PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES



COURS SUR LE CALCUL SPINORIEL

1. Spineur unitaire

2. Propriétés géométriques

2.1. Symétries planes

2.2. Rotations

2.3. Propriétés des matrices de Pauli

Nous allons étudier les transformations des vecteurs de equation associés à un spineur afin d'en déduire les propriétés correspondantes de transformation du spineur. Les rotations dans l'espace pouvant toujours s'exprimer sous forme du produit de deux symétries planes (faire dans la tête l'expérience imaginaire), nous commençons par l'étude de ces dernières.

SYMÉTRIES PLANES

Considérons dans un premier temps la symétrie plane d'un vecteur :

Lors d'une symétrie par rapport à un plan P, un vecteur quelconque equation se transforme en un vecteur equation. Déterminons une matrice S qui représente cette symétrie par rapport à ce plan. Soit equation un vecteur unitaire normal au plan P et soit H le pied de la perpendiculaire abaissée d'un point M de l'espace sur le plan P.

equation
  (15.28)

Soit M' le point symétrique de M par rapport à P, nous avons :

equation   (15.29)

Soient equation les composantes cartésiennes de equation et equation les composantes respectives des vecteurs equation, la relation précédente nous donne les relations linéaires :

equation   (15.30)

La matrice S qui fait passer du vecteur equation au vecteur equation a donc pour expression :

equation   (15.31)

Gardons en mémoire ce résultat et considérons à présent deux vecteurs equation, orthogonaux entre eux et unitaires, définissant comme nous l'avons vu un spineur unitaire equation. Une symétrie par rapport à un plan P transforme les vecteurs equation en vecteurs equation auxquels sont associés le spineur equation. Nous allons maintenant montrer que la transformation suivante du spineur equation en spineur equation est :

equation   (15.32)

et transforme précisément les vecteurs equation en vecteurs equation, ces vecteurs se déduisant respectivement - comme nous allons le montrer - les uns des autres par une simple symétrie plane et que la matrice equation représente bien la transformation cherchée.

La relation précédente nous donne donc :

equation   (15.33)

En tout nous avons :

equation   (15.34)

Nous en déduisons :

equation   (15.35)

Par suite du fait que equation, nous obtenons :

equation   (15.36)

Nous retombons donc bien sur la matrice de symétrie :

equation   (15.37)

Ainsi, la matrice que nous retrouverons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste:

equation   (15.38)

equation engendre donc la transformation d'un spineur equationen un spineur equation telle que les vecteurs associées equation se déduisent respectivement de equation par une symétrie plane.

ROTATIONS

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de géométrie euclidienne, il est possible faire une rotation d'un vecteur dans le plan ou dans l'espace à l'aide de matrices. De même, par extension, il est évident que la multiplication de deux rotations est une rotation (c'est de l'algèbre linéaire élémentaire - du moins nous le considérons tel quel).

Considérons dès lors, deux plans P, Q dont l'intersection engendre une droite (ligne) L et notons equationet equation des vecteurs unitaires portés par les normales respectives à ces deux plans sécantes en L :

equation
  (15.39)

Notons equation l'angle des vecteurs equation entre eux (la raison de cette notation provient de notre étude des quaternions (cf. chapitre Nombres). Soit equation le vecteur unitaire porté par la droite L résultant de l'intersection des plans P, Q et tel que :

equation   (15.40)

Explications : equation sont unitaires mais pas nécessairement perpendiculaires et nous devons quand même nous assurer que equation soit un vecteur unitaire (sa norme soit égale à l'unité donc). Dès lors, la relation ci-dessus nous assure que :

equation   (15.41)

Le produit vectoriel précédent nous donne pour les composantes de equation :

equation   (15.42)

D'autre part, le produit scalaire s'écrit :

equation   (15.43)

Remarque: Nous allons nous servir des ces deux plans comme plans de symétrie pour nos rotations

Comme nous l'avons fait remarquer précédemment, une rotation dans equation peut toujours se faire avec au plus deux symétries planes. Ainsi, une rotation peut se noter par l'application (multiplication) de deux matrices de symétrie selon les résultats obtenus plus haut :

equation   (15.44)

Développant le produit de ces deux matrices et tenant compte de relations découlant du produit vectoriel et scalaire nous obtenons :

equation    (15.45)

Ainsi, nous pouvons écrire la transformation d'un spineur equation et un spineur equation à l'aide d'une matrice de la forme :

equation   (15.46)

dont les paramètres sont appelés sont appelés "paramètres de Cayley-Klein".

La matrice equation peut être écrite sous une autre forme si nous faisons un développement limité pour des rotations infiniment petites equation (eh voilà la physique qui revient....). Ainsi, les développements de MacLaurin nous donnent :

equation   (15.47)

En utilisant seuls les termes du premier ordre, la matrice de rotation s'écrit finalement :

equation   (15.48)

Cette matrice constitue le développement limité de la matrice de rotation au voisinage de la matrice identité, cette dernière correspondant évidemment à la rotation nulle. Nous notons cette dernière également sous la forme :

equation   (15.49)

où la matrice equation est la matrice unité d'ordre deux et equation s'appelle la "matrice infinitésimale de rotation". Maintenant, si nous posons equation dans equation nous obtenons :

equation   (15.50)

Comment interpréter ce résultat ? Eh bien c'est assez simple, choisir equation, nous donne un vecteur equation colinéaire à l'axe equation de equation. Dès lors, nous pouvons très bien nous imaginer les plans générant l'axe equation qui porte equation. Comme equation (in extenso equation) est généré par les vecteurs equation perpendiculaires à equation et donc à equation, alors l'angle equation (ou sa variation) représente une variation de la direction des plans normaux à equation qui par symétrie servent à construire la rotation (rappelons que equation ne sont pas nécessairement orthogonaux entre eux). Donc par extension, avoir equation ne permet plus que de faire des rotations (symétries) autour de equation.

De même, une rotation autour de l'axe equationcorrespond à equation, ce qui donne :

equation   (15.51)

et de même avec equation nous avons enfin :

equation   (15.52)

Les trois matrices :

equation

equation

equation
  (15.53)

sont donc les matrices de rotation dans l'espace des spineurs à deux composantes. Les physiciens et mathématiciens disent que ces matrices constituent une représentation irréductible de dimension deux du groupe "SU(2)" ou encore appelé "groupe spécial des rotations spatiales SU(2)" (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Les matrices infinitésimales précédentes font donc apparaître de manière habile les matrices suivantes:

equation   (15.54)

Ces matrices sont appelées "matrices de Pauli" et nous les retrouverons en physique quantique ondulatoire (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) dans le cadre de notre étude de l'équation de Dirac et de la détermination de ses solutions explicites (utilisant les spineurs).

En utilisant ces matrices de Pauli, la matrice de rotation infinitésimale peut finalement s'écrire :

equation   (15.55)

Définissons un vecteur equation ayant pour composantes les matrices de Pauli :

equation   (15.56)

L'expression equation peut alors s'écrire sous forme d'une sorte de produit scalaire qui représente une somme de matrices (la flèche au-dessus du sigma est parfois omise si aucune confusion n'est possible):

equation   (15.57)

Le développement limité s'écrit alors :

equation   (15.58)

La matrice de rotation :

equation   (15.59)

peut à l'aide des matrices de Pauli s'écrire sous la forme remarquable :

equation   (15.60)

forme que nous utiliserons dans le chapitre d'Informatique Quantique pour exprimer les matrices R de manière explicite ainsi que dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste.

Ce qui s'écrit parfois:

equation   (15.61)

Ce qui peut s'écrire aussi :

equation   (15.62)

qui a donc la forme d'un quaternion de rotation d'angle equation et d'axe equation. D'où la raison d'avoir depuis le début choisi la notation de equation.

Il est clair, pour que l'analogie avec les quaternions soit plus forte, que les matrices equationde Pauli forment un ensemble de quatre matrices linéairement indépendantes ! Tel que la base canonique pour les quaternions !

Si nous notons equationalors le "produit spinoriel" est défini finalement par:

equation   (15.63)

Cette matrice constitue comme nous en avons déjà fait mention, au développement limité de la matrice de rotation au voisinage de la matrice identité, les composantes de equation étant associées à un spineur dont la rotation se fait par la double symétrie définie par deux plans dont l'intersection est définie par le vecteur equation.

Nous pouvons par ailleurs remarquer la conséquence intéressante qu'une rotation de 360° ne restore par l'objet dans sa position initiale.

Effectivement:

equation   (15.64)

Il faut donc une rotation de 720° pour faire un tour complet! Cela correspond au spin de ½. Il faut faire deux tours pour retrouver pour que l'objet réapparaisse de manière équivalente. Nous disons alors que la représentation des rotations est "bivaluée".

PROPRIÉTÉS DES MATRICES DE PAULI

Le lecteur vérifiera aisément (si ce n'est pas le cas il pourra toujours nous contacter pour que nous en rédigions les détails) les propriétés suivantes des matrices de Pauli dont certaines seront utilisées dans le chapitre de physique quantique relativiste:

P1. Unitarité:

equation   (15.65)

P2. Anticommutativité:

equation   (15.66)

pour equation et equation

Les deux dernières propriétés nous donnent :

equation   (15.67)

avec equation

P3. Cyclicité:

equation   (15.68)

P4. Commutation:

equation   (15.69)

P4. Produit vectoriel:

Soit le carré des composantes de equation en notant abusivement par "1" la matrice unitaire (nous changeons les indices afin de vous habituer aux autres notations courantes):

equation   (15.70)

Ce qui conduit à écrire que :

equation   (15.71)

Considérons maintenant les produits suivants :

equation   (15.72)

Toutes ces relations peuvent se résumer sous la forme:

equation   (15.73)

où pour rappel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) le symbole de Kronecker est défini par:

equation   (15.74)

et le tenseur d'antisymétrie par:

equation

Nous avons aussi :

equation   (15.75)

Nous retrouvons donc ici les composantes du produit vectoriel:

equation   (15.76)

Maintenant voyons une identité spinorielle qui nous sera utile dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste:

equation   (15.77)

Or:

equation   (15.78)

Donc finalement:

equation   (15.79)

P5. Nous noterons que ces matrices sont aussi hermitiennes (rappelons qu'une matrice hermitienne est une matrice transposée suivie de sa conjuguée complexe selon ce que nous avons vus dans le chapitre d'Algèbre Linéaire) tel que :

equation   (15.80)

Il s'agit donc dans le langage de la physique quantique, d'opérateur hermitiques!

Voyons maintenant quelles sont les vecteurs et valeurs propres des matrices de Pauli car ce résultat est très utile en physique quantique ainsi qu'en informatique quantique!

Rappelons que lorsqu'une transformation (application d'une matrice) agit sur un vecteur, elle modifie la direction de ce vecteur excepté pour certaines matrices particulières qui ont des valeurs propres. Dans ce cas, la direction est conservée mais pas leur longueur. Cette propriété est exploitée en mécanique quantique.

Déterminons dans un premier temps, les vecteurs et valeurs propres (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) associées à equation en utilisant la méthode la plus courante :

L'équation aux valeurs propres (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) s'écrit donc:

equation   (15.81)

Ce qui nous donne comme équation de caractéristique :

equation   (15.82)

d'où les valeurs propres equation. Ce qui nous permet de déterminer les vecteurs propres comme suit :

equation   (15.83)

Donc pour equation:

equation   (15.84)

Ce qui impose que equation. Le vecteur propre est donc :

equation   (15.85)

quelle que soit la valeur de x.

Conclusion : La direction propre du vecteur est conservée mais pas sa longueur car elle dépend de la valeur de x.

Pour equation:

equation   (15.86) 

Ce qui impose que equation et donc que le vecteur propre est :

equation   (15.87)

Les vecteurs propres précédents écrits avec le formalisme de Dirac (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) donnent pour equation :

equation   (15.88)

avec une norme de (1 puisque nous normalisons à l'unité):

equation   (15.89)   

Remarque: Dans le formalisme de Dirac, equation est la Bra et equation est le Ket.

Ceci n'étant valable que pour des composantes qui sont des nombres réels. Le vecteur propre normé a donc pour expression :

equation   (15.90)

et pour equation :

equation   (15.91)  

et:

equation   (15.92)

et le vecteur propre normé a donc pour expression:

equation   (15.93)

Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à equation en procédant de même :

Nous avons donc pour les valeurs propres :

equation   (15.94)

Les vecteurs propres se déterminant comme suit :

equation   (15.95)

et donc pourequation:

equation   (15.96)

Le vecteur propre est dès lors :

equation   (15.97)

La norme associée :

equation   (15.98)

Le vecteur propre normé a donc pour expression:

equation   (15.99)

Pour equation :

equation   (15.100)  

Le vecteur propre est dès lors :

equation   (15.101)

la norme associée :

equation   (15.102) .

Le vecteur normé a donc pour expression:

equation   (15.103)

Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à equation en procédant de même.

Nous avons alors :

equation   (15.104)

Les vecteurs propres sont alors pour equation :

equation   (15.105)

ce qui nous pose légèrement problème pour dire quoi que ce soit... la seule possibilité est de choisir equation et ainsi :

equation   (15.106)

et la norme associée :

equation   (15.107)  

Le vecteur propre normé a alors pour expression:

equation   (15.108)

et pour equation nous aurons le même choix à faire en posant cette fois-ci equation donc :

equation   (15.109)

d'où la norme associée :

equation   (15.110)

Le vecteur propre normé a donc finalement pour expression:

equation   (15.111)

Donc les vecteurs propres normés de equation se trouvent sur les directions des axes de coordonnées cartésiennes. C'est pour cette raison particulière que les vecteurs propres de equation sont notés en informatique quantique:

equation   (15.112)

et il faut savoir que l'on note alors aussi:

equation   (15.113)