TENSEURS PARTICULIERS



COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

Nous pouvons être confrontés en physique théorique à des tenseurs qui ont des propriétés intéressantes. Afin d'éviter de faire un travail redondant au cas par cas, nous allons énumérer et démontrer les différentes propriétés existantes et parler de leurs possibles implications.

TENSEUR SYMÉTRIQUE

Considérons un tenseur  equation d'ordre deux contravariantes equation. Supposons que, suivant une base equation, toutes ces composantes satisfassent aux relations:

equation   (14.181)

Sur une autre base equation, liée à la précédente par les relations de transformation connues, les nouvelles composantes de equation vérifient la relation:

equation   (14.182)

Nous voyons que la propriété equation est donc une caractéristique intrinsèque du tenseur equation, indépendante de la base ! Nous disons alors que le tenseur est un "tenseur symétrique".

La propriété de symétrie se vérifie également pour les composantes covariantes d'un tenseur symétrique puisque nous avons:

equation   (14.183)

Réciproquement, la symétrie des composantes covariantes entraîne celle des composantes contravariantes.

Pour des tenseurs d'ordre plus élevé, la symétrie peut être partielle, portant sur deux indices covariants ou deux indices contravariants. Ainsi, un tenseur d'ordre quatre, de composantes mixtes equation peut être également symétrique en i et  j, par exemple, soit:

equation   (14.184)

Nous vérifions, de même que ci-dessus, qu'une telle propriété est intrinsèque.

Un tenseur est dit "tenseur complètement symétrique" si toute transposition de deux indices de même variance, change la composante correspondante en elle-même. Par exemple, pour un tenseur d'ordre trois equation, complètement symétrique, nous avons les composantes suivantes qui sont égales entre elles:

equation   (14.185)

Des exemples de tenseurs compléments symétriques sont le tenseur des contraintes equation que nous verrons lors de notre étude des équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides et les tenseurs des transformations relativistes de Lorentz que nous verrons en mécanique relativiste. Ces tenseurs sont alors dits aussi "tenseurs totalement invariants" (sous-entendu par changement de base).

Nous pouvons également (curiosité intéressante) obtenir une représentation géométrique des valeurs des composantes d'un tenseur symétrique d'ordre deux. Pour cela, considérons dans l'espace géométrique ordinaire des coordonnées equation, l'équation suivante:

equation   (14.186)

où, rappelons-le, equation peut-être vu comme un produit tensoriel avec equation et où les equation sont des coefficients réels donnés. Supposons que ces coefficients soient tels que:

equation   (14.187)

L'équation précédente s'écrit alors:

equation   (14.188)

Nous retrouvons ici l'équation d'une surface de second degré ou quadrique similaire à celle du plan que nous avons vue en géométrie plane. Nous savons que par extension à la troisième dimension que ces surfaces sont des ellipsoïdes ou hyperboloïdes, selon les valeurs des quantités equation.

Etudions comment se transforment les quantités equation lorsque nous effectuons un changement de coordonnées tel que :

equationet   equation   (14.189)

L'équation de la quadrique s'écrit dans ce nouveau système de coordonnées:

equation   (14.190)

d'où l'expression des coefficients dans le nouveau système d'axes:

equation   (14.191)

Les coefficients equation se transforment donc comme les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux. Réciproquement, si les quantités equation sont les composantes d'un tenseur symétrique, ces composantes définissent les coefficients d'une quadrique. Il existe donc une certaine équivalence entre un tenseur symétrique et les coefficients d'une quadrique. Nous dirons que l'équation de la quadrique est la "quadrique représentative" du tenseur symétrique.

Nous savons de par notre étude des quadriques en géométrie plane (en étendant cela au cas tridimensionnel) que nous pouvons toujours trouver un système de coordonnées par rapport auquel l'équation d'une quadrique prend une forme plus simple:

equation   (14.192)

Dans ce cas, les vecteurs de base sont portés par les axes principaux de la quadrique. Dans ce système de coordonnées, les composantes du tenseur equation se réduisent à:

equation   (14.193)

et equation pour les autres composantes. Les quantités equation sont appelées les "composantes principales" du tenseur equation.

Si les quantités equation sont positives, la surface est une ellipsoïde, si deux quantités sont strictement positives et la troisième strictement négative, nous avons un hyperboloïde à une nappe, si deux quantités sont strictement négatives et la troisième positive, nous avons un hyperboloïde à deux nappes (pour plus d'information voir le chapitre de Géométrie Analytique).

La comparaison de l'expression de la quadrique obtenue précédemment avec l'équation classique:

equation   (14.194)

a,b,c sont les demi-axes d'un ellipsoïde montre que nous avons :

equation   (14.195)

TENSEUR ANTISYMÉTRIQUE

Lorsque les composantes contravariantes equation d'un tenseur d'ordre deux, vérifient les relations:

equation   (14.196)

nous disons que le tenseur est un "tenseur antisymétrique". C'est une propriété intrinsèque du tenseur qui se démontre comme pour les tenseurs symétriques, au signe "-" près. Un tenseur antisymétrique doit bien évidemment satisfaire au fait que ces composantes diagonales soient nulles tel que:

equation   (14.197)

Si les composantes contravariantes d'un tenseur sont antisymétriques, ses composantes covariantes le sont également.

Un tenseur equation sera partiellement antisymétrique si nous avons par exemple:

equation   (14.198)

Il sera complètement antisymétrique si toute transposition d'indice de même variance change la composante correspondante en son opposée.

Tout tenseur equation peut être mis sous la forme d'une somme d'un tenseur symétrique et d'un tenseur antisymétrique. Nous avons en effet:

equation   (14.199)

Le premier terme de la somme ci-dessus est un tenseur symétrique et le second, un tenseur antisymétrique.

Considérons maintenant deux vecteurs equation et  equation d'un espace vectoriel equation. Formons les quantités antisymétriques suivantes (nous y trouvons deux produits tensoriels):

equation   (14.200)

où nous voyons immédiatement que les composantes equation sont celles d'un tenseur antisymétrique equation.

La décomposition du vecteur equation dans la base equation s'écrit:

equation   (14.201)

Le tenseur equation (noté ainsi en analogie avec le produit vectoriel pour equation) est appelé le "produit extérieur" des vecteurs equation et equation. Nous disons encore que ce tenseur est un "bi-vecteur".

Le produit extérieur est donc un tenseur antisymétrique qui vérifie les propriétés suivantes:

P1. Anticommutativité: equation, il en résulte:

equation   (14.202)

P2. Distributivité à gauche et à droite pour l'addition vectorielle:

equation   (14.203)

P3. Associativité pour la multiplication par un scalaire:

equation   (14.204)

P4. Les produits extérieurs:

equation   (14.205)

constituent une base de l'ensemble des bi-vecteurs.

Démonstration:

Un tenseur antisymétrique equation d'ordre deux, élément de equation, peut s'écrire sous la forme:

equation   (14.206)

Echangeant, dans la dernière somme de la relation ci-dessus, le nom des indices et en tenant compte que equation, nous obtenons :

equation   (14.207)

Les éléments:

equation   (14.208)

sont linéairement indépendants puisque les vecteurs equation le sont également. Ces éléments constituent donc une base sur laquelle les tenseurs antisymétriques peuvent êtres décomposés.

equationC.Q.F.D.

Le nombre de vecteurs equation distinguables est égal au nombre de combinaisons de vecteurs pris deux à deux et distinguables parmi n tel que:

equation   (14.209)

Effectivement parmi les equation composantes, n composantes sont nulles et les equation autres composantes ont des valeurs opposées deux à deux. Nous pouvons donc considérer que la moitié de ces dernières suffit à caractériser le tenseur.

Dans le cadre du produit tensoriel où nous avons:

equation   (14.210)

le nombre de composantes distinguables est également de equation et elles sont appelées "composantes strictes".

Nous remarquons que pour equation, le nombre de composantes strictes du produit extérieur de deux vecteurs est aussi égal à trois. Ceci permet de former avec les composantes du bivecteur, les composantes d'un produit vectoriel equation.

Ainsi, un produit vectoriel n'existe donc que pour un sous-espace de bi-vecteurs dont le nombre de dimension est égal à 3 et dont les pré-images sont des tenseurs antisymétriques.

Si toutes ces conditions sont satisfaites, nous disons que le vecteur  equation constitue le "tenseur adjoint" du tenseur equation.

TENSEUR FONDAMENTAL

Nous avons vu au début de notre étude du calcul tensoriel la définition des composantes covariantes equation du tenseur fondamental, à savoir :

equation   (14.211)

Ces quantités interviennent, nous le savons, dans l'expression du produit scalaire de deux vecteur equation et equation, de composantes contravariantes equation et  equation, donné par la relation:

equation   (14.212)

Utilisons le critère général de tensorialité pour mettre en évidence le caractère tensoriel des equation. L'expression précédente est un produit complètement contracté des quantités equation avec les composantes contravariantes equation d'un  tenseur arbitraire. Comme le produit scalaire est une quantité invariante (en l'occurrence un scalaire) par rapport aux changements de base, il en résulte que les equation quantités equation sont les composantes covariantes d'un tenseur.

Ce tenseur est de plus symétrique par suite de la propriété symétrie du produit scalaire des vecteurs de base tel que:

equation   (14.213)

Nous avons de même pour les composantes contravariantes du tenseur fondamental :

equation   (14.214)

Si nous notons equation les composantes mixtes du tenseur fondamental à lui même:

equation   (14.215)

avec évidemment dans la base canonique :

equation   (14.216)


page suivante : 8. Coordonnées curvilignes