méthode RÉGULIÈRE DES PERTURBATIONS



CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

Très fréquemment en physique (de pointe), un problème mathématique ne peut pas être résolu de manière exacte. Si la solution est connue il y a parfois une telle dépendance de paramètres que la solution est difficile à utiliser en tant que tel.

Il peut être le cas, cependant, qu'un paramètre identifié, disons equation par tradition, tel que la solution est disponible est raisonnablement simple pour equation.

Le souci ensuite est de savoir comme la solution est altérée pour un equation non-nul mais petit quand même. Cette étude est le centre de la théorie des perturbations que nous utilisons par exemple dans le chapitre de relativité générale pour calculer la précession du périhélie de Mercure.

Comme la théorie dans le cadre général est trop complexe par rapport aux objectifs du site, nous nous proposons une approche par l'exemple d'abord avec une simple équation algébrique et ensuite avec ce qui nous intéresse : une E.D.

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Considérons l'équation polynômiale suivante :

equation   (10.56)

Nous savons de par notre étude du chapitre d'analyse fonctionnelle, que cette équation polynômiale admet deux racines qui sont trivialement :

equation   (10.57)

Pour equation petit, ces racines peuvent être approximées par le premier terme en développement de série de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries) :

equation   (10.58)

La question et de savoir si nous pouvons obtenir les deux relations précédentes sans à priori de connaissances sur la solution exacte de l'équation polynômiale initiale? La réponse est bien évidemment affirmative avec l'aide de la théorie des perturbations.

La technique se base en quatre étapes :

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation polynômiale est un expression du type série de Taylor en equation. Nous avons alors :

equation   (10.59)

equation sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation polynômiale :

equation   (10.60)

Comme :

equation
  (10.61)

et :

equation   (10.62)

Il vient finalement que l'équation polynômiale s'écrit :

equation   (10.63)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que :

equation   (10.64)

4. Quatrième et dernière étape, nous résolvons successivement les équations polynômiales ci-dessus pour obtenir :

equation   (10.65)

En injectant ces résultants dans la solution hypothétique :

equation   (10.66)

il est évident d'observer que nous retombons sur la solution certaine :

equation   (10.67)

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

La théorie des perturbations est aussi souvent utilisée pour résoudre un bon nombre d'équations différentielles. C'est le cas par exemple en mécanique des fluides, en relativité générale ou en physique quantique.

A nouveau, plutôt que de faire une théorie ultra abstraite et générale, voyons le concept sur un exemple tel que précédemment.

Considérons l'équation différentielle suivante :

equation   (10.68)

ou autrement écrit :

equation   (10.69)

avec les conditions aux limites equation.

La résolution exacte est relativement facile à obtenir:

D'abord nous commençons par l'équation homogène :

equation   (10.70)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général. Soit l'équation :

equation   (10.71)

Supposons que la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la forme equationK peut être un nombre complexe. Nous avons alors :

equation ou equation   (10.72)

pourvu, bien sûr, que equation. Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas général : equation. Ce qui signifie que :

equation et equation   (10.73)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la même constante :

equation   (10.74)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de l'équation homogène de y est du type :

equation   (10.75)

A, B sont bien évidemment des constantes à déterminer. Nous résolvons maintenant le polynôme caractéristique :

equation   (10.76)

Il vient immédiatement que :

equation   (10.77)

Donc :

equation   (10.78)

Maintenant une solution particulière à :

equation   (10.79)

est relativement trivialement une solution du type :

equation   (10.80)

B est bien évidemment une constante à déterminer et qui vaut simplement une fois injectée dans l'équation différentielle :

equation   (10.81)

Soit :

equation   (10.82)

D'où finalement la solution générale :

equation   (10.83)

Ensuite, avec les conditions initiales equation il est très facile de trouver A :

equation   (10.84)

et :

equation   (10.85)

Il est loisible de choisir que equation.

Donc :

equation   (10.86)

Maintenant que nous avons la solution générale, si equation est petit nous pouvons prendre le développement d'ordre 4 en série de MacLaurin de l'exponentielle (cf. chapitre de Suites Et Séries). Tel que :

equation   (10.87)

Injecté dans y cela donne :

equation   (10.88)

Maintenant que nous avons ce développement, ce que nous souhaitons montrer c'est qu'à partir d'un développement perturbatif nous pouvons retrouver le même résultat en série et ce sans aucune connaissance préalable sur la solution.

A nouveau, le développement pour cela ce fait en 4 étapes :

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation différentielle est un expression du type série de Taylor en equation. Nous avons alors :

equation   (10.89)

equation sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation différentielle dans celle-ci avec les conditions initiales et nous développons le tout.

D'abord l'équation différentielle :

equation   (10.90)

ensuite les conditions initiales :

equation   (10.91)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que :

equation   (10.92)

4. Dans la quatrième étape nous résolvons les équations différentielles listées précédemment (si vous ne voyez pas comment nous les résolvons n'hésitez pas à nous contacter!) :

equation   (10.93)

En injectant ces relations dans la solution supposée développée en série de Taylor et injectée dans l'équation différentielle :

equation   (10.94)

Nous retombons sur :

equation   (10.95)


page suivante : 5.5. Systèmes d'équations différentielles