COORDONNÉES CURVILIGNES

COURS SUR LE CALCUL TENSORIEL

1. Tenseur

2. Notation indicielle

2.1. Sommation sur plusieurs indices

2.2. Symbole de Kronecker

2.3. Symbole d'antisymétrie

3. Métrique et signature

3.1. Déterminant de Gram

4. Composantes contravariantes et covariantes

5. Opérations dans les bases

5.1. Méthode d'orthogonalisaiton de Schmidt

5.2. Changements de bases

5.3. Bases réciproques

6. Tenseurs Euclidiens

6.1. Tenseur fondamental

6.2. Produit tensoriel de deux vecteurs

6.3. Espaces tensoriels

6.4. Combinaisons linéaires de tenseurs

6.5. Contraction des indices

7. Tenseurs particuliers

7.1. Tenseur symétrique

7.2. Tenseur antisymétrique

7.3. Tenseur fondamental

8. Coordonnées curvilignes

8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques

8.2. Repère naturel en coordonnées polaires

8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques

9. Symboles de Christoffel

10. Théorème de Ricci

10.1. Identité de Ricci

11. Tenseur de Riemann-Christoffel

11.1. Première identité de Bianchi

12. Tenseur de Ricci

13. Tenseur d'Einstein

Les notions classiques de système de coordonnées peuvent être généralisées à des espaces ponctuels (voir le chapitre traitant des Principes) à n dimensions. Nous appelons "système de coordonnées" dans (espace ponctuel à n dimensions donc), tout mode de définition d'un point M dans le système considéré.

Pour un système donné de coordonnées (cartésiennes, sphériques, cylindriques, polaires...), nous appelons "ligne coordonnée" le "lieu" des points M lorsqu'une seule coordonnée varie, les autres étant égales à des constantes.

Etudions tout d'abord la généralisation d'un système de coordonnées relatives à un repère fixe (nous conseillons vivement au lecteur d'avoir lu au préalable la partie traitant des systèmes de coordonnées dans le chapitre de Calcul Vectoriel et la partie traitant du formalisme lagrangien dans le chapitre Principes).

Considérons un espace ponctuel et un repère de cet espace. Soit les coordonnées rectilignes d'un point M de par rapport à ce repère. Un système de coordonnées quelconque , , est obtenu en se donnant n fonctions arbitraires des paramètres , telles que:

(14.217)

Nous supposerons par la suite que les n fonctions satisfont aux trois propriétés suivantes:

P1. Elles sont de classe supérieur ou égal à (dérivables au moins deux fois pour les besoins de la physique). Cette hypothèse implique, en tout point où elle est satisfaite, que nous avons la permutabilité des dérivations (par rapport aux deux dérivations):

(14.218)

P2. Ces fonctions sont telles que nous pouvons résoudre le système des n équations de changement de système de coordonnées par rapport aux variables et les exprimer en fonction des , soit:

(14.219)

toujours avec .

P3. Lorsque les variables varient dans un domaine , les variables varient dans un domaine . Le jacobien des fonctions , défini par:

equation (14.220)

sera supposé différent de zéro dans le domaine ainsi que le jacobien des fonctions qui est l'inverse du jacobien . Si les jacobiens existent, ils sont non nuls comme conséquence en première lieu de la deuxième propriété ci-dessus et implicitement de la première.

Si nous fixons paramètres en faisant varier un seul paramètre, par exemple, nous obtenons les coordonnées d'un ensemble de points M de qui constituent une "ligne coordonnée".

En général, les lignes coordonnées ne sont pas des droites mais des courbes; ces coordonnées sont appelées pour cette raison des "coordonnées curvilignes". En un point M de se croisent d'ailleurs n lignes coordonnées.

Nous démontrons en mécanique analytique, lors de l'étude des espaces ponctuels, que les dérivées et les différentielles d'un vecteur de sont indépendantes du point O d'un repère donné. Si est rapporté à un système de coordonnées curvilignes , nous écrivons :

(14.221)

Exemple:

Un exemple de coordonnées curvilignes , où chaque est une fonction uniforme des coordonnées rectilignes et de plus des fonctions continues du point courant M, est celui des coordonnées sphériques où nous avons (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(14.222)

Rappelons aussi que lors de notre étude du système de coordonnées sphériques en calcul vectoriel nous avions obtenu :

(14.223)

Ainsi, nous voyons bien cette dépendance sous l'expression des relations suivantes :

equation (14.224)

Dans un espace non euclidien, nous ne pouvons définir une base valable dans tout l'espace. Ainsi, nous construisons une base en chaque point séparément et pour cela, nous utilisons bien les coordonnées curvilignes telles qu'en chaque point M, les vecteurs de base sont tangents à la ligne de coordonnées correspondante via la relation donnée plus haut :

(14.225)

Soient maintenant les coordonnées curvilignes du point M par rapport à une repère cartésien . Dans ce repère, nous avons bien évidemment :

(14.226)

où les coordonnées cartésiennes sont des fonctions .

Le vecteur a donc pour expression:

(14.227)

A partir des composantes du vecteur , nous pouvons former un déterminant qui est précisément le jacobien des fonctions que nous avions défini précédemment. Puisque ce déterminant est différent de zéro (du moins imposé tel quel), il en résulte que les n vecteurs sont linéairement indépendants.

Ces n vecteurs, définis par la relation :

(14.228)

sont appelées la "base naturelle" au point M de l'espace vectoriel . Il sont colinéaires aux tangentes des n lignes coordonnées qui se coupent au point M où ils sont définis.

Nous n'insisterons pas sur le fait évident qu'à tout système de coordonnées curvilignes sont associées des repères naturels dont les bases sont exprimées par ses mêmes coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Exemple:

En coordonnées sphériques, les vecteurs de la base naturelle sont ceux que nous avons obtenus lors de notre étude du système de coordonnées sphériques dans le chapitre de Calcul Vectoriel et qui sont orthogonaux mais non orthonormés.

Associons au point M de un repère formé par le point M et par les vecteurs de la base naturelle. Ce repère est appelé le "repère naturel" en M du système de coordonnées . Il sera noté:

ou (14.229)

La différentielle du vecteur s'exprime alors sous la forme:

(14.230)

Les quantités constituent les composantes contravariantes du vecteur dans le repère naturel du système de coordonnées .

Considérons maintenant deux systèmes quelconques de coordonnées curvilignes et , liées entre elles par les relations:

(14.231)

où les fonctions sont supposées plusieurs fois continument dérivables par rapport aux et de même pour les fonctions par rapport aux coordonnées . Lorsque nous passons d'un système de coordonnées à un autre, nous disons que nous effectuons un "changement de coordonnées curvilignes".

Nous avons vu en relativité générale que le carré de la distance entre deux points M et M' infiniment proches est donné par la relation:

(14.232)

où les sont les composantes du vecteur , rapportées à un repère fixe d'un espace ponctuel . Lorsque cet espace est rapporté à un système de coordonnées curvilignes , nous avons vu que la relation:

(14.233)

montre que le vecteur a pour composantes contravariantes les quantités par rapport au repère naturel . Le carré de la distance s'écrit alors dans le repère naturel:

(14.234)

où les quantités sont les composantes du tenseur fondamental ou du tenseur métrique définies à l'aide d'une base naturelle. L'expression précédente s'appelle "l'élément linéaire de l'espace ponctuel" ou encore la "métrique" de cet espace.

Les vecteurs du repère naturel varient en général d'un point un autre. C'est le cas, par exemple, des coordonnées sphériques dont les quantités (nous le démontrerons de suite après) sont variables !!

Une courbe de peut être définie par la donnée des coordonnées curvilignes du lieu des points en fonction d'un paramètre . La distance élémentaire ds sur cette courbe s'écrit alors:

equation (14.235)

REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES

Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace ponctuel de la géométrie ordinaire, en coordonnées sphériques. Ecrivons l'expression des vecteurs dans un repère cartésien fixe qui sont par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour plus de détails) :

(14.236)

Les vecteurs des la base naturelle étant donnés par:

equation (14.237)

Nous avons ainsi :

(14.238)

La dérivée de par rapport à donne le vecteur :

(14.239)

La dérivée par rapport à donne le vecteur :

(14.240)

Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que nous le vérifions aisément en effectuant les produits scalaires . Lorsqu'il en est ainsi, nous disons que les coordonnées sont des "coordonnées curvilignes orthogonales".

Ces vecteurs ne sont cependant pas tous normés, puisque nous avons:

(14.241)

Le repère naturel, en coordonnées sphériques, est donc formé par des vecteurs variables en direction en en module en chaque point de M. Les quantités constituent un exemple de tenseur métrique attaché à chacun des points M de l'espace .

L'élément linéaire du plan est donné par (les détails des calculs peuvent êtres trouvés dans le chapitre de Relativité Générale):

(14.242)

REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES POLAIRES

Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace ponctuel de la géométrie ordinaire, en coordonnées polaires. Ecrivons l'expression des vecteurs dans un repère fixe cartésien qui sont par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour plus de détails):

(14.243)

Les vecteurs des la base naturelle étant donnés par:

equation (14.244)

Nous avons:

(14.245)

La dérivée de par rapport à donne le vecteur :

(14.246)

Ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que nous le vérifions aisément en effectuant les produits scalaires .

Nous avons:

(14.247)

L'élément linéaire du plan est alors donné par (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

(14.248)

REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES

Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace ponctuel de la géométrie ordinaire, en coordonnées cylindriques. Ecrivons l'expression des vecteurs dans un repère fixe cartésien qui sont par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour plus de détails):