THÉORÈME DE RICCI



COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

Nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte que les géodésique sont les distances les plus courtes entre deux points dans n'importe quel type d'espace. Ce qui va nous intéresser maintenant, c'est d'étudier les variations d'un vecteur au cours d'un tel déplacement. Rappelons d'abord que l'équation des géodésique pour un système de coordonnées curvilignes quelconque equation de l'espace ponctuel equation (cf. chapitre des Principes) est donnée par (cf. chapitre de Relativité Générale) :

equation   (14.318)

Considérons maintenant un vecteur equation de equation composantes covariantes equation et formons le produit scalaires des vecteurs equation et equation (ce dernier vecteur, noté directement ici de manière abusive avec les indices, donne les composantes tangentes à la géodésique sur laquelle circule le premier vecteur), nous avons alors la quantité suivante :

equation   (14.319)

Lors d'un déplacement le long de la géodésique, d'un point M à un point infiniment voisin M', le scalaire subit la variation :

equation   (14.320)

et comme :

equationequation   (14.321)

d'où :

equation   (14.322)

Remplaçons dans cette dernière expression, d'une part la différentielle de equation par sa différentielle totale exacte :

equation   (14.323)

et d'autre part, la dérivée seconde equation par son expression tirée de l'équation des géodésiques. Nous obtenons :

equation   (14.324)

qui peut encore s'écrire :

equation   (14.325)

où nous avons posé :

equation   (14.326)

qui sont par définition les différentielles absolues des composantes covariantes du vecteur equation. Nous définissons également la "dérivée covariante" (appelée également "connexion") par la relation :

equation   (14.327)

Remarque: Dans les ouvrages anciens ou américains ceci est souvent noté sous la forme (que nous n'utiliserons aucunement sur ce site) :

equation   (14.328)

faisant donc usage du ";" pour noter la dérivée covariante et de la "," pour différentielle partielle.

Puisque la dérivée du produit de deux fonctions est la somme des dérivées partielles, nous avons alors aussi :

equation   (14.329)

Si nous posons equation alors nous avons (résultat que nous utiliserons après avoir démontré le théorème de Ricci pour déterminer le tenseur d'Einstein nécessaire à la relativité générale) :

equation   (14.330)

En coordonnées curvilignes, pour que la différentielle d'un vecteur soit un vecteur, il faut que les deux vecteurs dont nous prenons la différence se trouvent en un même point de l'espace. En d'autres termes, il faut transporter, d'une manière ou d'une autre, l'un des deux vecteurs infiniment voisins au point où se trouve le second et , seulement après faire la différence des deux vecteurs qui se trouvent maintenant en un seul et même point de l'espace. L'opération de transport parallèle doit être définie de telle sorte qu'en coordonnées cartésiennes (pour le petit exemple), la différence des composantes coïncide avec la différence ordinaire equation

Ainsi, nous avons bien en coordonnées cartésiennes  :

equation   (14.331)

puisque dans ce système : equation.

Ainsi, en coordonnées curvilignes la différence des composantes des deux vecteurs après le transport de l'un d'entre eux au point où se trouve l'autre est noté equation tel que nous ayons :

equation   (14.332)

Ceci nous amène à :

equation   (14.333)

Mais aussi à écrire le principe de moindre action (principe variationnel) sous la forme tensorielle :

equation   (14.334)

Considérons maintenant un tenseur d'ordre deux, produit de deux tenseurs d'ordre un tel que (nous l'avons vu lors de notre étude des compositions de tenseurs) :

equation   (14.335)

Donc :

equation   (14.336)

d'où (nous sortons les deux dernières égalités juste pour l'esthétique!):

equation   (14.337)

Ce qui nous amène à pouvoir écrire la métrique sous sa forme variationnelle appelée "identité de Ricci" :

equation   (14.338)

Mais nous avons aussi puisque equation :

equation   (14.339)

d'où l'identité :

equation   (14.340)

Avec les deux relations :

equation et equation   (14.341)

et la différentielle absolue (qui se généralise simplement pour un tenseur d'ordre deux) :

equation   (14.342)

Nous avons :

equation   (14.343)

Or, rappelons que nous avons par définition :

equation et equation   (14.344)

Donc finalement :

equation   (14.345)

La différentielle absolue sur une géodésique dans l'approximation d'un transport infinitésimal du tenseur fondamental est donc (comme nous pouvions nous y attendre) nulle. C'est le "théorème de Ricci". Certains physiciens théoriciens disent dès lors que "la dérivée covariante tue la métrique" dans le sens où la métrique ne change pas sur un différentiel d'espace.

Finalement, nous voyons aussi que pour un tenseur d'ordre deux (la métrique en particulier) nous avons :

equation   (14.346)

Nous pouvons donc écrire la différentielle absolue qui dans ce cas particulier est nul :

equation   (14.347)

et donc :

equation   (14.348)

Remarque: Il faudra se rappeler lors de la définition du tenseur d'Einstein que :

equation et equation   (14.349)

et qu'il s'agit d'une autre manière d'exprimer qu'une variation infinitésimale sur une géodésique selon le principe de moindre action tue la métrique. Nous allons donc travailler à partir de maintenant (comme avant déjà) avec des équations différentielles non nécessairement linéaires qu'il faudra intégrer pour trouver le comportement de la matière dans un espace donné.

Déterminons maintenant une expression qui nous sera très utile en relativité générale lorsque nous déterminerons l'équation d'Einstein des champs (une autre manière d'exprimer que la dérivée covariante de la métrique est nulle):

Effectuons la multiplication contractée de l'avant dernière expression par equation, il vient en utilisant la relation equation (que nous avions démontrée beaucoup plus haut que) :

equation   (14.350)

d'où la relation :

equation   (14.351)

Les quantités equation et equation représentant les mêmes sommes, nous avons alors :

equation   (14.352)

Soit g le déterminant des quantités equation. La dérivation du déterminant nous donne :

equation   (14.353)

Démonstration:

Soit une variable quelconque que nous choisissons ici être le temps t uniquement pour simplifier les notations des calculs qui vont suivre. Lorsque la partie principale du développement sera achevée, le résultat peut être adapté à tout autre variable et soit equationles colonnes d'éléments de equation.

Pour les développements qui vont suivre, nous définissons les notations :

equation   (14.354)

La règle de dérivation d'un déterminant fonctionnel est (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) :

equation   (14.355)

En considérant le premier déterminant, en faisant appel aux mineurs pour le développement de sa première colonne :

equation   (14.356)

Pour le terme j, il vient :

equation   (14.357)

Soit :

equation ou equation   (14.358)

Or, nous avons démontré bien plus haut que le tenseur métrique est son propre inverse. Donc

equation   (14.359)

Ce qui nous permet d'écrire :

equation   (14.360)

et donc :

equation   (14.361)

Ce qui s'écrit également :

equation   (14.362)

Nous pouvons adopter une autre variable. Soit h cette autre variable :

equation   (14.363)

Soit :

equation   (14.364)

En combinant :

equation et equation   (14.365)

il vient :

equation   (14.366)

Nous avons donc :

equation   (14.367)

Donc finalement (selon les règles des dérivées intérieures) l'expression suivante qui contient implicitement la dérivée covariant de la métrique :

equation   (14.368)

Effectivement:

equation   (14.369)

equationC.Q.F.D.

Cette relation ne veut pas dire grand chose tant que nous n'en ferons pas un usage plus explicite lors de notre travail sur la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale).

Soit maintenant à déterminer la dérivée covariante seconde du tenseur métrique. Rappelons-nous avant d'aller plus loin (car c'est important) que nous avions obtenu :

equation   (14.370)


page suivante : 11. Tenseur de Riemann-Christoffel