TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL
1. Tenseur
2.1. Sommation sur plusieurs indices
2.2. Symbole de Kronecker
2.3. Symbole d'antisymétrie
3.1. Déterminant de Gram
4. Composantes contravariantes et covariantes
5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt
5.2. Changements de bases
5.3. Bases réciproques
6.1. Tenseur fondamental
6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs
6.3. Espaces tensoriels
6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs
6.5. Contraction des indices
7.1. Tenseur symétrique
7.2. Tenseur antisymétrique
7.3. Tenseur fondamental
8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques
8.2. Repère naturel en coordonnées polaires
8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques
10.1. Identité de Ricci
11. Tenseur de Riemann-Christoffel
11.1. Première identité de Bianchi
12. Tenseur de Ricci
13. Tenseur d'Einstein
Rappelons que nous avons démontré plus haut que :
(14.371)
Cette relation exprime sauf erreur de la part du rédacteur de ces lignes.... la dérivée covariante d'un tenseur d'ordre deux - tel que la métrique - sur un chemin géodésique dans deux directions parallèles (la deuxième dérivée covariantes permettant de créer la "perpendiculaires géodésique" entre les deux géodésique infiniment proches de la première dérivée covariante). Nous appelons un tel déplacement : un "transport parallèle".
En y substituant :
(14.372)
Nous avons alors facilement :
(14.373)
Permutons maintenant les indices j et k dans l'expression précédente pour avoir une différentielle par rapport à un autre chemin :
(14.374)
En admettant que les composantes vérifient les propriétés
classiques 
,
nous obtenons par soustraction des deux expressions précédentes
:
(14.375)
et puisque nous avons démontré que:
(14.376)
Nous avons:
(14.377)
Il reste alors:
(14.378)
Comme le transport parallèle se fait sur des chemins de géodésiques infiniment proches, nous prenons la limite :
(14.379)
Ce qui soutend que le champ de vitesse est quasi égal en deux points parallèles infiniment proches.
Il reste alors:
(14.380)
Cette relation exprime le fait que, comme la gravité, la courbure de l'espace-temps cause une accélération mutuelle entre les géodésiques. De plus, il est facile de constater, que l'accélération mutuelle entre les géodésiques est nulle si les tenseurs de Riemann-Christoffel sont nuls (typiquement en coordonnées cartésiennes, in extenso cela signifie pour un espace-temps plat). C'est exactement ce que nous attendons de la gravité : si nous observons aucune accélération, la courbure (nous allons de suite définir ce que c'est) est nulle et si la courbure est nulle, nous n'observons aucune accélération. Morale de l'histoire : la gravité est courbure et la courbure est gravité !!
Nous voyons que la quantité entre parenthèses est un tenseur d'ordre quatre que nous noterons sur ce site (car il y a plus traditions dans la manière de le noter...):
(14.381)
et qui résume à lui seul le transport parallèle et le fait que gravité et géométrie de l'espace sont liés.
Le tenseur 
est
appelé "tenseur de Riemann-Christoffel" ou "tenseur
de l'espace Riemannien". La courbure d'un espace Riemannien
peut aussi être caractérisée à l'aide
de ce tenseur.
Si nous multiplions le tenseur 
par 
,
nous avons alors les données covariantes de ce tenseur
tel que :
(14.382)
et soit les relations suivantes que nous avions démontrées :
(14.383)
Dès lors, il vient :
(14.384)
et remplaçons les quantités 
par 
.
Nous obtenons alors :
(14.385)
Nous avions aussi démontré que :
(14.386)
D'où :
(14.387)
et comme :
(14.388)
Nous avons :
(14.389)
et nous avions aussi démontré que :
(14.390)
et en les reportant dans l'avant dernière relation, nous obtenons :
(14.391)
Nous avons donc finalement pour l'expression covariante du tenseur de Riemann-Christoffel :
(14.392)
Il convient de remarquer que (c'est trivial par vérification sur la relation précédente) le tenseur de Riemann-Christoffel est donc antisymétrique :
(14.393)
Enfin, la permutation en bloc des indices ij et rs nous
donne, par suite de la symétrie des 
et
en invertissant leur ordre de dérivation (trivial)
:
(14.394)
Effectuons maintenant une permutation circulaire sur les indices j, r, s dans l'expression :
(14.395)
il vient :
et nous avons alors (c'est très simple à contrôler... une simple addition) :
L'identité précédente est appelée "première identité de Bianchi". Par extension, il est trivial que nous avons aussi (nous changeons les notations des indices afin d'être plus conforme aux écritures habituelles en relativité générale) :
(14.398)
et par extension :
(14.399)
Rappelons qu'implicitement, cette relation exprime toujours simplement (si l'on peut dire...) le fait que gravité et géométrie de l'espace sont liées ensembles..
TENSEUR DE RICCI
Avant de voir les conséquences de l'identité de Bianchi, nous avons besoin de définir le "tenseur de Ricci" :
(14.400)
qui est donc la contraction des premier et troisième
indices. D'autres contractions d'autres indices pourraient
aussi être possible mais parce que 
est
antisymétrique sur 
et 
alors
la contraction sur ces indices reviennent à avoir 
.
De manière similaire, nous définissons le "scalaire de Ricci" par la relation :
(14.401)
TENSEUR D'EINSTEIN
Appliquons une contraction à l'identité de Bianchi :
(14.402)
Rappelons que 
et
de même par extension que 
.
Donc finalement ceci nous amène à écrire
de par la propriété des dérivées
(produit en somme) :
(14.403)
et donc à obtenir :
(14.404)
En utilisant la propriété d'antisymétrie du tenseur de Riemann-Christoffel, nous écrivons :
(14.405)
Ce qui revient finalement à écrire de par la définition du tenseur de Ricci :
(14.406)
Cette relation est appelée "identité de Bianchi contractée".
Contractons cette relation encore une fois :
(14.407)
Ce qui revient identiquement à écrire en utilisant les propriétés de la sommation d'Einstein (qui permet librement de changer les indices):
(14.408)
Ce qui équivaut à :
(14.409)
Comme 
,
nous avons :
(14.410)
En montant l'indice 
par
multiplication avec 
,
nous obtenons "l'identité d'Einstein":
(14.411)
Le "tenseur d'Einstein" qui est donc une constante dans un espace Riemannien donné est dès lors défini par :
(14.412)
et exprime de la façon la plus courte qui soit, le transport parallèle.
Identiquement, nous pouvons obtenir la forme covariante :
(14.413)
Le tenseur est donc construit pour une métrique uniquement Riemannienne (ce qui fait cependant quand même pas mal d'espaces possibles...), et est automatiquement non divergent :
(14.414)
Nous retrouverons ce tenseur naturellement en relativité générale lorsqu'en faisant usage du principe variationnel nous décomposerons l'action en deux termes :
1. l'action de la masse dans le champ gravitationnel
2. l'action du champ gravitationnel en l'absence de masse
En exprimant le tout dans un espace Riemannien nous obtiendrons alors la non moins fameuse équation d'Einstein des champs (sans plus d'explications dans ce chapitre) :
(14.415)
