ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES



CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

Définition: En mathématique, une "équation différentielle" (E.D.) est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées jusqu'à l'ordre n. "L'ordre" d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise.

Par rapport à notre objectif d'essayer de voir comment les mathématiques décrivent la réalité, les équations différentielles remportent un franc succès, mais sont également la source de bien des soucis. D'abord des difficultés de modélisation (voir par exemple le système d'équation différentielles de la relativité générale...), des difficultés de résolution (il n'existe pas de méthode générale!), puis des difficultés proprement mathématiques, enfin des difficultés liées au fait que certaines équations différentielles ne sont pas stables par nature et donnent des solutions chaotiques (voir le chapitre de dynamique des populations pour des exemples simples flagrants!).

Remarque: Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un immense champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées

L'équation différentielle d'ordre n la plus générale peut toujours s'écrire sous la forme :

equation   (10.1)

Nous ne considérons sur ce site que le cas où x et y sont à valeur dans equation. Une solution à une telle E.D. sur l'intervalle equation est une fonction equation (une fonction equation qui est n fois continûment dérivable) telle que pour tout equation, nous ayons :

equation   (10.2)

Remarques:

R1. Pour des raisons qui seront développés par la suite, nous disons aussi "intégrer l'E.D." au lieu de "trouver une solution à l'E.D.".

R2. Etant donné que tout le site internet est bourré d'exemples d'équations différentielles et de méthodes de résolutions dans les chapitres sur la mécanique, la physique atomique, la cosmologie, l'économétrie, les suites et séries, etc., nous ne ferons pas d'exemples ici et nous intéresserons donc qu'à l'aspect théorique minimal.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE

Une équation différentielle du 1er ordre est donc une E.D. qui ne fait intervenir que la première dérivée y'.

Définition: Une équation différentielle du 1er ordre est dite "E.D. d'ordre 1 à variables séparées" si elle peut s'écrire sous la forme :

equation   (10.3)

Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement. En effet, nous écrivons :

equation   (10.4)

Puis symboliquement :

equation   (10.5)

Remarque: Nous écrivons ici explicitement la constante d'intégration arbitraire equation (qui est implicitement présente dans les intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier!

Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives F et G de f et de g, et ensuite d'exprimer y en terme de x (et de C) :

equation   (10.6)

La constante d'intégration est fixée lorsqu'on demande que pour un equation donnée, nous ayons une valeur donnée de equation. Nous parlons alors de "problème aux valeurs initiales".

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Définition: Une équation différentielle d'ordre n est dite "E.D. linéaire" (E.D.L.) si et seulement si elle est de la forme :

equation   (10.7)

Avec :

equation   (10.8)

Voyons maintenant une propriété qui peut sembler négligeable du premier coup d'oeil qui va prendre de l'importance plus loin!

Nous allons montrer que L est une application linéaire :

equation   (10.9)

Et pour tout equation :

equation   (10.10)

Définition: L'équation différentielle (c'est la plus courante en physique) :

equation   (10.11)

s'appelle "équation homogène" (E.H.) ou "équation sans second membre" (ESSM) associée à :

equation   (10.12)

Nous allons maintenant démontrer une propriété importantes des E.H. : l'ensemble equation des solutions de E.H. est le noyau de l'application linéaire L (ce qui rappelons-le signifie : equation) et l'ensemble {S} des solutions à equation est donné par :

equation avec equation   (10.13)

c'est-à-dire que les solutions de la forme:

equation   (10.14)

equation est une "solution particulière" de equation et equation  la "solution homogène", parcourent toutes les solutions de l'E.D.

Démonstration:

La première affirmation sera supposée évidente.

En ce qui concerne la 2ème partie, toute fonction de la forme equation est solution de equation.

En effet c'est trivial et cela découle de la définition du concept de noyau (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) :

equation   (10.15)

equationC.Q.F.D.

Ce qu'il est important aussi de comprendre avec les E.D. linéaires avec second membre, c'est que si nous trouvons des solutions à L(y) avec un second membre donné et des solutions à la même E.D. avec un autre second membre (différent!), alors la somme de toutes ces solutions, sera solution de l'E.D. avec la somme des seconds membres!!!

Il existe de nombreuses manières de résoudre les équations différentielles linéaires ou non linéaires de manière exacte ou approchée. Citons les quelques méthodes que nous analyserons plus loin par l'exemple (mais qui se trouvent déjà de nombreuses fois dans le chapitres de physique) :

- La méthode du polynôme caractéristique (voir plus bas)

- La méthode des perturbations (voir plus bas)

La méthode de variation de la constante ne sera pas présentée car basée sur une hypothèse empirique elle est dangereuse d'usage en physique!


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