MÉTHODE DU POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE



CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

La résolution des équations différentielles simples (à coefficients constants et sans seconde membre la plupart du temps...) utilise une technique faisant appel à un polynôme caractéristique de l'équation différentielle dont nous verrons les détails dans les développements à suivre sur quelques cas particuliers courants en physique.

C'est une méthode relativement simple à mettre en place lorsque nous cherchons les solutions homogènes de l'équation sans second membre (ESSM). Dans le cas contraire, celui de la présence d'un seconde membre, nous additionnons les solutions de l'équation homogènes aux solutions particulières.

RÉSOLUTION  L'E.H. DE L'E.D.L. A COEFFICIENTS CONSTANTS D'ORDRE 1

Considérons l'E.D.L. à coefficient constant suivante:

equation    (10.16)

Nous écrivons son équation homogène associée:

equation   (10.17)

Ce qui peut s'écrire:

equation   (10.18)

d'où :

equation   (10.19)

Il y a derrière cette solution homogène une infinité de solutions : à chaque valeur donnée à C correspond une solution.

Il faut encore à cette solution homogène ajouter la solution particulière equation et nous disposons pour cela d'une collection de recettes, qui dépendent du type de la fonction f(x) du second membre de l'équation. Nous les verrons au cas par cas dans les différents chapitres de Physique.

RÉSOLUTION  L'E.H. DE L'E.D.L. A COEFFICIENTS CONSTANTS D'ORDRE 2

Considérons l'E.D.L. à coefficient constant suivante:

equation    (10.20)

Nous écrivons son équation homogène associée:

equation   (10.21)

dans laquelle la fonction second membre est nulle. Nous pouvons immédiatement entrevoir une solution du type (en s'inspirant de la forme des solutions des E.D. du 1er ordre):

equation   (10.22)

equation est une constante.

Ce qui nous donne alors:

equation   (10.23)

Ce que nous pouvons simplifier en:

equation   (10.24)

Si notre hypothèse de départ est bonne, nous n'avons qu'à résoudre en K cette "équation caractéristique" (ECAR) ou "polynôme caractéristique" de l'équation homogène pour trouver la solution homogène:

equation   (10.25)

dont les solutions dépendent du signe du discriminant du polynôme caractéristique :

equation   (10.26)

- Si le discriminant est strictement positif, soit equation:

Alors nous savons que le polynôme caractéristique possède deux racines distinctes et nous avons alors:

equation   (10.27)

equation et equation. Nous disons alors que la solution est "retardée" ou "avancée" selon les valeurs de ces constantes. Mais l'essentiel est de remarque que si equation est solution, alors equation est toujours solution!

Nous parlons alors de "solution générale de l'équation homogène". Il y a derrière ce résultat une infinité de solutions : à chaque valeur donnée aux constantes A, B correspond une solution.

Les physiciens écrivent aussi parfois cela sous une forme particulière en posant d'abord:

equation   (10.28)

avec donc:

equation   (10.29)

Et en utilisant les fonctions de trigonométrie hyperbolique (cf. chapitre de Trigonométrie):

equation   (10.30)

d'où finalement la possibilité d'écrire la solution homogène sous la forme (lorsque nous omettons l'avance ou le retard equation) :

equation   (10.31)

Par ailleurs, montrons que les solutions de l'ESSM forment un espace vectoriel de dimension 2 (correspond donc à l'ordre de notre E.D.)!

En effet:

- La fonction zéro: equation est solution de l'ESSM (ça c'est inutile à démontrer... évident!).

- La somme ou soustraction des solutions reste solution (ça nous l'avons déjà démontré plus haut)

- Les éléments de la base de l'espace vectoriel (les solutions de l'ESSM) sont linéairement indépendants (ça c'est intéressant car nous en aurons besoin!).

Posons:

equation   (10.32)

Alors:

equation   (10.33)

Donc l'équation différentielle à coefficients constants :

equation   (10.34)

s'écrit alors:

equation   (10.35)

Donc nous avons bien une structure d'espace vectoriel.

Rappelons que inversement deux fonction sont linéaire dépendantes si:

equation   (10.36)

- Si le discriminant est nul, soit equation:

L'équation caractéristique possède une racine double réelle K.

En allant un peu vite nous dirons alors:

equation   (10.37)

et que c'est fini... mais au fait ce serait oublié que la base vectorielle doit être formée de deux solutions indépendantes!

Donc la deuxième solution est probablement de la forme:

equation   (10.38)

Alors:

equation   (10.39)

Si nous l'injectons dans l'ESSM:

equation   (10.40)

alors:

equation   (10.41)

Or :

equation   (10.42)

Donc:

equation   (10.43)

Donc finalement:

equation   (10.44)

Ce qui donne pour la solution générale de l'ESSM:

equation   (10.45)

- Si le discriminant est nul, soit equation:

L'équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées (cf. chapitre d'Algèbre):

equation   (10.46)

Dès lors:

equation   (10.47)

Or, si nous cherchons plutôt des solutions réelles, nous pouvons toujours poser A et B égaux tels que:

equation   (10.48)

Et si nous posons que le retard, ou l'avance est nulle (equation), alors nous retrouvons la relation disponible dans la plupart des livres:

equation   (10.49)

A' et B' sont donc deux constantes réelles quelconques. Il existe une autre forme importante à cette dernière relation (souvent utilisée en électronique par exemple). Effectivement, Il est possible, pour tout A' et B' réels, de trouver C' et equation réels tels que l'égalité suivante est vérifiée:

equation   (10.50)

Nous posons:

equation   (10.51)

alors:

equation   (10.52)

Il est alors possible de trouver equation tel que :

equation  et   equation   (10.53)

La quantité de départ s'écrit ainsi:

equation   (10.54)

Finalement:

equation   (10.55)


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