CALCUL SPINORIEL



COURS SUR LE CALCUL SPINORIEL

1. Spineur unitaire

2. Propriétés géométriques

2.1. Symétries planes

2.2. Rotations

2.3. Propriétés des matrices de Pauli

Comme nous le verrons en premier en physique quantique relativiste, les spineurs jouent un rôle majeur dans la théorique quantique et en conséquence dans toute la physique contemporaine (théorique quantique des champs, modèle standard, théorie des cordes,...).

Ce fut à partir de 1927 que les physiciens Pauli, puis Dirac introduisirent les spineurs pour la représentation des fonctions d'onde (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste). Cependant, sous leur forme mathématique, les spineurs avaient été découverts par Élie Cartan dès 1913 lors de ses recherches sur les représentations des groupes en faisant suite à la théorie générale des espaces de Clifford (introduits par le mathématicien W.K. Clifford en 1876). Il montra, comme nous le verrons, que les spineurs fournissent au fait une représentation linéaire du groupe des rotations d'un espace à un nombre quelconque de dimensions. Ainsi, les spineurs sont donc étroitement liés à la géométrie mais leur présentation est souvent faite de manière abstraite sans signification géométrique intuitive. Ainsi, nous allons nous efforcer (comme toujours sur ce site) dans ce chapitre d'introduire de la manière la plus simple et intuitive possible les théories des spineurs.

Le formalisme spinoriel n'intéresse pas seulement la physique quantique et ses travaux, entre autres, de Roger Penrose ont montré que la théorie spinorielle était une approche extrêmement féconde de la théorie de la relativité générale. Bien que le plus couramment utilisée pour le traitement de la relativité générale soit le calcul tensoriel, Penrose a montré que dans le cas spécifique de l'espace à quatre dimensions et la métrique de Lorentz, le formalisme des spineurs à deux composantes est plus approprié.

La théorie des spineurs ou "géométrie spinorielle" est extrêmement vaste mais ce site ayant plus pour objectif de s'adresser aux physiciens, nous nous limiterons aux spineurs utiles en physique quantique ainsi que leurs propriétés y relatives.

Remarque: Nous conseillons vivement au lecteur d'avoir lu au préalable le sous-chapitre sur les quaternions (cf. chapitre Nombres), le sous-chapitre sur les rotations dans l'espace (cf. chapitre Géométrie Euclidienne) et enfin, si possible pour avoir un exemple pratique physique, le chapitre de physique quantique relativiste.


SPINEUR UNITAIRE

Nous allons donner ici une première définition (ou exemple) particulière simplifiée des spineurs. Ainsi, nous allons montrer qu'il est possible à partir d'un tel outil de représenter un vecteur d'un espace equation à trois composantes à l'aide d'un spineur à deux composantes. La méthode est extrêmement simple et celui qui a déjà lu la partie du chapitre de Physique Quantique Ondulatoire traitant de l'équation de Dirac ainsi que le chapitre d'Informatique Quantique y verra une analogie assez grandiose.

Considérons pour commencer la sphère suivante d'équation (cf. chapitre de Géométrique Analytique)

equation   (15.1)

Et considérons le schéma suivant:

equation
  (15.2)

Considérons-y les coordonnées (x, y, z) d'un point P de la sphère centrée en O et de rayon unité et notons N et S les points d'intersection de l'axe Oz avec la sphère.

Le point S aura par convention pour coordonnées:

equation   (15.3)

Nous obtenons une projection dite "projection stéréographique" P' du point P en traçant la droite SP qui traverse un plan équatorial xOy complexe equation au point P' de coordonnées (x', y', z').

Les triangles semblables SP'O et SPQ (avec Q étant la projection orthogonale sur l'axe Oz du point P) nous donnent les relations suivantes en appliquant simplement le théorème de Thalès:

equation   (15.4)

Remarque: Les deux dernières relations s'obtiennent par application du théorème de Thalès (cf. chapitre de Géométrie) dans le plan équatorial complexe.

Posons maintenant:

equation   (15.5)

Il vient, compte tenu de la relation précédente que :

equation   (15.6)

en prenant le module au carré (voir l'étude des nombres complexes dans le chapitres des Nombres) :

equation   (15.7)

et comme de l'équation de la sphère il découle:

equation   (15.8)

nous avons finalement :

equation   (15.9)

Mettons maintenant le nombre complexe equation sous la forme equationequation sont deux nombres complexes auxquels nous pouvons toujours imposer de vérifier la condition d'unitarité (rien ne nous l'interdit mais en physique cela nous arrange bien):

equation   (15.10)

Remarque: Les nombres complexes suivants satisfont donc la relation précédente :

equation   (15.11)

Rappelons avant de continuer que nous avons démontré lors de notre étude des nombres complexes que :

equation   (15.12)

Dès lors il vient en injectant ces deux dernières relations dans l'équation déterminée plus haut:

equation   (15.13)

d'où finalement la coordonnée verticale du point P:

equation   (15.14)

Comme nous avons :

equation   (15.15)

alors :

equation   (15.16)

tenant compte des derniers développements nous avons finalement :

equation   (15.17)

Ainsi, à tout point P situé sur la sphère de rayon unité, nous pouvons faire correspondre un couple de nombre complexes vérifiant la relation d'unitarité imposée.

Soit sous forme complète et explicite nous avons finalement:

equation   (15.18)

Cette dernière relation nous indique donc que equation est l'angle entre Oz et equation (puisque l'hypoténuse de l'angle du vecteur à une norme unitaire)  et donc par déduction equation représente l'angle entre Ox et le plan (Oz,OP):

equation
  (15.19)

 

Le couple de nombres complexes de la relation antéprécédente constitue par définition un "spineur unitaire". Ainsi, comme nous l'avons vu, un spineur unitaire peut se mettre sous la forme :

equation   (15.20)

de même un spineur quelconque peut se mettre sous la forme un peu plus générale:

equation   (15.21)

Le spin ainsi mesuré l'est essentiellement à partir d'un axe orienté OZ comme nous venons de le voir avec la figure précédente.

La projection stéréographique conduit donc à représenter certains vecteurs de l'espace euclidien equation avec des éléments d'un espace vectoriel complexe de dimension deux qui est l'espace des spineurs.

Remarque: Cette représentation n'est pas unique car les arguments de nombres complexes sont (sous forme trigonométrique) déterminés qu'à une constante près.

Le lecteur qui aura déjà étudié un peu la physique quantique ondulatoire (voir chapitre du même nom) aura certainement remarqué l'étrange similarité non innocente de la condition et des relations :

equation   (15.22)

par rapport à la condition de normalisation de Broglie (l'intégrale sur tout l'espace de la somme des produits des fonctions d'ondes complexes conjuguées sont égales à l'unité) et des développements déterminant l'équation de continuité en physique quantique ondulatoire.

Voyons maintenant pour les besoins ultérieurs, que nous pouvons trouver deux nouveaux vecteurs equation de l'espace euclidien equation, associés à un spineur unitaire equation déterminé sur la sphère unité. Ces vecteurs seront cherchés orthogonaux entre eux et de norme unité, chacun étant orthogonal au vecteur equation.

Notons equation et equation, les composantes respectives des vecteurs equation sont bien sûr liées par le produit vectoriel :

equation   (15.23)

d'où tenant compte de l'expression des composantes equation en fonction de celles du spineur associé, ainsi que du fait equation, nous obtenons :

equation   (15.24)

Ecrivant l'orthogonalité des vecteurs entre eux nous obtenons bien évidemment six équations supplémentaires. Cependant l'orientation des vecteurs equation n'étant pas fixée, il existe une certaine indéterminée sur les valeurs de leurs composantes. Choisissons des valeurs telles que :

equation   (15.25)

Prenant les quantités complexes conjuguées des relations précédentes, nous obtenons par addition les composantes de equation :

equation   (15.26)

Par soustraction, nous obtenons de même les composantes du vecteur equation :

equation   (15.27)

Nous vérifions aisément que ces valeurs redonnent bien les relations du produit vectoriel. A tout spineur unitaire equation nous pouvons donc associer trois vecteurs equation. Nous pouvons vérifier directement que les vecteurs ainsi calculés sont bien orthogonaux entre eux et de norme unité.


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