TENSEURS EUCLIDIENS



COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

La généralisation de la notion de vecteur nous a conduits à l'étude des espaces vectoriels à equation dimensions. Les tenseurs sont également des vecteurs de dimension quelconque mais qui possèdent des propriétés supplémentaires par rapport aux vecteurs.

Pour le physicien théoricien, le calcul tensoriel s'intéresse en premier lieu à la manière dont les composantes des tenseurs se transforment lors d'un changement de base des espaces vectoriels dont ils sont issus. Nous commencerons donc à étudier ces propriétés vis-à-vis des changements de base (car c'est le cas le plus intéressant).

Un tenseur est, en pratique, souvent uniquement défini et utilisé sous la forme de ses composantes. Ces dernières peuvent être exprimées sous forme covariante ou contravariante comme pour tout vecteur. Mais un nouveau type de composantes va apparaître pour les tenseurs, ce sont les "composantes mixtes". Ces trois types de composantes constituent des décompositions des tenseurs euclidiens sur des bases différentes.

TENSEUR FONDAMENTAL

Au cours de la théorie vu précédemment, nous avons utilisé les quantités equation, définies à partir du produit scalaire des vecteurs de base equation d'un espace vectoriel pré-euclidien equation à n dimensions, par:

equation   (14.127)

Ces equation quantités constituent les composantes covariantes d'un tenseur appelé le "tenseur fondamental" ou "tenseur métrique".

Etudions comment varient les quantités equation lorsque nous effectuons un changement de base :

Soit equation une autre base liée à la précédente par les relations connues:

equation   et    equation   (14.128)

Substituant la relation equation dans l'expression de equation, il vient (nous changeons les indices comme il se doit lors d'une substitution):

equation   (14.129)

Dans la nouvelle base equation, les produits scalaires des vecteurs de base sont donc des quantités telles que:

equation   (14.130)

Nous avons donc finalement pour l'expression des composantes covariantes equation lors d'un changement de base:

equation   (14.131)

Identiquement nous avons :

equation   (14.132)

De manière générale, une suite de equation quantités equationqui se transforment, lors d'un changement de base de equation, selon les deux relations précédentes, à savoir:

equation   et    equation   (14.133)

constituent, par définition, les "composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux" (à deux indices) sur equation.

Nous pouvons ainsi manipuler des quantités exprimant les propriétés intrinsèques des bases comme des tenseurs normaux !

PRODUIT TENSORIEL DE DEUX VECTEURS

Considérons un espace vectoriel euclidien equation de base equation et soient deux vecteurs de equation:

  equation   et   equation   (14.134)

Formons les produits deux à deux des composantes contravariantes equation et equation, soit:

equation   (14.135)

Nous obtenons ainsi equation quantités, si les deux vecteurs ont le même nombre de composantes, qui constituent également les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux appelé le "produit tensoriel" du vecteur equation par le vecteur equation

Par exemple pour equation de dimension 2 et equation de dimension 3 nous avons:

equation   (14.136)

Nous pouvons bien évidemment construire des produits tensoriels d'ordre trois (donc avec equation termes) tels que :

equation   (14.137)

etc...

Etudions les propriétés de changement de base de ces composantes. Utilisons pour cela les relations de changement de base des composantes contravariantes d'un vecteur, à savoir:

equation et   equation   (14.138)

Remplaçons dans la relation equation les composantes equation et equation par leur expression de changement de base, il vient:

equation   (14.139)

Les quantités equation sont les nouvelles composantes:

equation   (14.140)

La formule de transformation des equation quantités equation lors d'un changement de base de equation est donc finalement (très similaire au tenseur métrique):

equation   (14.141)

Une telle relation de changement de base caractérise les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux. Inversement, nous obtenons :

equation   (14.142)

Les equationquantités equation constituent donc les "composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux".

Nous pouvons former de même les produits deux à deux des composantes covariantes equation et equation des vecteurs equation et equation soit:

equation   (14.143)

Les formules de changement de base des composantes covariantes des vecteurs sont données par les relations suivantes que nous avons déjà démontrées précédemment:

equation et   equation   (14.144)

Substituant la première relation dans le produit equation, il vient:

equation   (14.145)

C'est la relation de changement de base des composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux. On vérifie que l'on a:

equation   (14.146)

Identiquement nous avons bien évidemment: equation puisque equation.

Les equationquantités equation constituent donc les "composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux".

Formons à présent equationquantités en multipliant deux à deux les composantes covariantes du vecteur equation par les composantes contravariantes de equation, nous obtenons :

equation   (14.147)

Effectuons un changement de base dans cette dernière relation en tenant compte des expressions equation  et equation, on obtient:

equation   (14.148)

Cette relation de changement de base caractérise les "composantes mixtes" d'un tenseur d'ordre deux. Inversement, on peut vérifier que l'on a:

equation   (14.149)

Ces composantes mixtes constituent également des composantes du produit tensoriel de equation par equation, selon une certaines base.

De manière générale, une suite de equation quantités equation qui se transforment, lors d'un changement de base de equation, selon les relations établies juste précédemment constituent donc, par définition, les "composantes mixtes d'un tenseur d'ordre deux".

ESPACES TENSORIELS

Au cours de l'étude précédente, nous avons utilisé des systèmes de equation nombres, crées à partir d'un espace vectoriel equation. Lorsque ces nombres vérifient certaines relations de changement de base, nous avons appelé ces grandeurs, par définition, les "composantes d'un tenseur".

Nous avons vu que toute combinaison linéaire de ces composantes constitue les composantes d'autres tenseurs. Nous pouvons donc additionner entre elles les composantes des tenseurs ainsi que les multiplier par des scalaires, pour obtenir d'autres composantes de tenseurs. Ces propriétés d'addition et de multiplication font que nous allons pouvoir utiliser ces grandeurs tensorielles comme composantes de vecteurs.

D'un point de vue pratique, nous pourrions nous contenter de définir les tenseurs à partir des relations de transformation de leurs composantes lors d'un changement de base. C'est ce qui est souvent fait en physique. Cependant, la définition des tenseurs sous forme de vecteurs conduit à une meilleure compréhension de leurs propriétés et les rattache à la théorie générale des vecteurs.

Pour préciser comment nous définissons un tenseur sur une base, étudions le cas particulier d'un produit tensoriel de deux vecteurs constitués par des triplets de nombres. Considérons l'espace vectoriel euclidien equation dont les vecteurs sont des triplets de nombre de la forme: equation. La base orthonormée canonique de equation est formée de trois vecteurs :

equation   (14.150)

avec equation (jolie façon d'écrire la chose n'est-il pas...).

Des vecteurs de equation permettent de former les neuf quantités equation que nous avons appelées les "composantes du produit tensoriel" des vecteurs equation et equation.

Si nous effectuons tous les produits tensoriels possibles entre vecteurs de equation, nous obtenons des suites de neuf nombres qui peuvent servir à définir le vecteur suivant :

equation   (14.151)

Remarque: Nous voyons de suite avec la relation précédente que le produit tensoriel n'est dès lors pas commutatif.

Nous nous retrouvons alors avec des éléments d'un espace vectoriel equation à neuf dimensions, ayant pour éléments tous les multiplets formés de neuf nombres.

Ces vecteurs peuvent être décomposés, par exemple, sur une base canonique orthonormée :

equation   (14.152)

avec equation.

Si nous renumérotons les quantités equation selon la place qu'elle occupent dans l'expression de equation, soit:

equation   (14.153)

avec equation et equation, les vecteurs equation s'écrivent alors:

equation   (14.154)

et constituent un exemple de tenseur d'ordre deux (évidemment on peut généraliser la démarche).

En quoi ces tenseurs equation diffèrent-ils des vecteurs ordinaires ? Ils sont certes identiques à certains vecteurs de equation mais ils ont été formés à partir des vecteurs de equation et equation de equation. Pour rappeler ce fait, nous les notons :

equation   (14.155)

et ils sont appelés "produits tensoriels d'ordre deux" des vecteurs equation et equation. Le symbole equation est donc défini de la manière dont nous avons formé les quantités equation et l'ordre dans lequel nous les avons classées pour former le vecteur equation.

Pour rappeler la dépendance entre une quantité equation et le vecteur de base equation auquel il est affecté, renumérotons ces vecteurs en mettant à la place de l'indice k les deux indices i et j, relatifs aux composantes, soit:

equation   (14.156)

Ce dernier peut très bien être noté sous la forme:

equation   (14.157)

Les vecteurs equation constituent donc une base de equation qui est appelée la "base associée". 

Nous rappelons également que le produit tensoriel est non-commutatif (il est vraiment important de s'en rappeler)! Autrement dit :

equation   (14.158)

Les relations précédentes nous permettent finalement d'écrire le produit tensoriel des vecteurs equation et equation sous la forme:

equation   (14.159)

L'espace vectoriel equation est doté d'une structure plus précise que celle de simple espace vectoriel de dimension neuf lorsque nous définissons les produits tensoriels equation comme constituant la base de equation. Nous disons que equation est doté d'une "structure de produit tensoriel" ce qui nous amène à noter cet espace equation ou encore equation.

En tant qu'élément d'un espace equation, un tenseur equation est un vecteur de la forme générale:

equation   (14.160)

Etudions ses propriétés vis-à-vis d'un changement de base de equation tel que:

equation et equation   (14.161)

Lors d'un tel changement, la base equation associée à equation devient une autre base equation associée à equation, à savoir:

equation   (14.162)

Par suite, le produit tensoriel equation a pour composantes dans la nouvelle base:

equation   (14.163)

Soit donc :

equation   (14.164)

Nous avons les propriétés suivantes pour le produit tensoriel:

P1. Distributivité, à gauche et à droite, par rapport à l'addition des vecteurs :

equation   (14.165)

La démonstration de ces propriétés découle simplement de la définition du produit tensoriel. Nous avons par exemple :

equation   (14.166)

P2. Associativité avec la multiplication par une grandeur scalaire :

equation   (14.167)

Nous avons en effet :

equation   (14.168)

P3. Lorsque nous choisissons une base dans chacun des espaces vectoriels equation pour equation, equation pour equation, les equation éléments de equation que nous notons equation forment également une base de equation.

Démonstration:

Déjà faite dans l'exemple particulier que nous avons utilisé au début.

equationC.Q.F.D.

Remarque: En pratique, nous avons souvent à utiliser des tenseurs formés à partir de vecteurs appartenant à des espaces vectoriels identiques equation.

Nous pouvons bien évidemment généraliser le produit tensoriel à un nombre quelconque de vecteurs. De proche en proche, compte tenu de la propriété P1, nous pouvons considérer equation vecteurs equation appartenant chacun à des espaces vectoriels différents equation. Si nous avons :

equation   (14.169)

nous pouvons former le produit tensoriel :

equation   (14.170)

avec equation.

Nous construisons ainsi des produits tensoriels d'ordre p appartenant à l'espace vectoriel equation, espace qui est muni d'une structure de produit tensoriel. Les éléments de cet espace constituent par définition des tenseurs d'ordre p.

Afin d'unifier la classification, les espace vectoriels élémentaires, qui ne peuvent êtres munis d'une structure de produit tensoriel, peuvent êtres considérés comme ayant pour éléments des tenseurs d'ordre un. En général, nous appelons ces éléments des "vecteurs", réservant le nom de "tenseurs" à des éléments d'espaces tensoriels d'ordre égal ou supérieur à deux !

Remarque: Il est commode d'appeler "tenseurs d'ordre zéro" les grandeurs scalaires. Il est également rare de rencontrer des tenseurs d'ordre supérieur à 2.

Il est assez évident et nous ne ferons pas la démonstration (excepté s'il y a une demande) que nous pouvons redéfinir absolument tous les concepts (base, décomposition sur une base, base réciproque, produit scalaire, produit tensoriel) que nous avons vu jusqu'à maintenant en considérant les tenseurs d'ordre deux comme des vecteurs (il faudrait donc que nous réécrivions tout ce qui est déjà écrit ci-dessus... ce qui est inutile).

Il est aussi tout à fait possible de réitérer toutes ces définitions pour des tenseurs d'ordre supérieurs et ainsi généraliser le concept d'espace tensoriel pour toutes les dimensions.

De ces considérations, nous pouvons énoncer le "critère de tensorialité":

Pour qu'une suite de equationquantités, rapportées à une base d'un espace vectoriel equation, puisse être considérée comme les composantes d'un tenseur, il faut et il suffit que ces quantités soit liées entre elles, dans deux bases différentes de equation, par les relations de transformation des composantes.

exempleExemple:

Un vecteur peut se représenter dans un base quelconque par une suite de n composantes. Cependant, nous ne pouvons pas conclure que n'importe quelle suite de n chiffres constitue un vecteur. En effet, lorsque nous nous plaçons dans une autre base de l'espace, les composantes doivent changer également, pour représenter le même objet: nous disons alors que le vecteur est un objet intrinsèque (dont l'existence ne dépend pas du choix du repère). Il reste alors à savoir qu'un vecteur est un tenseur d'ordre 1.

COMBINAISONS LINÉAIRES DE TENSEURS

Nous pouvons former d'autres tenseurs en combinant entre elles les composantes de différents produits tensoriels définis à l'aide des vecteurs d'un même espace vectoriel. Considérons par exemple les composantes contravariantes des produits tensoriels des vecteurs equation et equation:

equation   (14.171)

Formons les quantités suivantes:

equation   (14.172)

Les equation quantités equation vérifient également les formules générales de changement de base. Nous avons en effet, en substituant les relations de transformation des composantes contravariantes d'un produit tensoriel dans l'expression précédente :

equation   (14.173)

Les equation quantités de equation, vérifiant la relation de changement de base, constituent donc également des composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux. 

CONTRACTION DES INDICES

Considérons le produit tensoriel mixte de deux vecteurs equation et equation de composantes respectives contravariantes equation et covariantes equation. Les composantes mixtes du produit tensoriel equation de ces deux vecteurs, sont:

equation   (14.174)

Effectuons l'addition des différentes composantes du tenseur  equation telle que equation, soit:

equation   (14.175)

Nous obtenons ainsi l'expression du produit scalaire des vecteurs equation et equation; la quantité equation est un scalaire ou tenseur d'ordre zéro. Une telle addition sur des indices de variance différente constitue, par définition, l'opération de "contraction des indices" du tenseur equation. Cette opération a permis de passer d'un tenseur d'ordre deux à un tenseur d'ordre zéro; le tenseur  equation a été amputé d'une covariance et d'une contravariance.

Prenons également l'exemple d'un tenseur equation dont les composantes mixtes sont equation(attention... il ne s'agit pas d'une matrice tridimensionnelle mais simplement de l'indication que les composantes de ce tenseurs s'expriment à partir de trois autres variables). Considérons certaines de ses composantes telles que equation, à savoir les quantités equation et effectuons l'addition de ces dernières; nous obtenons:

equation   (14.176)

Ces nouvelles quantités equation forment les composantes d'un tenseur equation d'ordre un (donc un vecteur). Les quantités equation constituent des "composantes contractées" du tenseur equationet satisfont bien évidemment aux relations de changement de base (sur demande nous pouvons faire la démonstration mais sachez qu'elle est similaire à celle que nous avions faite pour les vecteurs). Nous sommes ainsi passé d'un tenseur d'ordre trois à un tenseur d'ordre un.

Si nous partons de l'expression des composantes contravariantes ou covariantes d'un tenseur, nous pouvons abaisser l'un des indices par multiplication de equation ou equation(métrique diagonale unitaire et à signature positive : de type canonique) et sommation, afin d'obtenir des composantes mixtes sur lesquelles nous pouvons ensuite effectuer les opérations de contraction.

Considérons un tenseur euclidien equation de composantes contravariantes equation. Ecrivons les composantes mixtes de equation en abaissant à la position covariante l'indice equation(cela revient donc à exprimer les composantes d'un des vecteurs implicites en composantes covariantes). Alors:

equation   (14.177)

Effectivement, rappelons que :

equation   (14.178)

Maintenant que nous avons un tenseur à composantes, mixtes, nous pouvons très bien contracter les indices. Choisissons par exemple l'indice equation et effectuons la contraction avec l'indice equation, posons equation(nous nous intéressons alors plus qu'à certains termes particuliers), il vient:

equation   (14.179)

Nous obtenons donc après abaissement de l'indice et contraction, un tenseur d'ordre equation

Remarque: Par suite de la symétrie des quantités equation (produit scalaire est commutatif) ce dernier tenseur est identique à celui que nous obtiendrons en abaissant à la position covariante l'indice equation puis en effectuant la contraction avec l'indice equation:

equation   (14.180)

De manière générale, la contraction d'un tenseur permet donc de former un tenseur d'ordre equation à partir d'un tenseur d'ordre p. Nous pouvons naturellement répéter l'opération de contraction. Ainsi, un tenseur pair, 2p, deviendra un scalaire après p contractions et un tenseur d'ordre impair, equation, deviendra un vecteur.

Nous pouvons étendre après cette définition de la contraction des indices, le critère de tensorialité. Nous avons vu jusqu'à maintenant, deux manières de reconnaître le caractère tensoriel d'une suite de quantités :

- la première consiste à démontrer que ces quantités sont formées par le produit tensoriel de composantes de vecteurs ou par une somme de produits tensoriel

- le deuxième consiste à étudier la manière dont ces quantités se transforment lors d'un changement de base et à vérifier la conformité des relations de transformation.

- la troisième et nouvelle amène à poser que pour qu'un ensemble de equation quantités, comportant p indices supérieurs et q indices inférieurs soit tensoriel, il faut et il suffit que leur produit complètement contracté par les composantes contravariantes de p vecteurs quelconques et les composantes covariantes de q vecteurs quelconques, soit une quantité (la norme au fait...) qui demeure invariante par changement de base.


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