PRIMITIVES USUELLES



CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

Il existe en mathématique et en physique un grand nombre de primitives ou de fonctions définies sur des intégrales que nous retrouvons assez fréquemment (mais pas exclusivement). Comme dans n'importe quel formulaire, nous vous proposons les primitives connues mais avec les démonstrations. 

Cependant, nous omettrons les primitives qui découlent déjà des dérivées que nous avons démontrées plus haut.

Sinon voici déjà une liste de quelques intégrales fréquentes (le lecteur en rencontrera de toute façon bien d'autres - développées dans les détails - lors de son parcours du site) :

1. Primitive de equation:

Par définition nous avons donc :

equation   (10.222)

Nous utilise le changement de variable equation et ainsi :

equation   (10.223)

Donc :

equation   (10.224)

2. Primitive de equation:

Par définition nous avons donc :

equation   (10.225)

Nous utilisons le changement de variable equation et :

equation   (10.226)

Donc :

equation   (10.227)

3. Primitive de equation:

Nous intégrons par parties :

equation   (10.228)

Si nous posons equation, ce qui nous donne equation, nous obtenons :

equation   (10.229)

Donc :

equation   (10.230)

4. Primitive de equation:

Nous intégrons à nouveau par parties :

equation   (10.231)

Si nous posons equation, (equation), nous obtenons :

equation   (10.232)

Donc :

equation   (10.233)

5. Primitive de equation :

Nous intégrons encore une fois par parties :

equation   (10.234)

Si nous posons equation, (equation), nous obtenons :

equation   (10.235)

Donc :

equation   (10.236)

6. Primitive de equation:

Encore une fois... nous intégrons par parties :

equation   (10.237)

Si nous posons equation, (equation), nous obtenons :

equation   (10.238)

Donc :

equation   (10.239)

7. Primitive de equation avec equation:

Une intégration par parties nous donne :

equation   (10.240)

Donc :

equation   (10.241)

Remarque: Une autre intégrale très importante avec l'exponentielle en physique est celle que nous avions démontrée lors de notre étude de la loi de Gauss-Laplace en statistiques et probabilités (détermination de la moyenne).

8. Primitive de equation:

equation   (10.242)

en intégrant par parties nous trouvons :

equation   (10.243)

Donc :

equation   (10.244)

9. Primitive de equationavec equation:

Une intégration par parties nous donne :

equation   (10.245)

Donc :

equation   (10.246)

10. Primitive de equation pour equation :

equation   (10.247)

Ainsi il vient :

equation   (10.248)

Il vient :

equation et equation   (10.249)

d'où :

equation   (10.250)

11. Primitive de equation :

Pour (equation) sachant que (voir les propriétés des logarithmes dans le chapitre d'analyse fonctionnelle) :

equation   (10.251)

nous avons en utilisant la primitive de ln(x) :

equation   (10.252)

12. Primitive de equation :

Nous avons :

equation   (10.253)

Nous utilisons le changement de variable equation et obtenons :

equation   (10.254)

Donc :

equation   (10.255)

13. Primitive de equation:

Nous avons donc :

equation   (10.256)

Nous utilisons le changement de variable equation et obtenons:

equation   (10.257)

Donc :

equation   (10.258)

14. Primitive de equation :

Nous intégrons par parties :

equation   (10.259)

Si nous posons equation, (equation) nous obtenons :

equation   (10.260)

Donc :

.equation   (10.261)

15. Primitive de equation :

Nous intégrons par parties :

equation   (10.262)

Si nous posons equation, ce qui nous donne equation, nous obtenons :

equation   (10.263)

Donc finalement :

equation   (10.264)

16. Primitive de equation :

Nous intégrons par parties :

equation   (10.265)

Si nous posons equation, ce qui nous donne equation, nous obtenons :

equation   (10.266)

Donc finalement :

equation   (10.267)

17. Primitive de equation :

Nous intégrons par parties :

equation   (10.268)

Si nous posons equation, (equation) nous obtenons :

equation   (10.269)

Donc finalement :

equation   (10.270)

18. Primitive de equationavec equation:

Posons equation. Une intégration par partie donne :

equation   (10.271)

en remplaçant equation par equation dans la dernière intégrale, nous obtenons :

equation   (10.272)

et donc :

equation   (10.273)

19. Primitive de equation avec equation :

Dans ce cas nous avons la formule de récurrence

equation   (10.274)

qui se démontre de la même façon que la relation de récurrence précédente.

20. Primitive de equation :

Sachant que equation, nous avons :

equation   (10.275)

Donc :

equation   (10.276)

21. Intégrale de equation:

Sachant que equation, nous avons :

equation   (10.277)

Donc :

equation   (10.278)

22. Primitive de equation :

En utilisant les relations trigonométriques remarquables, nous avons :

equation   (10.279)

Selon la primitive equation. Donc :

equation   (10.280)

23. Primitive de equation :

En utilisant encore une fois les relations trigonométriques remarquables, nous avons :

equation   (10.281)

Selon la primitive equation. Donc :

equation   (10.282)

24. Primitive de equation :

Nous faisons la substitution equation (equation). Sachant que :

equation   (10.283)

(cf. chapitre de Trigonométrie) nous obtenons alors :

equation et equation   (10.284)

(selon la dérivée de equation). Donc :

equation   (10.285)

et :

equation   (10.286)

25. Primitive de equation :

Sachant que equation (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons :

equation   (10.287)

Nous faisons le changement de variable equation (equation) :

equation   (10.288)

(selon la primitive de equation). Donc :

equation   (10.289)

26. Primitive de equation :

Nous faisons la substitution equation (equation). Sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie) :

equation   (10.290)

nous obtenons :

equation et equation   (10.291)

(selon la dérivée de arctan(x)). Donc :

equation   (10.292)

et :

equation   (10.293)

27. Primitive de equation:

Nous faisons à nouveau la substitution equation (comme précédemment). Nous trouvons alors:

equation   (10.294)

 et donc:

equation   (10.295)

28. Primitive de equation:

 Sachant que:

equation   (10.296)

Nous avons alors:

equation   (10.297)

En faisant le changement de variable:

equation avec equation   (10.298)

nous obtenons :

equation   (10.299)  

D'où:

equation  (10.300)

29. Primitive de equation

Par le même raisonnement que précédemment en utilisant le cosinus nous obtenons:

equation   (10.301)

30. Primitive de equation avec equation :

Posons :

equation   (10.302)

Une intégration par partie donne (nous avons démontré lors des dérivées usuelles que la primitive du sinus hyperbolique était le cosinus hyperbolique):

equation   (10.303)

en remplaçant equation par equation dans la dernière intégrale, nous obtenons:

equation   (10.304)

et donc :

equation   (10.305)

Ainsi:

equation   (10.306)

31. Primitive de equation avec equation :

Dans ce cas nous avons aussi la relation récurrence:

equation   (10.307)

qui se démontre de la même façon que ci-dessus. Ainsi:

equation   (10.308)

32. Primitive de equation:

Sachant que (démontré lors des dérivées usuelles) :

equation   (10.309)

nous avons:

equation   (10.310)

Donc:

equation   (10.311)

33. Primitive de equation:

Sachant que (démontré lors des dérivées usuelles):

equation   (10.312)

nous avons:

equation   (10.313)

Donc :

equation   (10.314)

34. Primitive de equation:

Nous avons en utilisant la primitive de equation:

equation   (10.315)

Donc :

equation   (10.316) .

35. Primitive de equation:

Nous avons en utilisant la primitive de equation:

equation   (10.317)

Donc:

equation

36. Primitive de equation:

Nous faisons la substitution:

equation avec equation   (10.318)

Nous obtenons en utilisant la dérivée arctanh(x):

equation   (10.319)

et:

equation  (10.320)

37. Primitive de equation:

Nous faisons la substitution:

equation avec equation   (10.321)

Nous obtenons en utilisant la dérivée arctan(x):

equation   (10.322)

et donc:

equation   (10.323)

38. Primitive de equation:

Nous faisons la substitution :

equation avec equation   (10.324)

Nous obtenons:

equation   (10.325)

Nous obtenons donc la primitive :

equation   (10.326)

39. Primitive de equation:

Nous faisons la substitution :

equation avec equation   (10.327)

Nous obtenons :

equation   (10.328)

Nous obtenons donc la primitive:

equation   (10.329)

40. Primitive de equation:

 Nous faisons la substitution :

equation avec equation   (10.330)

Nous obtenons:

equation   (10.331)

Or :

equation   (10.332)

D'où:

equation   (10.333)

Donc:

equation  (10.334)

41. Primitive de equation:

Nous faisons la substitution habituelle:

equation avec equation   (10.335)

Nous obtenons:

equation   (10.336)

Or :

equation   (10.337)

D'où:

equation   (10.338)

Donc:

equation  (10.339)

42. Primitive de equationavec equation:

 Une première intégration par parties donne:

equation   (10.340)

Une deuxième intégration par parties donne:

equation   (10.341)

d'où l'égalité :

equation   (10.342)

Ainsi en redistribuant la relation précédente:

equation   (10.343)

43. Primitive de equation avec equation :

Un raisonnement analogue à celui d'avant montre que :

equation   (10.344)

44. Primitive de equation avec equation :

Une intégration par parties nous donne:

equation   (10.345)

45. Primitive de equation avec equation :

Une intégration par parties nous donne:

equation   (10.346)

46. Primitive de equation avec equation :

Nous avons la relation suivante:

equation   (10.347)

Par suite:

equation   (10.348)

Ainsi:

equation   (10.349)

47. Primitive de equation avec equation:

Nous avons en utilisant le résultat précédent:

equation   (10.350)

Donc:

equation   (10.351)

48. Primitive de equation avec equation:

En faisant le changement de variable :

equation avec equation   (10.352)

Nous obtenons en utilisant la dérivée de arctan(x) :

equation   (10.353)

49. Soit :

equation   (10.354)

avec equation. Nous avons:

equation   (10.355)

Or cette dernière intégrale se résout par parties:

equation   (10.356)

Donc:

equation   (10.357)

Que nous retrouvons plus fréquemment dans la littérature sous la forme:

equation   (10.358)

Identiquement au développement suivant, nous avons pour (le signe change):

equation   (10.359)

la relation suivante:

equation   (10.360)

Vous pourrez trouver une application de ces deux primitives dans le modèle cosmologique newtonien de l'univers dans le chapitre d'Astrophysique ainsi que dans le chapitre de Relativité Générale dans le cadre de l'étude de l'effet Shapiro!

50. Primitive de equation :

Nous avons en utilisant les primitives de equation (vu avant) et equation (vu plus haut):

equation   (10.361)

51. Primitive de equation :

Nous avons en utilisant les primitives de equation (vu avant) et equation (vu plus haut):

equation   (10.362)

52. Primitive de equation avec equation :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer equation. Remarquons que le domaine de définition de f est equation. Dans un premier temps nous allons déterminer une primitive de f sur l'intervalle equation.

Faisons le changement de variable:

equation   (10.363)

avec donc:

equation   (10.364)

où nous considérons la fonction equation avec pour réciproque la fonction equation donnée par  (cf. chapitre de Trigonométrie):

equation   (10.365)

Nous obtenons alors en utilisant la primitive de equation :

equation   (10.366)

or (cf. chapitre de Trigonométrie) comme :

equation   (10.367)

Donc:

equation   (10.368)

et en utilisant un autre résultat du chapitre de Trigonométrie:

equation   (10.369)

nous avons alors:

equation   (10.370)

étant donné que les primitives sont données à une constante près, nous pouvons écrire:

equation   (10.371)

pour equation. F est donc une primitive de equation sur equation.

53. Primitive de equation avec equation :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer equation. Remarquons que le domaine de définition de f est [-a, a].

Nous faisons la substitution:

equation   (10.372)

avec:

equation   (10.373)

Nous obtenons:

equation   (10.374)

où nous avons utilisé la primitive de equation avec equation démontrée plus haut. Or nous avons:

equation   (10.375)

Donc:

equation   (10.376)

et:

equation   (10.377)

54. Primitive de equation avec equation :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer equation.

Faisons le changement de variable:

equation   (10.378)

avec donc:

equation   (10.379)

Nous obtenons:

equation   (10.380)

en ayant utilisé la primitive de equation démontrée plus haut.

Ainsi:

equation   (10.381)

Mais comme nous avons vu dans le chapitre de Trigonométrie:

equation   (10.382)  

et:

equation   (10.383)

Donc nous avons finalement:

equation  (10.384)

où le ln(a) a encore une fois été omis car les primitives sont données à une constante près.

55. Primitive de equation avec equation :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer equation.

Nous faisons la substitution:

equation   (10.385)

avec:

equation   (10.386)

Nous obtenons:

equation   (10.387)

56. Primitive de equation avec equation :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer equation.

Faisons le changement de variable:

equation  (10.388)

avec :

equation   (10.389)

Nous obtenons de la même manière que pour les intégrales usuelles précédentes:

equation   (10.390)

et sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie):

equation   (10.391)

Nous obtenons alors au final la primitive importante suivante:

equation   (10.392)

où le ln(a) a encore une fois été omis car les primitives sont données à une constante près!

En procédante de même, mais en utilisant le cosinus hyperbolique au lieu du sinus hyperbolique, nous avons bien évidemment:

equation   (10.393)

Nous réutiliserons ces deux dernières relations dans des cas pratiques importants des chapitres de Mécanique Analytique, Génie Civil (où la constante a valant 1, ln(a) est de toute façon nul!) et de Relativité Générale (où a sera non nul et donc il ne sera pas possible d'omettre la constante ln(a)).


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