OPÉRATIONS DANS LES BASES



COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

L'intérêt du physicien pour le calcul tensoriel, est le passage de paramètres d'une base à une autre pour des raisons données (souvent dans le but soit de simplifier l'étude de problèmes ou simplement parce que les états étudiés dépendant - ou peuvent dépendre - de la géométrie de l'espace dont il est question). Il convient donc d'introduire les principaux outils qui y sont relatifs. Nous en profiterons aussi pour présenter des développements que nous aurions pu déjà aborder dans le chapitre de Calcul Vectoriel.

MÉTHODE D'ORTHOGONALISATION DE SCHMIDT

La "méthode d'orthogonalisation de Schmidt" (dite également de "Grahm-Schmidt") permet le calcul effectif d'une base orthogonale pour tout espace vectoriel pré-euclidien equation (nous aurions pu présenter cette méthode dans le chapitre de Calcul Vectoriel mais il nous semblait plus intéressant de la présenter dans le cas général et esthétique du calcul tensoriel).

Pour cela, considérons un ensemble de n vecteurs linéairement indépendants equation de equation et supposons que nous ayons pour chaque vecteur le produit scalaire (la norme) :

equation   (14.110)

Cherchons n vecteurs equation orthogonaux entre eux. Partons pour cela de equation et cherchons equation orthogonal à equation sous la forme:

equation   (14.111)

Le coefficient equation se calcule en écrivant la relation d'orthogonalité:

equation   (14.112)

Nous en déduisons sans trop de peine:

equation   (14.113)

La paramètre equation étant déterminé, nous obtenons le vecteur equation qui est orthogonal à equation et non nul puisque le système equation est linéairement indépendant.

Le vecteur equation est cherché sous la forme:

equation   (14.114)

Les deux relations d'orthogonalité: equation et equation, permettent le calcul des coefficients equation et equation. Nous obtenons:

equation; equation   (14.115)

ce qui détermine le vecteur equation, orthogonal à equation et equation, et non nul puisque le système equation est indépendant. En continuant le même type de calcul, nous obtenons de proche en proche un système de vecteurs equation orthogonaux entre eux et dont aucun n'est nul.

Dans le cas où certains vecteurs seraient tels que equation(leur norme est nulle), nous remplaçons equation par equation, en choisissant un vecteur equation de telle sorte que nous obtenions equation.

Nous en déduisons donc que tout espace vectoriel pré-euclidien admet des bases orthogonales!

Ce système de calcul des bases est de première importance, il permet par exemple d'étudier des systèmes physiques à partir d'un référentiel pré-euclidien dont les propriétés changent dans le temps. Ce qui est par exemple typique de la relativité générale.

CHANGEMENTS DE BASES

Soient deux bases equation et equation d'un espace vectoriel equation. Chaque vecteur d'une base peut être décomposé sur l'autre base sous la forme suivante (nous l'avons déjà démontré):

equation  et   equation   (14.116)

Un vecteur equation de equation peut être décomposé sur chaque base sous la forme:

equation   (14.117)

et nous avons aussi déjà démontré que:

equation   et    equation   (14.118)

Nous remarquons que les relations de transformation des composantes contravariantes sont le contraire des vecteurs de base, les grandeurs A et A' s'échangeant, d'où l'origine de l'appellation "contra"-"variantes" de ces composantes!

Soient equation  et equation les composantes contravariantes du vecteur equation respectivement sur les bases equation et equation. Remplaçons les vecteurs de base, exprimés par les relations:

equation et equation   (14.119)

dans l'expression de définition des composantes covariantes, il vient:

equation   (14.120)

d'où la relation entre les composantes covariantes dans chaque base:

equation   (14.121)

Nous obtenons de même:

equation   (14.122)

Nous remarquons que les composantes covariantes se transforment comme les vecteurs de bases, d'où l'appellation de ces composantes.

BASES RÉCIPROQUES

Revenons maintenant sur le concept d'espace dual mais tel qu'il est vu dan le cadre du calcul vectoriel. Cette deuxième approche peut peut-être aider certains à mieux comprendre le concept.

Soit une base quelconque equation d'un espace vectoriel euclidien equation. Par définition, n vecteurs equation qui vérifient les relations suivantes:

equation   (14.123)

sont appelés les "vecteurs réciproques" des vecteurs equation. Ils seront notés avec des indices supérieurs. Par définition, chaque vecteur réciproque equation se doit donc d'être orthogonal à tous les vecteurs equation, sauf pour equation.

Montrons que les vecteurs réciproques equation d'une base donnée equation sont linéairement indépendants. Pour cela, il faut montrer qu'une combinaison linéaire equation donne un vecteur nul, si et seulement si chaque coefficient equation est nul.

Soit equation un vecteur quelconque de equation. Multiplions scalairement par equation la combinaison linéaire précédente equation, on obtient:

equation   (14.124)

Cette dernière égalité devant être vérifiée quels que soient les equation, il est nécessaire que chaque equation soit nul et ainsi les vecteurs equation sont donc linéairement indépendants (fallait déjà avoir l'idée de procéder ainsi n'est-ce pas?).

Le système de n vecteurs réciproques forme donc une base appelée la "base réciproque" (qui n'est d'autre que la base duale) de l'espace vectoriel equation.

exempleExemple:

Soit trois vecteurs equation formant une base (non nécessairement orthonormée) d'un espace vectoriel euclidien. Nous décidons de noter :

equation   (14.125)

où, rappelons-le, le symbole equation représente le produit vectoriel (au cas où il y aurait un petit oubli...). Les vecteurs suivants:

equation   (14.126)

vérifient la relation equation et constituent le système réciproque des vecteurs equation. En cristallographie, ces vecteurs constituent ce que nous appelons "l'espace de Fourier associé".

Remarque: Nous reconnaissons ici les relations que nous avions déjà obtenues lors de notre étude du déterminant de Gram.

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