transformé en son symétrique

P2. Un pseudo-vecteur est transformé en l'opposé du symétrique

Voici une figure avec des exemples types (le choix des lettre représentant les vecteurs ne sont pas du au hasard, elles sont un clin d'oeil aux propriétés des champs électriques et magnétique étudiés en physique) :

equation
(12.5)

Ben voilà... c'est tout sur les pseudo-vecteurs...

Multiplication par un scalaire

Le vecteur appelé "produit du nombre par ", est défini de la manière suivante:

Prenons une flèche représentative de et construisons un flèche de même direction, de même sens ou de sens opposé, suivant que est positif ou négatif, et d'intensité fois l'intensité de la flèche initiale; la flèche ainsi obtenue est un représentant du vecteur ; si ou , nous posons .

L'opération qui consiste à effectuer le produit d'un nombre par un vecteur est appelé "multiplication par un scalaire".

Nous vérifions aisément que la multiplication par un scalaire est associative et distributive par rapport à l'addition numérique vectorielle, autrement dit que:

equation (12.6)

Voyons de suite un exemple concret mondialement connu des vecteurs :

RÈGLE DE TROIS

Revenons un peu sur la "règle de trois" (appelée parfois "règles des rapports et proportions" ou encore "méthode de réduction à l'unité") souvent définie dans les petites classes de manière intuitive mais sans démonstration digne de ce nom. Cette règle est certainement l'algorithme le plus usité de par le monde qui sert à identifier un quatrième nombre quand trois sont donnés et que les quatre nombres sont linéairement dépendants.

La règle de trois est dérivée sous deux versions:

V1. Simple et directe si les grandeurs sont directement proportionnelles

V2. Simple et inverse si les grandeurs sont inversement proportionnelles

et lorsque deux variables X et Y sont proportionnelles nous le notons :

(12.7)

Supposons maintenant que X puisse prendre les valeurs et Y prendra les valeurs linéairement dépendantes alors:

- Le rapport proportionnel suivant :

(12.8)

est dit "rapport simple et directe".

Démonstration:

Soient deux vecteurs colinéaires et donc proportionnels à un facteur près tel que :

equation (12.9)

C.Q.F.D.

Remarque: Si ce rapport n'est pas égal, alors il faut passer à l'utilisation d'autres outils tel que la régression et in extenso l'extrapolation.

- Le rapport proportionnel suivant :

equation (12.10)

est dit "rapport simple et inverse".

Démonstration:

Soient deux vecteurs colinéaires et donc proportionnels à un facteur près tel que :

equation (12.11)

C.Q.F.D.

Remarque: Si ce rapport n'est pas égal, alors il faut passer à la régression linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques).

En gros, il suffit que nous connaissions trois variables sur les quatre pour résoudre cette simple équation du premier degré.

Les conversions de monnaies ou d'unités de mesure se font à l'aide de la règle de trois simple directe ou indirecte. Les calculs de parités (calcul prévisionnel fait par un importateur d'un certain pays ayant ses propres unités de mesures et de monnaie, qui recherche parmi plusieurs offres étrangères (dans des systèmes d'unités de mesures et de monnaies qui diffèrent de l'importateur), laquelle est la plus avantageuse ou inversement) se font également avec la règle de trois.

Remarque: Nous appelons également "règle conjointe simple ou inverse", une série de règle de trois directes ou indirectes.

Dans de tels calculs, les agents du marché d'échange ont remarqué que la plupart du temps, les rapports étaient des valeurs proches de l'unité. Ils ont été ainsi naturellement amenés à définir "le pourcentage" comme étant la proportion d'une quantité ou d'une grandeur par rapport à une autre, évaluée à la centaine (en général du moins ... ) :

Soit un nombre alors sa notation en pourcentage sera: