FONCTION GAMMA D'EULER



CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

Nous définissons la fonction Gamma d'Euler (intégrale Eulérienne de deuxième espèce) par l'intégrale suivante:

equation   (10.401)

avec x appartenant à l'ensemble des nombres complexes dont la partie réelle est positive et non nulle (donc les réels strictement positifs sont inclus dans le domaine de définition aussi...)! Effectivement, si nous prenons des complexes avec une partie réelle nulle ou négative, l'intégrale diverge et est alors non définie!

Remarque: Nous avons déjà rencontré cette intégrale et certaines de ses propriétés (qui vont être démontrées ici) lors de notre étude des fonctions de distribution Bêta, Gamma, Khi-deux, Student et Fisher en statistiques (cf. chapitre de Statistiques). Nous utiliserons également cette intégrale en maintenance (cf. chapitre de Techniques De Gestion), en théorie des cordes (cf. chapitre de Théorie Des Cordes) et dans d'autres domaines de l'ingénierie (voir la section correspondante).

Voici un tracé graphique du module de la fonction Gamma d'Euler pour x parcourant un intervalle des nombres réels (attention dans Maple à bien écrire GAMMA en majuscules!!!):

>with(plots):
> plot(GAMMA(x),x=-Pi..Pi,y=-5..5);

equation
  (10.402)

et la même fonction tracée avec Maple mais dans le plan complexe cette fois-ci et toujours avec en ordonnée le module de la fonction Gamma d'Euler:

>with(plots):
>plot3d(abs(GAMMA(x+y*I)),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,view=0..5, grid=[30,30],orientation=[-120,45],axes=frame,style=patchcontour);

equation
  (10.403)

Cette fonction est intéressante si nous imposons que la variable x appartienne aux entiers positifs et que nous l'écrivons sous la forme suivante :

equation   (10.404)

Intégrons par partie cette dernière fonction:

equation   (10.405)

Comme la fonction exponentielle décroît beaucoup plus vite que equation nous avons alors:

equation   (10.406)

Dans la littérature, nous retrouvons fréquemment les notations suivantes (qui portent alors à confusion) :

equation   (10.407)

Ce qui nous amène à récrire le résultat sous une forme plus classique :

equation   (10.408)

De la relation equation, il vient par récurrence :

equation   (10.409)

Or :

equation   (10.410)

ce qui donne :

equation   (10.411)

Donc: 

equation   (10.412)

ou autrement écrit pour equation:

equation   (10.413)

Un autre résultat intéressant de la fonction gamma d'Euler est obtenu lorsque nous remplaçons t par equation et calculons celle-ci pour equation.

D'abord, nous avons :

equation   (10.414)

ensuite :

equation   (10.415)

Or, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de statistiques lors de notre étude de loi de de Gauss-Laplace, cette dernière intégrale vaut :

equation   (10.416)

constante d'euler-MASCHERONI

Ce petit texte fait juste office de curiosité relativement à la constante d'Euler e et à presque tous les outils de calcul différentiel et intégral que nous avons vu jusqu'à maintenant. C'est un très joli exemple (presque artistique) de ce que nous pouvons faire avec les mathématiques dès que nous avons suffisamment d'outils à notre disposition.

De plus, cette constante est utile dans certaines équations différentielles où nous la retrouverons.

Nous avions vu dans le chapitre d'analyse fonctionnelle que la constante d'Euler e est définie par la limite :

  equation   (10.417)

Dans un cas plus général nous pouvons très facilement démontrer de la même façon que:

equation   (10.418)

Cela suggère évidemment:

equation   (10.419)

par changement equation de variable nous écrivons :

equation

equation   (10.420)

equation

Pour transformer cette expression nous pouvons écrire :

equation   (10.421)

Or la quantité: 

equation   (10.422)

tend vers la limite equation, appelée "constante d'Euler-Mascheroni" ou également  "constante Gamma d'Euler", lorsque n tend vers l'infini.

D'où:

equation   (10.423)

Divisons chacun des termes du produit equation par l'entier correspondant pris dans n!, nous obtenons donc:

equation   (10.424)


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