CALCUL TENSORIEL



COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

Le calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapte parfaitement à l'étude des propriétés mécaniques et physiques de la matière dans l'espace euclidien à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la physique, il apparaît des grandeurs expérimentales qui ne peuvent plus être facilement représentées par de simples vecteurs-colonnes d'espaces vectoriels euclidiens. C'est le cas par exemple en mécanique des milieux continus, fluides ou solides, en électromagnétisme, relativité générale, etc.

Ainsi, dès la fin du 19ème siècle, l'analyse des forces qui s'exercent à l'intérieur d'un milieu continu à conduit à mettre en évidence des grandeurs physique caractérisées par neuf nombres représentant les forces de pression ou de tension internes (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus). La représentation de ces grandeurs nécessita l'introduction d'un nouvel être mathématique qui fut appelé "tenseur", par référence à son origine physique. Par la suite, à partir de 1900, ce furent R. Ricci et T. Lévi-Civita qui développèrent le calcul tensoriel puis l'étude des tenseurs permit un approfondissement de la théorie des espaces vectoriels et contribua au développement de la géométrie différentielle (voir chapitre du même nom).

Le calcul tensoriel, appelé aussi parfois "géométrie différentielle absolue" a également pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et leurs formes sont ainsi invariantes (énorme allégement des calculs). Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel référentiel il convient de travailler et cela, est très intéressant en relativité générale.

Nous conseillons par ailleurs vivement au lecteur de bien maîtriser les bases du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire comme elles ont été présentées auparavant. Au besoin, nous avons choisi lors de la rédaction de ce chapitre de revenir sur certains points vus en calcul vectoriel (composantes covariantes, contravariantes,...).

Par ailleurs, si le lecteur a déjà parcouru l'étude des contraintes dans les solides (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) ou du tenseur de Faraday (cf. chapitre d'Electrodynamique) ou du tenseur d'énergie-impulsion (cf. chapitre de Relativité) ceci constituera un avantage pratique certain avant de parcourir ce qui va suivre. Par ailleurs, la lecture des objets susmentionés a été faite de telle manière que la notion de tenseur y soit introduite intuitivement.

Nous ne ferons que très peu d'exemples pratiques dans cette section. Effectivement les exemples concrets, vous l'aurez compris, viendront lorsque nous étudierons la mécanique des milieux continus, la relativité générale, la physique quantique des champs, etc...

Un conseil peut-être : pensez matriciel, écrivez tensoriel ! (vous comprendrez mieux ce petit adage une fois après avoir parcouru tout ce chapitre).

TENSEUR

Définition (simpliste): Un "tenseur" est un objet mathématique généralisant les notions de vecteur et de matrice. Ils ont été introduits, en physique, pour représenter l'état de contrainte et de déformation d'un volume soumis à des forces, d'où leur nom (tensions).

La définition rigoureuse nécessite (je pense personnellement) d'avoir d'abord lu le présent chapitre dans son entier. Mais sachez qu'au fait un tenseur est grosse modo comme un déterminant... (cf. chapitre d'Algèbre Linaire). Eh oui! C'est simplement une application multilinéaire sur un espace de dimension donnée (correspondant au nombre de colonnes de la matrice/tenseurs) qui donne finalement un scalaire (d'un corps donné).

Par exemple, nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus que les forces normales dans un fluide étaient données par la relation :

equation   (14.1)

soit sous forme condensée :

equation   (14.2)

Nous faisons ainsi apparaître une grandeur mathématique equation ayant 9 composantes, alors qu'un vecteur dans le même espace equation en possède 3.

Cette notion est aussi beaucoup utilisée dans le chapitre de Relativité Générale où nous avons démontré que le tenseur d'énergie-impulsion dans un cas particulièrement simple est donné par :

equation   (14.3)

et satisfait à la relation non moins importante de conservation :

equation   (14.4)

Ou toujours dans le chapitre de Relativité Générale nous avons démontré que le tenseur de la métrique de Schwarzschild est :

equation   (14.5)

et donne donc l'équation de la métrique (cf. chapitre de Calcul Différentiel) :

equation   (14.6)

Signalons également dans le chapitre de Relativité Restreinte que nous avons démontré que le tenseur de transformation de Lorentz est donnée par :

equation   (14.7)

qui sous forme condensée donne la transformation de composantes suivantes :

equation   (14.8)

En ce qui concerne la transformation du champ électromagnétique nous avons également démontré que le tenseur de Faraday est donné par :

equation   (14.9)

et permet donc de passer d'un référentiel à un autre à l'aide de la relation :

equation   (14.10)

Mais ce sont des tenseurs très simples qui peuvent être représentés sous formes de matrices. Il faut également savoir que ce n'est pas parce qu'une lecture d'une variable avec des indices semble indiquer que nous avons à faire à un tenseur que cela en est forcément un. Par exemple, la relation fameuse (très utilisée dans le chapitre de Relativité Générale) :

equation   (14.11)

pourrait faire croire que le premier membre tout à gauche est un tenseur mais au fait il n'est est rien... ce n'est qu'un symbole... d'où son nom : symbole de Christoffel (et non pas : tenseur de Christoffel).

L'intérêt des tenseurs en physique est que leurs caractéristiques sont indépendantes des coordonnées choisies. Ainsi, une relation entre tenseur dans une base sera vraie quelle que soit la base utilisée par la suite. C'est une caractéristique fondamentale pour la relativité générale!


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