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TENSEURS EUCLIDIENS

La généralisation de la notion de vecteur nous a conduits à l'étude des espaces vectoriels à dimensions. Les tenseurs sont également des vecteurs de dimension quelconque mais qui possèdent des propriétés supplémentaires par rapport aux vecteurs.

Pour le physicien théoricien, le calcul tensoriel s'intéresse en premier lieu à la manière dont les composantes des tenseurs se transforment lors d'un changement de base des espaces vectoriels dont ils sont issus. Nous commencerons donc à étudier ces propriétés vis-à-vis des changements de base (car c'est le cas le plus intéressant).

Un tenseur est, en pratique, souvent uniquement défini et utilisé sous la forme de ses composantes. Ces dernières peuvent être exprimées sous forme covariante ou contravariante comme pour tout vecteur. Mais un nouveau type de composantes va apparaître pour les tenseurs, ce sont les "composantes mixtes". Ces trois types de composantes constituent des décompositions des tenseurs euclidiens sur des bases différentes.

TENSEUR FONDAMENTAL

Au cours de la théorie vu précédemment, nous avons utilisé les quantités , définies à partir du produit scalaire des vecteurs de base  d'un espace vectoriel pré-euclidien  à n dimensions, par:

  (14.127)

Ces  quantités constituent les composantes covariantes d'un tenseur appelé le "tenseur fondamental" ou "tenseur métrique".

Etudions comment varient les quantités  lorsque nous effectuons un changement de base :

Soit  une autre base liée à la précédente par les relations connues:

   et      (14.128)

Substituant la relation  dans l'expression de , il vient (nous changeons les indices comme il se doit lors d'une substitution):

  (14.129)

Dans la nouvelle base , les produits scalaires des vecteurs de base sont donc des quantités telles que:

  (14.130)

Nous avons donc finalement pour l'expression des composantes covariantes  lors d'un changement de base:

  (14.131)

Identiquement nous avons :

  (14.132)

De manière générale, une suite de  quantités qui se transforment, lors d'un changement de base de , selon les deux relations précédentes, à savoir:

   et      (14.133)

constituent, par définition, les "composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux" (à deux indices) sur .

Nous pouvons ainsi manipuler des quantités exprimant les propriétés intrinsèques des bases comme des tenseurs normaux !

PRODUIT TENSORIEL DE DEUX VECTEURS

Considérons un espace vectoriel euclidien  de base  et soient deux vecteurs de :

     et     (14.134)

Formons les produits deux à deux des composantes contravariantes  et , soit:

  (14.135)

Nous obtenons ainsi  quantités, si les deux vecteurs ont le même nombre de composantes, qui constituent également les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux appelé le "produit tensoriel" du vecteur  par le vecteur . 

Par exemple pour de dimension 2 et de dimension 3 nous avons:

  (14.136)

Nous pouvons bien évidemment construire des produits tensoriels d'ordre trois (donc avec termes) tels que :

  (14.137)

etc...

Etudions les propriétés de changement de base de ces composantes. Utilisons pour cela les relations de changement de base des composantes contravariantes d'un vecteur, à savoir:

 et     (14.138)

Remplaçons dans la relation  les composantes  et  par leur expression de changement de base, il vient:

  (14.139)

Les quantités  sont les nouvelles composantes:

  (14.140)

La formule de transformation des  quantités  lors d'un changement de base de  est donc finalement (très similaire au tenseur métrique):

  (14.141)

Une telle relation de changement de base caractérise les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux. Inversement, nous obtenons :

  (14.142)

Les quantités  constituent donc les "composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux".

Nous pouvons former de même les produits deux à deux des composantes covariantes  et  des vecteurs  et  soit:

  (14.143)

Les formules de changement de base des composantes covariantes des vecteurs sont données par les relations suivantes que nous avons déjà démontrées précédemment:

 et     (14.144)

Substituant la première relation dans le produit , il vient:

  (14.145)

C'est la relation de changement de base des composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux. On vérifie que l'on a:

  (14.146)

Identiquement nous avons bien évidemment:  puisque .

Les quantités  constituent donc les "composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux".

Formons à présent quantités en multipliant deux à deux les composantes covariantes du vecteur  par les composantes contravariantes de , nous obtenons :

  (14.147)

Effectuons un changement de base dans cette dernière relation en tenant compte des expressions   et , on obtient:

  (14.148)

Cette relation de changement de base caractérise les "composantes mixtes" d'un tenseur d'ordre deux. Inversement, on peut vérifier que l'on a:

  (14.149)

Ces composantes mixtes constituent également des composantes du produit tensoriel de  par , selon une certaines base.

De manière générale, une suite de  quantités  qui se transforment, lors d'un changement de base de , selon les relations établies juste précédemment constituent donc, par définition, les "composantes mixtes d'un tenseur d'ordre deux".

ESPACES TENSORIELS

Au cours de l'étude précédente, nous avons utilisé des systèmes de  nombres, crées à partir d'un espace vectoriel . Lorsque ces nombres vérifient certaines relations de changement de base, nous avons appelé ces grandeurs, par définition, les "composantes d'un tenseur".

Nous avons vu que toute combinaison linéaire de ces composantes constitue les composantes d'autres tenseurs. Nous pouvons donc additionner entre elles les composantes des tenseurs ainsi que les multiplier par des scalaires, pour obtenir d'autres composantes de tenseurs. Ces propriétés d'addition et de multiplication font que nous allons pouvoir utiliser ces grandeurs tensorielles comme composantes de vecteurs.

D'un point de vue pratique, nous pourrions nous contenter de définir les tenseurs à partir des relations de transformation de leurs composantes lors d'un changement de base. C'est ce qui est souvent fait en physique. Cependant, la définition des tenseurs sous forme de vecteurs conduit à une meilleure compréhension de leurs propriétés et les rattache à la théorie générale des vecteurs.

Pour préciser comment nous définissons un tenseur sur une base, étudions le cas particulier d'un produit tensoriel de deux vecteurs constitués par des triplets de nombres. Considérons l'espace vectoriel euclidien  dont les vecteurs sont des triplets de nombre de la forme: . La base orthonormée canonique de  est formée de trois vecteurs :

  (14.150)

avec (jolie façon d'écrire la chose n'est-il pas...).

Des vecteurs de  permettent de former les neuf quantités  que nous avons appelées les "composantes du produit tensoriel" des vecteurs  et .

Si nous effectuons tous les produits tensoriels possibles entre vecteurs de , nous obtenons des suites de neuf nombres qui peuvent servir à définir le vecteur suivant :

  (14.151)

Nous nous retrouvons alors avec des éléments d'un espace vectoriel  à neuf dimensions, ayant pour éléments tous les multiplets formés de neuf nombres.

Ces vecteurs peuvent être décomposés, par exemple, sur une base canonique orthonormée :

  (14.152)

avec .

Si nous renumérotons les quantités  selon la place qu'elle occupent dans l'expression de , soit:

  (14.153)

avec et , les vecteurs  s'écrivent alors:

  (14.154)

et constituent un exemple de tenseur d'ordre deux (évidemment on peut généraliser la démarche).

En quoi ces tenseurs  diffèrent-ils des vecteurs ordinaires ? Ils sont certes identiques à certains vecteurs de  mais ils ont été formés à partir des vecteurs de  et  de . Pour rappeler ce fait, nous les notons :

  (14.155)

et ils sont appelés "produits tensoriels d'ordre deux" des vecteurs  et . Le symbole  est donc défini de la manière dont nous avons formé les quantités  et l'ordre dans lequel nous les avons classées pour former le vecteur .

Pour rappeler la dépendance entre une quantité  et le vecteur de base  auquel il est affecté, renumérotons ces vecteurs en mettant à la place de l'indice k les deux indices i et j, relatifs aux composantes, soit:

  (14.156)

Ce dernier peut très bien être noté sous la forme:

  (14.157)

Les vecteurs  constituent donc une base de  qui est appelée la "base associée". 

Nous rappelons également que le produit tensoriel est non-commutatif (il est vraiment important de s'en rappeler)! Autrement dit :

  (14.158)

Les relations précédentes nous permettent finalement d'écrire le produit tensoriel des vecteurs  et  sous la forme:

  (14.159)

L'espace vectoriel  est doté d'une structure plus précise que celle de simple espace vectoriel de dimension neuf lorsque nous définissons les produits tensoriels  comme constituant la base de . Nous disons que  est doté d'une "structure de produit tensoriel" ce qui nous amène à noter cet espace  ou encore .

En tant qu'élément d'un espace , un tenseur  est un vecteur de la forme générale:

  (14.160)

Etudions ses propriétés vis-à-vis d'un changement de base de  tel que:

 et   (14.161)

Lors d'un tel changement, la base  associée à  devient une autre base  associée à , à savoir:

  (14.162)

Par suite, le produit tensoriel  a pour composantes dans la nouvelle base:

  (14.163)

Soit donc :

  (14.164)

Nous avons les propriétés suivantes pour le produit tensoriel:

P1. Distributivité, à gauche et à droite, par rapport à l'addition des vecteurs :

  (14.165)

La démonstration de ces propriétés découle simplement de la définition du produit tensoriel. Nous avons par exemple :

  (14.166)

P2. Associativité avec la multiplication par une grandeur scalaire :

  (14.167)

Nous avons en effet :

  (14.168)

P3. Lorsque nous choisissons une base dans chacun des espaces vectoriels  pour ,  pour , les  éléments de  que nous notons  forment également une base de .

Démonstration:

Déjà faite dans l'exemple particulier que nous avons utilisé au début.

C.Q.F.D.

Nous pouvons bien évidemment généraliser le produit tensoriel à un nombre quelconque de vecteurs. De proche en proche, compte tenu de la propriété P1, nous pouvons considérer  vecteurs  appartenant chacun à des espaces vectoriels différents . Si nous avons :

  (14.169)

nous pouvons former le produit tensoriel :

  (14.170)

avec .

Nous construisons ainsi des produits tensoriels d'ordre p appartenant à l'espace vectoriel , espace qui est muni d'une structure de produit tensoriel. Les éléments de cet espace constituent par définition des tenseurs d'ordre p.

Afin d'unifier la classification, les espace vectoriels élémentaires, qui ne peuvent êtres munis d'une structure de produit tensoriel, peuvent êtres considérés comme ayant pour éléments des tenseurs d'ordre un. En général, nous appelons ces éléments des "vecteurs", réservant le nom de "tenseurs" à des éléments d'espaces tensoriels d'ordre égal ou supérieur à deux !

Il est assez évident et nous ne ferons pas la démonstration (excepté s'il y a une demande) que nous pouvons redéfinir absolument tous les concepts (base, décomposition sur une base, base réciproque, produit scalaire, produit tensoriel) que nous avons vu jusqu'à maintenant en considérant les tenseurs d'ordre deux comme des vecteurs (il faudrait donc que nous réécrivions tout ce qui est déjà écrit ci-dessus... ce qui est inutile).

Il est aussi tout à fait possible de réitérer toutes ces définitions pour des tenseurs d'ordre supérieurs et ainsi généraliser le concept d'espace tensoriel pour toutes les dimensions.

De ces considérations, nous pouvons énoncer le "critère de tensorialité":

Pour qu'une suite de quantités, rapportées à une base d'un espace vectoriel , puisse être considérée comme les composantes d'un tenseur, il faut et il suffit que ces quantités soit liées entre elles, dans deux bases différentes de , par les relations de transformation des composantes.

Exemple:

Un vecteur peut se représenter dans un base quelconque par une suite de n composantes. Cependant, nous ne pouvons pas conclure que n'importe quelle suite de n chiffres constitue un vecteur. En effet, lorsque nous nous plaçons dans une autre base de l'espace, les composantes doivent changer également, pour représenter le même objet: nous disons alors que le vecteur est un objet intrinsèque (dont l'existence ne dépend pas du choix du repère). Il reste alors à savoir qu'un vecteur est un tenseur d'ordre 1.

COMBINAISONS LINÉAIRES DE TENSEURS

Nous pouvons former d'autres tenseurs en combinant entre elles les composantes de différents produits tensoriels définis à l'aide des vecteurs d'un même espace vectoriel. Considérons par exemple les composantes contravariantes des produits tensoriels des vecteurs  et :

  (14.171)

Formons les quantités suivantes:

  (14.172)

Les  quantités  vérifient également les formules générales de changement de base. Nous avons en effet, en substituant les relations de transformation des composantes contravariantes d'un produit tensoriel dans l'expression précédente :

  (14.173)

Les  quantités de , vérifiant la relation de changement de base, constituent donc également des composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux. 

CONTRACTION DES INDICES

Considérons le produit tensoriel mixte de deux vecteurs  et  de composantes respectives contravariantes  et covariantes . Les composantes mixtes du produit tensoriel  de ces deux vecteurs, sont:

  (14.174)

Effectuons l'addition des différentes composantes du tenseur   telle que , soit:

  (14.175)

Nous obtenons ainsi l'expression du produit scalaire des vecteurs  et ; la quantité  est un scalaire ou tenseur d'ordre zéro. Une telle addition sur des indices de variance différente constitue, par définition, l'opération de "contraction des indices" du tenseur . Cette opération a permis de passer d'un tenseur d'ordre deux à un tenseur d'ordre zéro; le tenseur  a été amputé d'une covariance et d'une contravariance.

Prenons également l'exemple d'un tenseur  dont les composantes mixtes sont (attention... il ne s'agit pas d'une matrice tridimensionnelle mais simplement de l'indication que les composantes de ce tenseurs s'expriment à partir de trois autres variables). Considérons certaines de ses composantes telles que , à savoir les quantités  et effectuons l'addition de ces dernières; nous obtenons:

  (14.176)

Ces nouvelles quantités  forment les composantes d'un tenseur  d'ordre un (donc un vecteur). Les quantités  constituent des "composantes contractées" du tenseur et satisfont bien évidemment aux relations de changement de base (sur demande nous pouvons faire la démonstration mais sachez qu'elle est similaire à celle que nous avions faite pour les vecteurs). Nous sommes ainsi passé d'un tenseur d'ordre trois à un tenseur d'ordre un.

Si nous partons de l'expression des composantes contravariantes ou covariantes d'un tenseur, nous pouvons abaisser l'un des indices par multiplication de  ou (métrique diagonale unitaire et à signature positive : de type canonique) et sommation, afin d'obtenir des composantes mixtes sur lesquelles nous pouvons ensuite effectuer les opérations de contraction.

Considérons un tenseur euclidien de composantes contravariantes . Ecrivons les composantes mixtes de  en abaissant à la position covariante l'indice (cela revient donc à exprimer les composantes d'un des vecteurs implicites en composantes covariantes). Alors:

  (14.177)

Effectivement, rappelons que :

  (14.178)

Maintenant que nous avons un tenseur à composantes, mixtes, nous pouvons très bien contracter les indices. Choisissons par exemple l'indice  et effectuons la contraction avec l'indice , posons (nous nous intéressons alors plus qu'à certains termes particuliers), il vient:

  (14.179)

Nous obtenons donc après abaissement de l'indice et contraction, un tenseur d'ordre . 

De manière générale, la contraction d'un tenseur permet donc de former un tenseur d'ordre  à partir d'un tenseur d'ordre p. Nous pouvons naturellement répéter l'opération de contraction. Ainsi, un tenseur pair, 2p, deviendra un scalaire après p contractions et un tenseur d'ordre impair, , deviendra un vecteur.

Nous pouvons étendre après cette définition de la contraction des indices, le critère de tensorialité. Nous avons vu jusqu'à maintenant, deux manières de reconnaître le caractère tensoriel d'une suite de quantités :

- la première consiste à démontrer que ces quantités sont formées par le produit tensoriel de composantes de vecteurs ou par une somme de produits tensoriel

- le deuxième consiste à étudier la manière dont ces quantités se transforment lors d'un changement de base et à vérifier la conformité des relations de transformation.

- la troisième et nouvelle amène à poser que pour qu'un ensemble de  quantités, comportant p indices supérieurs et q indices inférieurs soit tensoriel, il faut et il suffit que leur produit complètement contracté par les composantes contravariantes de p vecteurs quelconques et les composantes covariantes de q vecteurs quelconques, soit une quantité (la norme au fait...) qui demeure invariante par changement de base.

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