SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES



CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

Voyons maintenant des développements qui vont aussi bien être utiles en physique quantique que dans la résolution de systèmes d'équations différentielles (et particulièrement une qui est connue en théorie du chaos!).

Avant cela, il va nous falloir introduire le concept d'exponentialisation d'une matrice:

L'ensemble des matrices equation à coefficients dans equation noté equation est un espace vectoriel pour l'addition des matrices et la multiplication par un scalaire. Nous notons I la matrice identité.

Nous admettrons qu'une suite de matrices equation convergent vers une matrice A si et seulement si les suites de coefficients des matrices equation convergent vers les coefficients correspondent de A.

exempleExemple:

Dans equation la suite de matrices:

equation   (10.96)

converge vers:

equation   (10.97)

lorsqueequation.

Siequation, nous avons vus lors de notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) que la série:

equation   (10.98)

converge et sa limite est notée equation. En fait ici il n'y a aucune difficulté à remplacer x par une matrice A puisque nous savons (nous l'avons montré lors de notre étude des nombres complexes) que tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme suivante (le corps des nombres complexes est donc isomorphe au corps des matrices réelles carrées de dimensions 2 ayant cette forme):

equation   (10.99)

et qu'un nombre complexe au carré est équivalent à mettre sa forme matricielle au carré:

equation   (10.100)

Effectivement:

equation   (10.101)

Nous définissons alors l'exponentielle d'une matrice equation comme la matrice limite de la suite:

equation   (10.102)

Si la matrice A est diagonale il est évident que son exponentielle est facile à calculer. En effet, si:

equation   (10.103)

Par suite:

equation   (10.104)

Or, il apparaît évident qu'une matrice non diagonale va être beaucoup plus compliquée à traiter! Nous allons alors utiliser la technique de diagonalisation soit une réduction des endomorphismes (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

Alors, remarquons que si equation est inversible et si equation alors:

equation   (10.105)

Ceci découle du fait que (penser au changement de base d'une application linéaire comme ce qui a été étudié dans le chapitre d'Algèbre Linéaire):

equation   (10.106)

Donc:

equation   (10.107)

Ce développement va nous permettre de ramener le calcul de l'exponentielle d'une matrice diagonalisable à la recherche de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres.

exempleExemple:

Calculons equation où:

equation   (10.108)

Les valeurs propres de A sontequation, equation et les vecteurs propres associés sont:

equation   (10.109)

Effectivement:

equation et equation   (10.110)

En posant:

equation   (10.111)

Nous avons:

equation   (10.112)

avec:

equation   (10.113)

Par conséquent:

equation   (10.114).

Maintenant, rappelons que dans le cas des nombres réels nous savons que si equation alors equation. Dans le cas des matrices nous pouvons que si equation sont deux matrices qui commutent entre-elles c'est-à-dire telles que equation. Alors equation.

La condition de commutativité vient au fait que l'addition dans l'exponentielle est elle commutative. La démonstration est donc intuitive.

Un corollaire important de cette proposition est que pour toute matriceequation, equation est inversible. En effet les matrices equation et equation commutent, par conséquent:

equation   (10.115)

Nous rappelons qu'une matrice equation à coefficients complexes est unitaire si:

equation   (10.116)

La proposition suivante nous servira par la suite.

Montrons que si A est une matrice hermitienne (dite aussi "autoadjointe") (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) alors pour tout equation, equation est unitaire.

Démonstration:

equation   (10.117)

Donc:

equation   (10.118)

C.Q.F.D.

Rappelons que cette condition pour une matrice autoadjointe est liée à la définition de groupe unitaire d'ordre n (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation différentielle linéaire ci-dessous avec comme condition initiale equation et où A est une matrice :

equation   (10.119)

la solution est donnée (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) par:

equation   (10.120)

Nous retrouvons fréquemment ce genre de systèmes d'équations différentielles en biologie (dynamique des populations), en astrophysique (étude des plasmas) ou en mécanique des fluides (théorie du chaos) ainsi que mécanique classique (systèmes couplés), en astronomie (orbites couplées), en électrotechnique, etc.

exempleExemple:

Supposons que nous ayons le système d'équations différentielles suivant:

equation   (10.121)

La matrice associée est alors:

equation   (10.122)

et son exponentielle (voir les développements faits plus haut):

equation   (10.123)

La solution générale du système est donc:

equation   (10.124)

Nous avons donc:

equation   (10.125)

Après recherche des constantes nous trouvons:

equation   (10.126)

ce qui nous donne finalement:

equation   (10.127)