SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
1. Calcul différentiel
1.2. Différentielles
2.1. Intégrale définie
2.2. Intégrale indéfinie
2.3. Intégration par changements de variable
2.3.1. Jacobien
2.4. Intégration par parties
4.1. Expression de la factorielle
4.2. Constante d'Euler-Mascheroni
5.1. Équations différentielles du premier ordre
5.2. Équations différentielles linéaires
5.3. Méthode du polynôme caractéristique
5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1
5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2
5.4. Théorie régulière des perturbations
5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques
5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles
Voyons maintenant des développements qui vont aussi bien être utiles en physique quantique que dans la résolution de systèmes d'équations différentielles (et particulièrement une qui est connue en théorie du chaos!).
Avant cela, il va nous falloir introduire le concept d'exponentialisation d'une matrice:
L'ensemble des matrices 
à coefficients
dans 
noté 
est
un espace vectoriel pour l'addition des matrices et la multiplication
par un scalaire. Nous notons I la matrice identité.
Nous admettrons qu'une suite de matrices 
convergent
vers une matrice A si et seulement si les suites de coefficients
des matrices convergent
vers les coefficients correspondent de A.
Exemple:
Dans 
la
suite de matrices:
(10.96)
converge vers:
(10.97)
lorsque
.
Si
,
nous avons vus lors de notre étude des nombres complexes (cf.
chapitre sur les Nombres) que la série:
(10.98)
converge et sa limite est notée 
.
En fait ici il n'y a aucune difficulté à remplacer x par
une matrice A puisque nous savons (nous l'avons montré lors
de notre étude des nombres complexes) que tout nombre complexe
peut s'écrire
sous la forme suivante (le corps des nombres complexes est donc
isomorphe au corps des matrices réelles carrées de
dimensions 2 ayant cette forme):
(10.99)
et qu'un nombre complexe au carré est équivalent à mettre sa forme matricielle au carré:
(10.100)
Effectivement:
(10.101)
Nous définissons alors l'exponentielle d'une matrice 
comme
la matrice limite de la suite:
(10.102)
Si la matrice A est diagonale il est évident que son exponentielle est facile à calculer. En effet, si:
(10.103)
Par suite:
(10.104)
Or, il apparaît évident qu'une matrice non diagonale va être beaucoup plus compliquée à traiter! Nous allons alors utiliser la technique de diagonalisation soit une réduction des endomorphismes (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).
Alors, remarquons que si 
est
inversible et si alors:
(10.105)
Ceci découle du fait que (penser au changement de base d'une application linéaire comme ce qui a été étudié dans le chapitre d'Algèbre Linéaire):
(10.106)
Donc:
(10.107)
Ce développement va nous permettre de ramener le calcul de l'exponentielle d'une matrice diagonalisable à la recherche de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres.
Exemple:
Calculons 
où:
(10.108)
Les valeurs propres de A sont
, 
et
les vecteurs propres associés sont:
(10.109)
Effectivement:
et 
(10.110)
En posant:
(10.111)
Nous avons:
(10.112)
avec:
(10.113)
Par conséquent:
(10.114).
Maintenant, rappelons que dans le cas des nombres réels nous
savons que si 
alors 
.
Dans le cas des matrices nous pouvons que si 
sont
deux matrices qui commutent entre-elles c'est-à-dire telles que 
.
Alors 
.
La condition de commutativité vient au fait que l'addition dans l'exponentielle est elle commutative. La démonstration est donc intuitive.
Un corollaire important de cette proposition est que pour toute
matrice, est
inversible. En effet les matrices 
et 
commutent,
par conséquent:
(10.115)
Nous rappelons qu'une matrice à coefficients
complexes est unitaire si:
(10.116)
La proposition suivante nous servira par la suite.
Montrons que si A est une matrice hermitienne (dite aussi "autoadjointe")
(cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) alors pour tout 
, 
est
unitaire.
Démonstration:
(10.117)
Donc:
(10.118)
C.Q.F.D.
Rappelons que cette condition pour une matrice autoadjointe est liée à la définition de groupe unitaire d'ordre n (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).
Une des premières applications de l'exponentielle de matrices
est la résolution des équations différentielles ordinaires. En
effet, de l'équation différentielle linéaire ci-dessous avec comme
condition initiale 
et
où A est une matrice :
(10.119)
la solution est donnée (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) par:
(10.120)
Nous retrouvons fréquemment ce genre de systèmes d'équations différentielles en biologie (dynamique des populations), en astrophysique (étude des plasmas) ou en mécanique des fluides (théorie du chaos) ainsi que mécanique classique (systèmes couplés), en astronomie (orbites couplées), en électrotechnique, etc.
Exemple:
Supposons que nous ayons le système d'équations différentielles suivant:
(10.121)
La matrice associée est alors:
(10.122)
et son exponentielle (voir les développements faits plus haut):
(10.123)
La solution générale du système est donc:
(10.124)
Nous avons donc:
(10.125)
Après recherche des constantes nous trouvons:
(10.126)
ce qui nous donne finalement:
(10.127)