SYMBOLES DE CHRISTOFFEL



COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

L'étude des champs de tenseurs constitue, pour le physicien, l'essentiel de l'analyse tensorielle. Le tenseur générique equation de ce champ est une fonction du point M et nous le notons: 

equation   (14.256)

Si le tenseur equation est une fonction seulement de M, le champ considéré est appelé un "champ fixe". Si equation est, en outre, une fonction d'un ou plusieurs paramètres equation autres que les coordonnées de M, nous disons alors que ce champ est variable et nous le notons :

 equation   (14.257)

Les différentes opérations algébriques sur les tenseurs equation associés à un même point M ne soulèvent pas de difficulté particulière. La dérivée de equation par rapport à un paramètre equation conduit à utiliser les résultats classiques relatifs à la dérivation des vecteurs.

Cependant, une difficulté apparaît lorsque nous cherchons à calculer la dérivée d'un tenseur equation par rapport aux coordonnées curvilignes. En effet, les composantes du tenseur sont définies en chaque point M par rapport à un repère naturel qui varie d'un point à un autre. 

Par suite, le calcul de la variation élémentaire, appelé "transport élémentaire" : 

equation   (14.258)

lorsque nous passons d'un point M à un point infiniment voisin M ' ne peut se faire que si nous avons recours à une même base. Pour pouvoir comparer l'un à l'autre les tenseur equation et equation, nous sommes amenés à étudier comment varie un repère naturel, pour un système de coordonnées donné, lorsque nous passons d'un point M au point infiniment voisin M '.

Pour un système de coordonnée curvilignes equation donné d'un espace ponctuel equation un problème fondamental de l'analyse tensorielle consiste donc à déterminer, par rapport au repère naturel equation au point M, le repère naturel equation au point infiniment voisin M '. Nous disons alors que nous recherchons une "connexion affine".

D'une part, le point M' sera parfaitement défini par rapport à M si nous déterminons le vecteur equation tel que equation. Pour des coordonnées curvilignes equation, la décomposition d'un vecteur élémentaire equation est donnée par la relation que nous avons  démontré précédemment:

equation   (14.259)

Les quantités equation étant les composantes contravariantes du vecteur equation sur la base naturelle equation.

D'autre part, les vecteurs equation vont pouvoir être déterminés en calculant les variations élémentaires equation des vecteurs equation, par rapport au repère naturel equation, lorsque nous passons de M en M '; nous avons alors:

equation   (14.260)

Le calcul des vecteurs equation reste alors le problème essentiel à résoudre. Nous allons tout d'abord étudier un exemple de ce type de calcul en coordonnées sphériques.

Pour cela, reprenons l'expression des vecteurs equation de la base naturelle en coordonnées sphériques, soit:

equation   (14.261)

Les vecteurs de base equation du repère fixe cartésien étant constants en module et en direction, la différentielle du vecteur equation s'écrit:

equation   (14.262)

Nous remarquons que les termes entre parenthèses représentent respectivement les vecteurs equation et equation, d'où:

equation   (14.263)

Nous calculons de même, en différentiant les vecteurs equation:

equation
  (14.264)

Avec:

equation   (14.265)

nous avons:

equation   (14.266)

Donc finalement:

equation   (14.267)

Et:

equation   (14.268)

Après quelques opérations algébriques élémentaires et très pertinentes (...), nous arrivons à:

equation   (14.269)

Les différentielles equation sont ainsi décomposées sur la base naturelle equation. Si nous notons equation, les composantes contravariantes du vecteur equation, celui-ci s'écrit (nous changeons les lettres d'indices):

equation   (14.270)

Les composantes equation des vecteurs equation sont des formes différentielles (combinaisons linéaires de différentielles). Nous avons, par exemple:

equation   (14.271)

Si nous notons de manière générale equation les coordonnées sphériques, nous avons:

equation   (14.272)

Les différentielles des coordonnées sont alors notées:

equation   (14.273)

et les composantes equation s'écrivent alors de manière générale:

equation   (14.274)

où les quantités equation sont des fonctions de equation qui vont être explicitement obtenues en identifiant chaque composante equation. Par exemple, la composante equation s'écrit avec la notation de la relation précédente:

equation   (14.275)

Identifiant les coefficients des différentielles, il vient:

equation   (14.276)

En procédant de même avec les neuf composantes equation, nous obtenons les vingt sept (...) termes equation. Pour un système de coordonnées curvilignes quelconques, ces quantités equation sont appelées les "symboles de Christoffel de deuxième espèce" ou encore "fonctions euclidiennes de connexion affine".

Ainsi, pour un espace ponctuel equation et un système de coordonnées curvilignes equation quelconque, la différentielle equation des vecteurs equation de la base naturelle s'écrit sur cette base:

equation   (14.277)

Nous venons de voir, sur l'exemple des coordonnées sphériques, qu'un calcul direct permet, par identification, d'obtenir explicitement les quantités equation. Nous allons voir que nous pouvons également obtenir l'expression de ces quantités en fonction des composantes equation.

Le calcul des quantités equation en fonction des equation va nous amener à introduire d'autres symboles de Christoffel. Pour cela, écrivons les composantes covariantes, notées equation, des différentielles equation, soit:

equation   (14.278)

Les composantes covariantes sont également des combinaisons linéaires des différentielles equation que nous pouvons écrire sous la forme:

equation   (14.279)

Les quantités equation sont appelées les "symboles de Christoffel de première espèce".

Nous voyons très bien en parcourant à nouveau la définition du symbole de Christoffel que celui-ci est symétrique:

equation   (14.280)

et donc que :

equation   (14.281)

Effectivement (suite à la demande d'un lecteur), puisque nous avons :

equation   (14.282)

Il vient alors :

equation   (14.283)

et en permutant les indices :

equation   (14.284)

L'identification terme à terme du développement sur un cas concret des deux dernières relations donnera (forcément) l'égalité :

equation   (14.285)

que nous voulions prouver.

Puisque les composantes covariantes sont liées aux composantes contravariantes par les relations (contraction des indices) :

equation   (14.286)

nous obtenons l'expression liant les symboles de Christoffel de chaque espèce:

equation   (14.287)

Inversement:

equation   (14.288)

Remarque: Diverses notations sont utilisées pour représenter les symboles de Christoffel. Les plus usuelles sont les suivantes:

- Symboles de première espèce:

equation   (14.289)

- Symboles de deuxième espèce:

equation   (14.290)

Considérons maintenant un espace ponctuel equation et soit un élément linéaire equation donné de cet espace:

equation   (14.291)

Partant de:

equation   (14.292)

nous obtenons par différentiation:

equation   (14.293)

L'expression des différentielles equation nous donne:

equation   (14.294)

L'expression equation représente la composante covariante equation du vecteur equation soit compte tenu des composantes contravariantes en fonction des symboles de Christoffel:

equation   (14.295)

substituant la relation equation dans l'expression précédente, nous obtenons alors :

equation   (14.296)

La différentielle equation s'écrit alors :

equation   (14.297)

D'autre part, la différentielle de la fonction equation s'écrit également :

equation   (14.298)

d'où en identifient les coefficients des différentielles equation dans ces deux dernières expressions :

equation   (14.299)

Comme nous avons :

equation   (14.300)

Nous pouvons écrire l'avant dernière relation :

equation   (14.301)

puis en effectuant une permutation circulaire sur les indices, nous obtenons :

equation   (14.302)

En effectuant la somme :

equation   (14.303)

et en retranchant :

equation   (14.304)

En simplifiant il vient :

equation   (14.305)

d'où :

equation   (14.306)

C'est l'expression des symboles de Christoffel de première espèce en fonction des dérivées partielles des composantes equation du tenseur fondamental.

Nous obtenons ceux de deuxième espèce à partir de la relation (par définition):

equation   (14.307)

Les deux dernières expressions encadrées permettent le calcul effectif des symboles de Christoffel pour une métrique donnée (d'où un énorme gain en calculs). Lorsque les quantités equation sont données à priori, nous pouvons ainsi étudier les propriétés de l'espace ponctuel défini par la donne de cette métrique, ce qui est le cas des espaces de Riemann que nous verrons plus loin.

exempleExemple:

Proposons-nous de calculer les equation correspondant au système de coordonnées polaires (ce sera déjà suffisamment long...) dans le plan que nous noterons cette fois ci (contrairement au chapitre de Calcul Vectoriel) en notation indicielle :

equation  avec  equation   (14.308)

Nous allons calculer les symboles de Christoffel à partir de notre dernière relation :

equation   (14.309)

Occupons nous de déterminer les composants de la métrique. Au fait, elles sont les mêmes que celles que nous avions calculé pour les coordonnées cylindriques plus haut à la différence normalement évidente que equation n'existe pas. Dès lors, nous avons :

equation   (14.310)

Calculons alors les equation. Dans cet exemple c'est assez trivial, il suffit d'appliquer la relation démontrée au début de ce chapitre :

equation   (14.311)

Nous avons alors immédiatement :

equation   (14.312)

Maintenant développons l'écriture de symboles de Christoffel pour ces coordonnées :

equation   (14.313)

d'où en raison des propriétés de symétrie :

equation   (14.314)

De même :

equation   (14.315)

En résumé :

equation   (14.316)

Et pour information dans le cas des coordonnées sphériques (le développement est primaire, ennuyant et long donc j'ai pas trop envie de le faire...) :

equation   (14.317)

tous les autres equation sont nuls.


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