THÉORÈME DE RICCI
1. Tenseur
2.1. Sommation sur plusieurs indices
2.2. Symbole de Kronecker
2.3. Symbole d'antisymétrie
3.1. Déterminant de Gram
4. Composantes contravariantes et covariantes
5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt
5.2. Changements de bases
5.3. Bases réciproques
6.1. Tenseur fondamental
6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs
6.3. Espaces tensoriels
6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs
6.5. Contraction des indices
7.1. Tenseur symétrique
7.2. Tenseur antisymétrique
7.3. Tenseur fondamental
8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques
8.2. Repère naturel en coordonnées polaires
8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques
10.1. Identité de Ricci
11. Tenseur de Riemann-Christoffel
11.1. Première identité de Bianchi
12. Tenseur de Ricci
13. Tenseur d'Einstein
Nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte
que les géodésique sont les distances les plus
courtes entre deux points dans n'importe quel type d'espace.
Ce qui va nous intéresser maintenant, c'est d'étudier
les variations d'un vecteur au cours d'un tel déplacement.
Rappelons d'abord que l'équation des géodésique
pour un système de coordonnées curvilignes
quelconque 
de
l'espace ponctuel 
(cf.
chapitre des Principes) est donnée par (cf.
chapitre de Relativité Générale)
:
(14.318)
Considérons maintenant un vecteur 
de 
composantes
covariantes 
et
formons le produit scalaires des vecteurs et 
(ce
dernier vecteur, noté directement ici de manière
abusive avec les indices, donne les composantes tangentes à la
géodésique sur laquelle circule le premier
vecteur), nous avons alors la quantité suivante :
(14.319)
Lors d'un déplacement le long de la géodésique, d'un point M à un point infiniment voisin M', le scalaire subit la variation :
(14.320)
et comme :
(14.321)
d'où :
(14.322)
Remplaçons dans cette dernière expression,
d'une part la différentielle de 
par
sa différentielle totale exacte :
(14.323)
et d'autre part, la dérivée seconde 
par
son expression tirée de l'équation des géodésiques.
Nous obtenons :
(14.324)
qui peut encore s'écrire :
(14.325)
où nous avons posé :
(14.326)
qui sont par définition les différentielles
absolues des composantes covariantes du vecteur 
.
Nous définissons également la "dérivée
covariante" (appelée également "connexion")
par la relation :
(14.328)
faisant donc usage du ";" pour noter la dérivée covariante et de la "," pour différentielle partielle.
Puisque la dérivée du produit de deux fonctions est la somme des dérivées partielles, nous avons alors aussi :
(14.329)
Si nous posons 
alors
nous avons (résultat que nous utiliserons après
avoir démontré le théorème de
Ricci pour déterminer le tenseur d'Einstein nécessaire à la
relativité générale) :
(14.330)
En coordonnées curvilignes, pour que la différentielle
d'un vecteur soit un vecteur, il faut que les deux vecteurs
dont nous prenons la différence se trouvent en un
même point de l'espace. En d'autres termes, il faut
transporter, d'une manière ou d'une autre, l'un des
deux vecteurs infiniment voisins au point où se trouve
le second et , seulement après faire la différence
des deux vecteurs qui se trouvent maintenant en un seul et
même point de l'espace. L'opération de transport
parallèle doit être définie de telle
sorte qu'en coordonnées cartésiennes (pour
le petit exemple), la différence des composantes coïncide
avec la différence ordinaire .
Ainsi, nous avons bien en coordonnées cartésiennes :
(14.331)
puisque dans ce système : 
.
Ainsi, en coordonnées curvilignes la différence
des composantes des deux vecteurs après le transport
de l'un d'entre eux au point où se trouve l'autre
est noté 
tel
que nous ayons :
(14.332)
Ceci nous amène à :
(14.333)
Mais aussi à écrire le principe de moindre action (principe variationnel) sous la forme tensorielle :
(14.334)
Considérons maintenant un tenseur d'ordre deux, produit de deux tenseurs d'ordre un tel que (nous l'avons vu lors de notre étude des compositions de tenseurs) :
(14.335)
Donc :
(14.336)
d'où (nous sortons les deux dernières égalités juste pour l'esthétique!):
(14.337)
Ce qui nous amène à pouvoir écrire la métrique sous sa forme variationnelle appelée "identité de Ricci" :
Mais nous avons aussi puisque 
:
(14.339)
d'où l'identité :
(14.340)
Avec les deux relations :
et 
(14.341)
et la différentielle absolue (qui se généralise simplement pour un tenseur d'ordre deux) :
(14.342)
Nous avons :
(14.343)
Or, rappelons que nous avons par définition :
et 
(14.344)
Donc finalement :
(14.345)
La différentielle absolue sur une géodésique dans l'approximation d'un transport infinitésimal du tenseur fondamental est donc (comme nous pouvions nous y attendre) nulle. C'est le "théorème de Ricci". Certains physiciens théoriciens disent dès lors que "la dérivée covariante tue la métrique" dans le sens où la métrique ne change pas sur un différentiel d'espace.
Finalement, nous voyons aussi que pour un tenseur d'ordre deux (la métrique en particulier) nous avons :
(14.346)
Nous pouvons donc écrire la différentielle absolue qui dans ce cas particulier est nul :
(14.347)
et donc :
(14.348)
et 
(14.349)
et qu'il s'agit d'une autre manière d'exprimer qu'une variation infinitésimale sur une géodésique selon le principe de moindre action tue la métrique. Nous allons donc travailler à partir de maintenant (comme avant déjà) avec des équations différentielles non nécessairement linéaires qu'il faudra intégrer pour trouver le comportement de la matière dans un espace donné.
Déterminons maintenant une expression qui nous sera très utile en relativité générale lorsque nous déterminerons l'équation d'Einstein des champs (une autre manière d'exprimer que la dérivée covariante de la métrique est nulle):
Effectuons la multiplication contractée de l'avant
dernière expression par 
,
il vient en utilisant la relation 
(que
nous avions démontrée beaucoup plus haut que)
:
(14.350)
d'où la relation :
(14.351)
Les quantités 
et 
représentant
les mêmes sommes, nous avons alors :
(14.352)
Soit g le déterminant des quantités 
.
La dérivation du déterminant nous donne :
(14.353)
Démonstration:
Soit une variable quelconque que nous choisissons ici être
le temps t uniquement pour simplifier les notations
des calculs qui vont suivre. Lorsque la partie principale
du développement sera achevée, le résultat
peut être adapté à tout autre variable
et soit 
les
colonnes d'éléments de 
.
Pour les développements qui vont suivre, nous définissons les notations :
(14.354)
La règle de dérivation d'un déterminant fonctionnel est (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) :
(14.355)
En considérant le premier déterminant, en faisant appel aux mineurs pour le développement de sa première colonne :
(14.356)
Pour le terme j, il vient :
(14.357)
Soit :
ou 
(14.358)
Or, nous avons démontré bien plus haut que le tenseur métrique est son propre inverse. Donc
(14.359)
Ce qui nous permet d'écrire :
(14.360)
et donc :
(14.361)
Ce qui s'écrit également :
(14.362)
Nous pouvons adopter une autre variable. Soit h cette autre variable :
(14.363)
Soit :
(14.364)
En combinant :
et 
(14.365)
il vient :
(14.366)
Nous avons donc :
(14.367)
Donc finalement (selon les règles des dérivées intérieures) l'expression suivante qui contient implicitement la dérivée covariant de la métrique :
(14.368)
Effectivement:
(14.369)
C.Q.F.D.
Cette relation ne veut pas dire grand chose tant que nous n'en ferons pas un usage plus explicite lors de notre travail sur la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale).
Soit maintenant à déterminer la dérivée covariante seconde du tenseur métrique. Rappelons-nous avant d'aller plus loin (car c'est important) que nous avions obtenu :
(14.370)
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