MÉTRIQUE ET SIGNATURE



COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

Comme nous l'avons vu en calcul vectoriel, le produit scalaire d'un vecteur equation peut permettre de définir la notion de norme d'un vecteur (et le concept de distance).

Rappelons que nous avons par définition la norme d'un vecteur qui est donnée par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation   (14.59)

où les nombres equation définissent en quelque sorte une "mesure" des vecteurs; nous disons alors dans le langage du calcul tensoriel qu'ils constituent la "métrique" de l'espace vectoriel choisi.

Dans l'espace de la géométrie classique, la norme est un nombre qui est toujours strictement positif et qui ne devient nul que si le vecteur mesuré est égal à zéro. Par contre, l'expression précédente de la norme d'un vecteur, peut être éventuellement négative pour des nombres equation quelconques (espaces complexes par exemple). Nous pouvons donc distinguer deux genres d'espaces vectoriels pré-euclidiens (espace euclidien dans lequel nous avons défini le produit scalaire) selon que la norme est positive ou non. Cependant lorsqu'en physique théorique nous souhaitons faire l'analogisme avec une structure d'espace vectoriel il faut que la condition :

equation   (14.60)

soit satisfaite (equation peut être écrit comme une matrice, rien ne nous l'empêche). 

Explications : Nous savons que le produit scalaire doit satisfaire à la propriété de commutativité telle que:

equation   (14.61)

D'autre part, si pour tout equationnon nul nous avons :

equation   (14.62)

cela implique equation (c'est une des propriétés de la norme que nous avons vu en calcul vectoriel). Nous pouvons alors écrire:

equation   (14.63)

Nous nous  retrouve ici simplement avec un système de n équations à n inconnues (ne devant admettre par hypothèse que la solution equation), il faut et il suffit pour cela que le déterminant du système, noté g, du système soit différent de zéro (cf. chapitre d'Algèbre Linaire). Nous devons donc avoir:

equation   (14.64)

C'est une des conditions pour qu'une expression assimilable à une norme sous une écriture tensorielle forme dans le cadre d'une théorie physique un espace vectoriel des états du système !!

Remarques:

R1. Le nombre de signes + et - se trouvant dans l'expression du produit scalaire constitue une caractéristique d'un espace vectoriel donné equation; elle est appelée la "signature de l'espace vectoriel" equation.

R2. Une application pratique des calculs de la métrique est proposée dans le chapitre de Relativité Générale.

A partir des coefficients du tenseur métrique covariant equation définissant la métrique de l'espace equation, nous pouvons introduire les coefficients du "tenseur métrique contravariant" equationdéfinissant la métrique d'un "espace dual" equation par la relation :

equation   (14.65)

En d'autres termes, le tenseur métrique est son propre inverse. Nous le démontrerons explicitement plus loin en montrant lors de notre étude du déterminant de Gram que les composantes contravariantes et covariantes d'un espace euclidien sont égales.

Remarque: L'espace equation est aussi appelée "espace primal".

L'espace dual est sous-tendu par n vecteurs de base equation construite à partir des vecteurs equation tel que :

equation   (14.66)

Il est dès lors facile de voir que le produit scalaire des vecteurs equation définit la métrique equation de l'espace dual :

equation   (14.67)

tandis que les vecteurs equation (contravariants) et equation (covariants) sont bien orthogonaux :

equation   (14.68)

Nous pouvons exprimer aussi un vecteur dans la base duale par l'écriture suivante en remarquant bien évidemment que la position des indices muets est inversée :

equation   (14.69)

Remarque: Les composantes equation sont nommées, pour des raisons que nous verrons plus loin, les composantes covariantes.

Ce qui est important c'est que nous avons finalement la possibilité de passer aussi les vecteurs d'une base à l'autre :

equation   (14.70)

où ce qu'il est important de retirer est que :

equation   (14.71)

et inversement, de la même manière que :

equation   (14.72)

DÉTERMINANT DE GRAM

Voyons une autre approche pour obtenir les vecteurs de base de l'espace dual qui peut permettre par ailleurs de mieux appréhender le concept et qui nous permettra par ailleurs d'obtenir un résultat intéressant que nous utiliserons lors de certains calculs de la relativité générale (principalement son étude selon le formalisme lagrangien) .

Nous avons donc pour equation :

equation   (14.73)

Ce produit scalaire peut être vu comme une condition de normalisation pour les deux bases et les deux produits scalaires equation comme des conditions d'orthogonalisation. Ainsi, comme equation est perpendiculaire à equation nous pouvons écrire :

equation   (14.74)

equationest une constante de proportionnalité. Maintenant jouons un peu avec la relation précédente :

equation   (14.75)

Dès lors, nous obtenons :

equation   (14.76)

où nous voyons apparaître le produit mixte tel que nous l'avions défini dans le chapitre de Calcul Vectoriel.

Ainsi, nous obtenons très facilement :

equation   (14.77)

ou de manière plus générale (sans démonstration car peut-être trop évident) nous avons donc pour les vecteurs covariants :

equation   (14.78)

et de même pour les vecteurs contravariants (sans démonstration car peut-être trop évident) :

equation   (14.79)

Remarque: Un petit calcul rapide de tête montre que les bases duales des systèmes cartésiens (comme les systèmes à coordonnées cylindriques, polaires ou sphérique par exemple) sont les systèmes cartésiens eux-mêmes. En d'autres termes, dans un système de coordonnées cartésiennes, il n'y a pas de différence entre les composantes covariantes et contravariantes puisque equation

Revenons maintenant sur quelque chose qui va nous sembler bien ancien... Dans le chapitre de Calcul Vectoriel, nous avons définis et étudiés ce qu'étaient le produit vectoriel et le produit mixte. Nous allons voir maintenant une autre manière de représenter ceux-ci et voir que cette représentation permet d'obtenir un résultat pour le moins pertinent!

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le produit vectoriel était donné par :

equation   (14.80)

Or, ce que nous n'avions pas vu et que nous pouvons constater maintenant de manière triviale c'est que cette expression n'est que le déterminant des matrices suivantes :

equation   (14.81)

Mais comme nous faisons du calcul tensoriel, il nous faut maintenant proprement distinguer composantes covariantes et contravariantes. Nous allons donc récrire cela correctement avec les composantes contravariantes :

equation   (14.82)

De même, le produit mixte peut être écrit à l'aide de cette relation et notation :

equation   (14.83)

Or, en regardant l'expression du déterminant nous voyons assez facilement, sans même avoir à faire les développements (si vous ne le voyez pas n'hésitez pas à nous le dire nous détaillerons!) que :

equation   (14.84)

Ce qui est fréquemment noté :

equation   (14.85)

avec :

equation   (14.86)

appelé "volume euclidien" (effectivement rappelons que le produit mixte est un volume!)

Remarque: Rappelons encore une fois que si les vecteurs de base sont orthonormés, qu'ils soient exprimés en coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques alors :

equation   (14.87)

Par ailleurs, nous avons aussi la relation non moins importante :

equation   (14.88)

En utilisant la relation vue dans le chapitre de Calcul Vectoriel :

equation   (14.89)

Or, nous avons vu plus haut que equation  donc :

equation   (14.90)

et finalement :

equation   (14.91)

Ceci ayant été fait revenons à la relation du produit vectoriel :

equation   (14.92)

et exprimons les composantes du déterminant dans leur base duale (en coordonnées covariantes) :

equation   (14.93)

Bien évidemment, si le produit vectoriel est exprimé en composantes covariantes alors nous avons :

equation   (14.94)

Maintenant appliquons le produit mixte :

equation   (14.95)

en connaissant l'expression du déterminant d'une matrice carrée equation (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) il vient immédiatement :

equation   (14.96)

Inversement, il vient immédiatement :

equation   (14.97)

Or, nous avons vu que dans le chapitre de Calcul Vectoriel que equation. Il vient alors :

equation   (14.98)

et donc :

equation   (14.99)

Cette dernière relation étant souvent appelée "déterminant de Gram". Un cas particulier très intéressant nous donne :

equation   (14.100)

écrit autrement :

equation   (14.101)

Ainsi, le volume euclidien est donné par ce que nous appellerons le "déterminant fonctionnel" du système (expression que nous retrouverons en relativité générale et théorie des cordes):

equation   (14.102)

Si nous notons autrement le déterminant :

equation   (14.103)

COMPOSANTES CONTRAVARIANTES ET COVARIANTES

Jusqu'à maintenant nous avons écrit les indices muets arbitrairement en exposant ou en indice selon notre bon vouloir. Cependant, cela n'est pas toujours autorisé et parfois le fait qu'un indice muet soit en exposant ou en indice à une signification bien particulière. Ceci constitue souvent la difficulté lors de l'étude de certains théorèmes, car si nous n'étudions pas ceux-là depuis le début, nous ne savons pas vraiment comme interpréter la position des indices muets. Il faut donc être extrêmement prudent à ce niveau.

Pour un espace vectoriel euclidien equation rapporté à une base quelconque equation, le produit scalaire d'un vecteur equation par un vecteur equation de sa base s'écrit:

equation   (14.104)

Donc :

equation   (14.105)

Cette relation est de première importance en physique théorique et en calcul tensoriel. Il est important de s'en souvenir pour lorsque nous étudierons la contraction des indices plus tard (vous pouvez observer dans la relation précédente que nous avons "abaissé" l'indice des composantes du membre droit de l'égalité).

Ces produits scalaires notés equation, s'appellent les "composantes covariantes", dans la base equation, du vecteur equation. Ces composantes sont donc définies par: 

equation   (14.106)

Remarque: Cela constitue donc une projection d'un vecteur sur un des vecteurs de sa propre base

Elles seront notées au moyen d'indices inférieurs !!! Nous verrons par la suite que ces composantes s'introduisent naturellement pour certains vecteurs de la physique, par exemple le vecteur gradient. D'autre part, la notion de composante covariante est essentielle pour les tenseurs.

Remarque: Les vecteurs de base ont toujours les indices notés en bas car ils sont leurs propres composantes covariantes (ils se projettent sur eux-mêmes par produit scalaire).

Inversement, les "composantes contravariantes" (autrement dit les composantes non projetées) peuvent être calculées en résolvant, par rapport aux n inconnues equation, le système de n équations de :

equation   (14.107)

Les relations précédentes montrent que les composantes covariantes equation sont liées aux composantes equation classiques et composantes contravariantes sont donc des nombres equation tels que: 

equation   (14.108)

Elles seront indiquées au moyen d'indices supérieurs !! L'étude des changements de base permettra de justifier encore plus l'appellation des différentes composantes.

Dans une base orthonormée canonique (cas très particulier), les composantes covariantes et contravariantes sont identiques comme nous le savons déjà suite à l'étude du déterminant de Gram. Effectivement :

equation   (14.109)

Remarque: Nous voyons ci-dessus, que l'écriture incessante d'indices muets en exposants ou en indice peut parfois amener à certaines confusions et à des maux de tête sérieux...

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