OPÉRATIONS DANS LES BASES
1. Tenseur
2.1. Sommation sur plusieurs indices
2.2. Symbole de Kronecker
2.3. Symbole d'antisymétrie
3.1. Déterminant de Gram
4. Composantes contravariantes et covariantes
5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt
5.2. Changements de bases
5.3. Bases réciproques
6.1. Tenseur fondamental
6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs
6.3. Espaces tensoriels
6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs
6.5. Contraction des indices
7.1. Tenseur symétrique
7.2. Tenseur antisymétrique
7.3. Tenseur fondamental
8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques
8.2. Repère naturel en coordonnées polaires
8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques
10.1. Identité de Ricci
11. Tenseur de Riemann-Christoffel
11.1. Première identité de Bianchi
12. Tenseur de Ricci
13. Tenseur d'Einstein
L'intérêt du physicien pour le calcul tensoriel, est le passage de paramètres d'une base à une autre pour des raisons données (souvent dans le but soit de simplifier l'étude de problèmes ou simplement parce que les états étudiés dépendant - ou peuvent dépendre - de la géométrie de l'espace dont il est question). Il convient donc d'introduire les principaux outils qui y sont relatifs. Nous en profiterons aussi pour présenter des développements que nous aurions pu déjà aborder dans le chapitre de Calcul Vectoriel.
MÉTHODE D'ORTHOGONALISATION DE SCHMIDT
La "méthode d'orthogonalisation de
Schmidt" (dite également de "Grahm-Schmidt")
permet le calcul effectif d'une base orthogonale pour tout espace
vectoriel pré-euclidien 
(nous
aurions pu présenter cette méthode dans le chapitre de Calcul
Vectoriel mais il nous semblait plus intéressant de la présenter
dans le cas général et esthétique du calcul tensoriel).
Pour cela, considérons un ensemble de n vecteurs linéairement
indépendants 
de 
et
supposons que nous ayons pour chaque vecteur le produit scalaire
(la norme) :
(14.110)
Cherchons n vecteurs 
orthogonaux
entre eux. Partons pour cela de 
et
cherchons 
orthogonal à 
sous
la forme:
(14.111)
Le coefficient 
se
calcule en écrivant la relation d'orthogonalité:
(14.112)
Nous en déduisons sans trop de peine:
(14.113)
La paramètre 
étant
déterminé, nous obtenons le vecteur 
qui
est orthogonal à 
et
non nul puisque le système 
est
linéairement indépendant.
Le vecteur 
est
cherché sous la forme:
(14.114)
Les deux relations d'orthogonalité: 
et 
,
permettent le calcul des coefficients 
et 
.
Nous obtenons:
; 
(14.115)
ce qui détermine le vecteur 
,
orthogonal à 
et 
,
et non nul puisque le système 
est
indépendant. En continuant le même type de calcul, nous obtenons
de proche en proche un système de vecteurs 
orthogonaux
entre eux et dont aucun n'est nul.
Dans le cas où certains vecteurs seraient tels que 
(leur
norme est nulle), nous remplaçons 
par 
,
en choisissant un vecteur 
de
telle sorte que nous obtenions 
.
Nous en déduisons donc que tout espace vectoriel pré-euclidien admet des bases orthogonales!
Ce système de calcul des bases est de première importance, il permet par exemple d'étudier des systèmes physiques à partir d'un référentiel pré-euclidien dont les propriétés changent dans le temps. Ce qui est par exemple typique de la relativité générale.
CHANGEMENTS DE BASES
Soient deux bases 
et 
d'un
espace vectoriel 
.
Chaque vecteur d'une base peut être décomposé sur l'autre base
sous la forme suivante (nous l'avons déjà démontré):
et 
(14.116)
Un vecteur 
de 
peut être
décomposé sur chaque base sous la forme:
(14.117)
et nous avons aussi déjà démontré que:
et 
(14.118)
Nous remarquons que les relations de transformation des composantes contravariantes sont le contraire des vecteurs de base, les grandeurs A et A' s'échangeant, d'où l'origine de l'appellation "contra"-"variantes" de ces composantes!
Soient 
et 
les
composantes contravariantes du vecteur 
respectivement
sur les bases 
et 
.
Remplaçons les vecteurs de base, exprimés par les relations:
et 
(14.119)
dans l'expression de définition des composantes covariantes, il vient:
(14.120)
d'où la relation entre les composantes covariantes dans chaque base:
(14.121)
Nous obtenons de même:
(14.122)
Nous remarquons que les composantes covariantes se transforment comme les vecteurs de bases, d'où l'appellation de ces composantes.
BASES RÉCIPROQUES
Revenons maintenant sur le concept d'espace dual mais tel qu'il est vu dan le cadre du calcul vectoriel. Cette deuxième approche peut peut-être aider certains à mieux comprendre le concept.
Soit une base quelconque 
d'un
espace vectoriel euclidien 
.
Par définition, n vecteurs 
qui
vérifient les relations suivantes:
(14.123)
sont appelés les "vecteurs réciproques" des
vecteurs 
.
Ils seront notés avec des indices supérieurs. Par définition, chaque
vecteur réciproque 
se
doit donc d'être orthogonal à tous les vecteurs 
,
sauf pour 
.
Montrons que les vecteurs réciproques 
d'une
base donnée 
sont
linéairement indépendants. Pour cela, il faut montrer qu'une combinaison
linéaire 
donne
un vecteur nul, si et seulement si chaque coefficient 
est
nul.
Soit 
un
vecteur quelconque de 
.
Multiplions scalairement par 
la
combinaison linéaire précédente 
,
on obtient:
(14.124)
Cette dernière égalité devant être vérifiée quels que soient les 
,
il est nécessaire que chaque 
soit
nul et ainsi les vecteurs 
sont
donc linéairement indépendants (fallait déjà avoir l'idée de procéder
ainsi n'est-ce pas?).
Le système de n vecteurs réciproques forme donc une base
appelée la "base réciproque" (qui
n'est d'autre que la base duale) de l'espace vectoriel 
.
Exemple:
Soit trois vecteurs 
formant
une base (non nécessairement orthonormée) d'un espace vectoriel
euclidien. Nous décidons de noter :
(14.125)
où, rappelons-le, le symbole 
représente
le produit vectoriel (au cas où il y aurait un petit oubli...).
Les vecteurs suivants:
(14.126)
vérifient la relation 
et
constituent le système réciproque des vecteurs 
.
En cristallographie, ces vecteurs constituent ce que nous appelons "l'espace
de Fourier associé".
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