NOTATION INDICIELLE



COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

Nous utilisons par la suite des symboles mathématiques: coordonnées, composantes de vecteurs et tenseurs, éléments de matrice, etc., dont le nombre, dans chaque catégorie, est grand ou indéterminé. Pour distinguer les divers symboles d'une catégorie nous employons des indices. Par exemple, au lieu des variables traditionnelles x, y, z nous utiliserons éventuellement les grandeurs equation(comme nous l'avons déjà fait en algèbre linéaire). Cette notation devient indispensable lorsque nous avons des variables en nombre indéterminé.

Ainsi, si nous avons n variables, nous les noterons : equation

Nous utilisons également des indices supérieurs, selon les besoins; par exemple, equation. Afin d'éviter toute confusion avec l'écriture des puissances, la quantité equation à la puissance p sera écrite equation. Lorsque le contexte écarte tout risque d'ambiguïté, l'utilisation des parenthèses n'est cependant pas fondamentalement nécessaire.

En calcul tensoriel il existe une convention de sommation qui consiste à utiliser le fait que l'indice répété, ici l'indice i, va devenir lui-même l'indication de la sommation. Nous écrivons alors, avec cette convention :

equation   (14.12)

ce qui permet de condenser relativement bien les écritures.

Ainsi, pour représenter le système linéaire :

equation   (14.13)

Nous écrirons (remarquez bien comment s'écrivent les composants de la matrice associée) : 

equation    (14.14)

en spécifiant que c'est pour  equation.

Nous voyons sur cet exemple, combien la convention de sommation permet une écriture condensée et donc puissante.

La convention de sommation s'étend à tous les symboles mathématiques comportant des indices répétés. Ainsi la décomposition d'un vecteur equation sur une base equation s'écrit pour equation dès lors :

equation   (14.15)

En résumé, toute expression qui comporte un indice deux fois répété représente une somme sur toutes les valeurs possibles de l'indice répété.

Remarque: Nous nommons, pour des raisons évidentes que nous détaillerons plus loin, equation la "composante contravariante" du vecteur equation.

SOMMATION SUR PLUSIEURS INDICES

La convention de sommation (due à Einstein) s'étend au cas où figurent, en règle générale, plusieurs indices répétés en positions supérieure et inférieure dits "indices muets" dans un même monôme (souvent les physiciens omettent le règle de les mettre en position opposées comme ce sera aussi le cas souvent sur ce site!). Soit par exemple, la quantité equation, celle-ci représente la somme suivante pour i et j prenant les valeurs de 1 à 2:

equation   (14.16)

Ainsi, nous voyons facilement qu'une expression avec deux indices de sommation qui prennent respectivement les valeurs equation comportera equation termes; equation s'il y a trois indices, de sommation etc.

Il faut faire cependant attention aux substitutions avec ce genre de notation car si nous supposons que nous avons la relation:

equation avec equation   (14.17)

Pour obtenir l'expression de A uniquement en fonction des variables equation, nous ne pouvons pas écrire:

equation    (14.18)

car cela ne revient pas à la même expression après développement puisque les indices muets sont systématiquement sommés de manières identiques et rigides (nous laissons au lecteur le soin de faire ce petit exercice de style).

SYMBOLE DE KRONECKER

Un symbole introduit par le mathématicien Kronecker, est le suivant (souvent utilisé en physique en général dans de nombreux domaines):

equation   (14.19)

Ce symbole est appelé "symbole de Kronecker". Il permet avantageusement d'écrire, par exemple, le produit scalaire de deux vecteurs equationet equation, de norme unité et orthogonaux entre eux, sous la forme:

equation   (14.20)

Lors d'une sommation portant sur deux indices muets, le symbole de Kronecker annule tous les termes où les indices ont des valeurs différentes. Par exemple:

equation   (14.21)

Nous retrouverons ce symbole dans de nombreux exemples de physique théorique (physique quantique ondulatoire, physique quantique des champs, relativité générale, mécanique des fluides, etc..)

SYMBOLE D'ANTSYMÉTRIE

Un autre symbole fort utile est le "symbole d'antisymétrie" ou appelée aussi "tenseur d'antisymétrie" que nous retrouverons en Électrodynamique, en Relativité Générale et en Physique Quantique Relativiste.

Dans le cas où i, j, k prennent l'une des valeurs {1,2,3} le symbole d'antisymétrie equationaura les valeurs définies suivantes:

- equation, si deux quelconques des indices ou plus ont une valeur identique

- equation, si les indices sont dans l'ordre 1, 2, 3 ou proviennent d'un nombre pair de permutations des indices par rapport à l'ordre initial des indices.

- equation, si les indices sont dans un ordre qui provient d'un nombre impair de permutations par rapport à l'ordre initial des indices.

En utilisant ce symbole, un déterminant d'ordre deux (voir algèbre linéaire) s'écrit alors sous la forme avantageuse :

equation   (14.22)

et le produit vectoriel (et ça c'est très pratique en relativité générale) :

equation   (14.23)

où bien sûr, j et k sont sommés et où l'indice muet i est le numéro de la ligne du vecteur résultant (en cas de demande nous ferons les développements). En particulier, le rotationnel d'un champ vectoriel est alors :

equation   (14.24)

Comme exemple, calculons en notation indicielle le double produit vectoriel equation :

equation   (14.25)

où à nouveau, l'indice muet i est le numéro de la ligne du vecteur résultant (en cas de demande nous ferons les développements).

Démonstration:

Nous avons indirectement démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel la partie suivante:

equation   (14.26)

que nous pouvons démonter en détails dans le chapitre précédemment mentionné sur demande.

Pour démontrer la relation:

equation   (14.27)

au changement d'indices près montrons d'abord que:

equation   (14.28)

ce qui nous donne:

equation   (14.29)

faisons le développement que pour la première ligne (c'est déjà suffisamment long...):

equation   (14.30)

C'est ce qu'il fallait montrer.

Maintenant montrons que pour la première ligne nous avons bien:

equation   (14.31)

en s'aidant d'un résultat obtenu dans le chapitre de Calcul Vectoriel (produit vectoriel de trois vecteurs différents) nous avons le premier terme (la première ligne du vecteur résultant du calcul):

equation   (14.32)

Il est alors immédiat que (pour i valant 1):

equation   (14.33)

Montrons maintenant que pour i valant 1 nous avons aussi:

equation   (14.34)

Effectivement:

equation   (14.35)

equation C.Q.F.D.

Comme deuxième exemple, montrons comment la divergence d'un rotationnel s'annule :

equation   (14.36)

Comme de par le théorème de Schwarz equation est symétrique dans les indices et que equation est antisymétrique (par définition) dans les mêmes indices, la somme sur i et j doit nécessairement s'annuler. Par exemple, la contribution à la somme du terme equation est l'opposée de celle de equation.

Remarques:

R1. Le symbole d'antisymétrie est très souvent appelé "tenseur de Levi-Civita" dans la littérature. Au fait, bien que ce soit bien un tenseur sous la forme de ses notations, il s'agit plus d'un outil mathématique qu'un "être" mathématique d'où la préférence de certains physiciens de le nommer "symbole" plutôt que "tenseur". Mais c'est à vous de voir...

R2. Par abus d'écriture nous n'écrivons pas le vecteur de base mais en toute rigueur, et pour éviter de l'oublier, rappelons qu'afin d'équilibrer les membres de l'égalité et dans le souci de préciser que les vecteurs sont exprimés dans la même base, nous devrions écrire :

equation   (14.37)

Voyons maintenant des applications concrètes de cette notation indicielle en reprenant l'exemple du changement de base que nous avons déjà vu en calcul vectoriel :

Soient deux bases equation et equation d'un espace vectoriel euclidien equation. Chaque vecteur d'une base peut être décomposé sur l'autre base sous la forme d'une application linéaire (matrice de changement de base - voir chapitre d'Algèbre Linéaire) :

equation   et   equation   (14.38)

où nous utilisons bien évidemment la convention de sommation pour equation

Rappelons que la matrice de changement de base (ou "matrice transformation") doit avoir autant de colonnes que le vecteur de base a de lignes (dimensions). Petit exemple à trois dimensions:

equation   (14.39)

et il est évident qu'il est bien plus sympathique d'écrire cela sous la forme:

equation   (14.40)

où donc sur A, nous avons le k qui représente la colonne de la matrice et i la ligne.

Un vecteur quelconque equation de equation peut être décomposé (nous l'avons déjà vu) sur chaque base de equation sous la forme: 

equation   (14.41)

Si nous cherchons les relations entre les composantes equation et equation il suffit de reprendre les relations de changement de base et nous avons alors (cela revient à faire de l'algèbre linéaire):

equation   (14.42)

De suite par l'unicité de la décomposition d'un vecteur sur une base, nous pouvons égaler les coefficients des vecteurs de base et nous obtenons (il faut prendre garde a réarranger à nouveau l'ordre des termes car la multiplication matricielle n'est pas commutative comme nous le savons déjà) :

equation et equation   (14.43)

Il vient également la relation triviale (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) : 

equation   (14.44)

Effectivement faisons un exemple explicite simple avec une matrice de dimension 2:

equation   (14.45)

Une autre manière élégante de montrer en toute généralité la relation antéprécédente est de se rappeler du résultat démontré juste plus haut:

equation   (14.46)

et en utilisant:

equation   (14.47)

Il vient alors:

equation   (14.48)

Les vecteurs de base étant linéairement indépendants, cette dernière relation implique que lorsque equation:

equation   (14.49)

et lorsque equation:

equation   (14.50)

Ainsi il vient:

equation   (14.51)

Quant au produit scalaire, les résultats obtenus avec la notation indicielle sont forts intéressants et extrêmement puissants. Nous avons déjà défini le produit scalaire dans le chapitre de Calcul Vectoriel mais voyons comment nous manipulons ce dernier avec la notation indicielle:

Considérons un espace vectoriel euclidien equation rapporté à une base quelconque equation. Les vecteurs s'écrivent sur cette base (nous le savons déjà): 

equation, equation   (14.52)

Le produit scalaire relativement à ses propriétés et à la notation indicielle s'écrit alors:

equation   (14.53)

Relation fonamentale pour la physique de pointe (relativité générale et théorie des cordes) qui fait apparaître le "tenseur métrique covariant" : 

equation   (14.54)

et pour satisfaire la propriété de commutativité du produit scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) nous devons évidemment avoir l'égalité:

equation   (14.55)

Remarque: Lorsque les vecteurs de base equation forment un espace vectoriel orthogonal (pas nécessairement orthonormé) alors les quantités:

equation   (14.56)

sont nulles si equation. Le produit scalaire de deux vecteurs equationet equationse réduit alors à:

equation   (14.57)

ou encore à :

equation   (14.58)

et donc lorsque les vecteurs de base forment un espace vectoriel orthonormal il est alors clair que equation est alors égal au symbole de Kronecker seul!


page suivante : 3. Métrique et signature