COORDONNÉES CURVILIGNES
1. Tenseur
2.1. Sommation sur plusieurs indices
2.2. Symbole de Kronecker
2.3. Symbole d'antisymétrie
3.1. Déterminant de Gram
4. Composantes contravariantes et covariantes
5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt
5.2. Changements de bases
5.3. Bases réciproques
6.1. Tenseur fondamental
6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs
6.3. Espaces tensoriels
6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs
6.5. Contraction des indices
7.1. Tenseur symétrique
7.2. Tenseur antisymétrique
7.3. Tenseur fondamental
8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques
8.2. Repère naturel en coordonnées polaires
8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques
10.1. Identité de Ricci
11. Tenseur de Riemann-Christoffel
11.1. Première identité de Bianchi
12. Tenseur de Ricci
13. Tenseur d'Einstein
Les notions classiques de système de coordonnées peuvent être
généralisées à des espaces ponctuels (voir le chapitre traitant
des Principes) à n dimensions. Nous appelons "système
de coordonnées" dans (espace
ponctuel à n dimensions donc), tout mode de
définition d'un point M dans le système considéré.
Pour un système donné de coordonnées (cartésiennes, sphériques, cylindriques, polaires...), nous appelons "ligne coordonnée" le "lieu" des points M lorsqu'une seule coordonnée varie, les autres étant égales à des constantes.
Etudions tout d'abord la généralisation d'un système de coordonnées relatives à un repère fixe (nous conseillons vivement au lecteur d'avoir lu au préalable la partie traitant des systèmes de coordonnées dans le chapitre de Calcul Vectoriel et la partie traitant du formalisme lagrangien dans le chapitre Principes).
Considérons un espace ponctuel et
un repère
de
cet espace. Soit
les
coordonnées rectilignes d'un point M de
par
rapport à ce repère. Un système de coordonnées quelconque
,
,
est obtenu en se donnant n fonctions arbitraires
des
paramètres
,
telles que:
(14.217)
Nous supposerons par la suite que les n fonctions satisfont aux trois propriétés suivantes:
P1. Elles sont de classe supérieur ou égal à (dérivables
au moins deux fois pour les besoins de la physique). Cette
hypothèse implique, en tout point où elle est satisfaite,
que nous avons la permutabilité des dérivations (par rapport
aux deux dérivations):
(14.218)
P2. Ces fonctions sont telles que nous pouvons résoudre
le système des n équations de changement de
système de coordonnées par rapport aux variables et
les exprimer en fonction des
,
soit:
(14.219)
toujours avec .
P3. Lorsque les variables varient
dans un domaine
,
les variables
varient
dans un domaine
.
Le jacobien des fonctions
,
défini par:
(14.220)
sera supposé différent de zéro dans le domaine ainsi
que le jacobien
des
fonctions
qui
est l'inverse du jacobien
.
Si les jacobiens existent, ils sont non nuls comme conséquence
en première lieu de la deuxième propriété ci-dessus et implicitement
de la première.
Si nous fixons paramètres
en
faisant varier un seul paramètre,
par
exemple, nous obtenons les coordonnées
d'un
ensemble de points M de
qui
constituent une "ligne coordonnée".
En général, les lignes coordonnées ne sont pas des droites
mais des courbes; ces coordonnées sont
appelées pour cette raison des "coordonnées
curvilignes". En un point M de
se
croisent d'ailleurs n lignes coordonnées.
Nous démontrons en mécanique analytique, lors de l'étude
des espaces ponctuels, que les dérivées et les différentielles
d'un vecteur de
sont
indépendantes du point O d'un repère donné.
Si
est
rapporté à un système de coordonnées curvilignes
,
nous écrivons :
(14.221)
Exemple:
Un exemple de coordonnées curvilignes ,
où chaque
est
une fonction uniforme des coordonnées rectilignes
et
de plus des fonctions continues du point courant M,
est celui des coordonnées sphériques où nous avons (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel) :
(14.222)
Rappelons aussi que lors de notre étude du système de coordonnées sphériques en calcul vectoriel nous avions obtenu :
(14.223)
Ainsi, nous voyons bien cette dépendance sous l'expression des relations suivantes :
(14.224)
Dans un espace non euclidien, nous ne pouvons définir une
base valable dans tout l'espace. Ainsi, nous construisons
une base en chaque point séparément et pour cela, nous utilisons
bien les coordonnées curvilignes telles qu'en chaque point M,
les vecteurs de base sont
tangents à la ligne de coordonnées correspondante
via
la relation donnée plus haut :
(14.225)
Soient maintenant les
coordonnées curvilignes du point M par
rapport à une repère cartésien
.
Dans ce repère, nous avons bien évidemment :
(14.226)
où les coordonnées cartésiennes sont des fonctions .
Le vecteur a
donc pour expression:
(14.227)
A partir des composantes du
vecteur
,
nous pouvons former un déterminant
qui
est précisément le jacobien des fonctions
que
nous avions défini précédemment. Puisque ce déterminant
est différent de zéro (du moins imposé tel quel), il en résulte
que les n vecteurs
sont
linéairement indépendants.
Ces n vecteurs, définis par la relation :
(14.228)
sont appelées la "base naturelle" au
point M de l'espace vectoriel .
Il sont colinéaires aux tangentes des n lignes
coordonnées qui se coupent au point M où ils
sont définis.
Nous n'insisterons pas sur le fait évident qu'à tout système de coordonnées curvilignes sont associées des repères naturels dont les bases sont exprimées par ses mêmes coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).
Exemple:
En coordonnées sphériques, les vecteurs de la base naturelle sont ceux que nous avons obtenus lors de notre étude du système de coordonnées sphériques dans le chapitre de Calcul Vectoriel et qui sont orthogonaux mais non orthonormés.
Associons au point M de un
repère formé par le point M et par les vecteurs
de la base naturelle. Ce repère est appelé le "repère
naturel" en M du système de coordonnées
.
Il sera noté:
ou
(14.229)
La différentielle du vecteur s'exprime
alors sous la forme:
(14.230)
Les quantités constituent
les composantes contravariantes du vecteur
dans
le repère naturel
du
système de coordonnées
.
Considérons maintenant deux systèmes quelconques de coordonnées
curvilignes et
,
liées entre elles par les relations:
(14.231)
où les fonctions sont
supposées plusieurs fois continument dérivables par rapport
aux
et
de même pour les fonctions
par
rapport aux coordonnées
.
Lorsque nous passons d'un système de coordonnées à un
autre, nous disons que nous effectuons un "changement
de coordonnées curvilignes".
Nous avons vu en relativité générale que le carré de la
distance entre
deux points M et M' infiniment
proches est donné par la relation:
(14.232)
où les sont
les composantes du vecteur
,
rapportées à un repère fixe d'un espace ponctuel
.
Lorsque cet espace est rapporté à un système de coordonnées
curvilignes
,
nous avons vu que la relation:
(14.233)
montre que le vecteur a
pour composantes contravariantes les quantités
par
rapport au repère naturel
.
Le carré de la distance
s'écrit
alors dans le repère naturel:
(14.234)
où les quantités sont
les composantes du tenseur fondamental ou du tenseur métrique
définies à l'aide d'une base naturelle. L'expression précédente
s'appelle "l'élément linéaire
de l'espace ponctuel"
ou
encore la "métrique" de
cet espace.
Les vecteurs du
repère naturel varient en général d'un point un autre. C'est
le cas, par exemple, des coordonnées sphériques dont les
quantités
(nous
le démontrerons de suite après) sont variables !!
Une courbe de
peut être
définie par la donnée des coordonnées curvilignes
du
lieu des points
en
fonction d'un paramètre
.
La distance élémentaire ds sur cette courbe
s'écrit
alors:
(14.235)
REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace
ponctuel
de
la géométrie ordinaire, en coordonnées sphériques. Ecrivons
l'expression des vecteurs
dans
un repère cartésien fixe
qui
sont par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel
pour plus de détails) :
(14.236)
Les vecteurs des la base naturelle étant donnés par:
(14.237)
Nous avons ainsi :
(14.238)
La dérivée de par
rapport à
donne
le vecteur
:
(14.239)
La dérivée par rapport à donne
le vecteur
:
(14.240)
Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que
nous le vérifions aisément en effectuant les produits scalaires .
Lorsqu'il en est ainsi, nous disons que les coordonnées sont
des "coordonnées curvilignes orthogonales".
Ces vecteurs ne sont cependant pas tous normés, puisque nous avons:
(14.241)
Le repère naturel, en coordonnées sphériques, est donc formé par
des vecteurs variables en direction en en module en chaque
point de M. Les quantités constituent
un exemple de tenseur métrique attaché à chacun des points M de
l'espace
.
L'élément linéaire du plan est donné par (les détails des calculs peuvent êtres trouvés dans le chapitre de Relativité Générale):
(14.242)
REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES POLAIRES
Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace
ponctuel
de
la géométrie ordinaire, en coordonnées polaires. Ecrivons
l'expression des vecteurs
dans
un repère fixe cartésien
qui
sont par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel
pour plus de détails):
(14.243)
Les vecteurs des la base naturelle étant donnés par:
(14.244)
Nous avons:
(14.245)
La dérivée de par
rapport à
donne
le vecteur
:
(14.246)
Ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que nous
le vérifions aisément en effectuant les produits scalaires .
Nous avons:
(14.247)
L'élément linéaire du plan est alors donné par (cf. chapitre de Relativité Restreinte):
(14.248)
REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace
ponctuel
de
la géométrie ordinaire, en coordonnées cylindriques. Ecrivons
l'expression des vecteurs
dans
un repère fixe cartésien
qui
sont par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel
pour plus de détails):
(14.249)
Les vecteurs des la base naturelle étant donnés par:
(14.250)
Nous avons:
(14.251)
La dérivée de par
rapport à
donne
le vecteur
:
(14.252)
et enfin:
(14.253)
Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi qu'on
le vérifie aisément en effectuant les produits scalaires .
Nous avons:
(14.254)
L'élément linéaire du plan est alors donné par (cf. chapitre de Relativité Restreinte):
(14.255)
page suivante : 9. Symboles de Christoffel