CALCUL INTéGRAL



CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

Nous allons aborder ici les principes élémentaires et de base du calcul intégral. La suite (avec plus de rigueur) viendra en fonction du temps qui est la disposition des responsables du site.

INTéGRALE DÉFINIE

Une valeur approchée de l'aire sous une courbe peut être obtenue par un découpage en n bandes rectangulaires verticales de même largeur. En particulier on peut réaliser un encadrement de cette aire à l'aide d'une somme majorante equation et d'une somme minorante equation pour un découpage donné.

equation
  (10.153)

Supposons que le nombre n de bandes tende vers l'infini. Comme les bandes sont de même largeur, la largeur de chaque bande tend vers 0.

Si les sommes equation et equation ont toutes deux une limite lorsque, le nombre n de bandes, tend vers l'infini, alors l'aire A sous la courbe est comprise entre ces deux limites.

Nous avons :

equation   (10.154)

Si ces deux limites sont égales, leur valeur est celle de l'aire sous la courbe.

D'où une première définition de l'intégrale définie ou dite "intégrale de Riemann":

Soit un intervalle [a, b], divisé en n parties égales, soit f une fonction continue sur l'intervalle [a, b], soit equation, la somme algébrique minorante et soit equation, la somme algébrique majorante. Nous appelons "intégrale définie" de f, depuis a jusqu'à b, notée :

equation   (10.155)

le nombre A tel que :

equation   (10.156)

pourvu que cette limite existe. Si cette limite existe, alors nous disons que f est "intégrable" sur [a, b] et l'intégrale définie existe.

Intuitivement, il est évident que lorsque equation, nous étendons la définition ainsi :

equation   (10.157)

Remarques:

R1. Pour calculer l'aire majorante et l'aire minorante, il n'est pas nécessaire que la largeur des sous-intervalles du découpage soit la même partout.

R2. Le fait de chercher cette limite s'appelle "calculer l'intégrale".

R3. Les nombres a et b sont appelés les "bornes d'intégration", a est la "borne inférieure", b est la "borne supérieure".

R4. D'autres lettres que x peuvent être employées dans la notation de l'intégrale définie. Ainsi si f est intégrable sur [a, b], alors equation etc. C'est la raison pour laquelle la variable x de la définition est dite "variable muette".

R5. Comme nous le verrons plus loin, il est essentiel de ne pas confondre "intégrale définie" et "intégrale indéfinie". Ainsi, une intégrale indéfinie, notée equation est une fonction, ou, plus précisément, une famille de fonctions appelées aussi "primitives de f" (voir plus bas) alors qu'une intégrale définie, notée equation est une constante.

INTéGRALE INDÉFINIE

Nous avons vu précédemment lors de notre études des dérivées, le problème suivant : étant donnée une fonction F(x), trouver sa dérivée, c'est-à-dire la fonction:

equation   (10.158)

Définition: Nous disons que la fonction F(x) est une "primitive" ou "intégrale indéfinie" de la fonction f(x) sur le segment [a, b], si en tout point de ce segment nous avons l'égalité equation.

Une autre manière de voire le concept d'intégrale indéfinie est de passer par le théorème fondamental du calcul intégral (et différentiel) appelé aussi parfois "théorème fondamental de l'analyse" qui s'énonce ainsi :

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b].

P1. Si A est la fonction définie par equation pour tout X dans [a, b], alors A est la primitive de f sur [a, b] qui s'annule en a.

P2. Si F est une primitive de f sur [a, b], alors equation.

Démonstration:

Soit la fonction :

equation   (10.159)

Si f est positive et equation (la démonstration dans le cas où equation est proposée similaire) et comme equation, nous pouvons nous représenter A(X) comme l'aire sous la courbe de f depuis equation jusqu'à equation.

equation
  (10.160)

Pour démontrer que A est une primitive de f , nous allons prouver que equation. Selon la définition de la dérivée :

equation   (10.161)

Etudions ce quotient: equationest représentée par l'aire de la bande de largeur h, prise en sandwich entre deux rectangles de largeur h.

Soit M le maximum de f sur l'intervalle equation et m le minimum de f sur ce même intervalle. Les aires respectives des deux rectangles sont Mh et mh.

Nous avons alors la double inégalité suivante :

equation   (10.162)

Comme h est positif, on peut diviser par h sans changer le sens des inégalités :

equation   (10.163)

Lorsque equation et si f est une fonction continue, alors M et m ont pour limite f(X) , et le rapport:

equation   (10.164)

qui est compris entre m et M, a bien pour limite f(X).

Comme equation pour tout X, ceci nous montre que la dérivée de la fonction aire est f. Ainsi A est une primitive de f. Comme equation, A est bien la primitive de f qui s'annule en a.

equationC.Q.F.D.

Avant de commencer la démonstration de la deuxième propriété du théorème fondamental, donnons et démontrons le théorème suivant qui va nous être indispensable : Si equation et equation sont deux primitives de la fonction f(x) sur le segment [a, b], leur différence est une constante (ce théorème est très important en physique pour ce qui est de l'étude de ce que nous appelons les "conditions initiales").

Démonstration:

Nous avons en vertu de la définition de la primitive :

equation   (10.165)

pour equation.

Posons :

equation   (10.166)

Nous pouvons écrire :

equation   (10.167)

Il vient donc de ce que nous avons vu pendant notre étude des dérivées que equation.

Nous avons alors:

equation   (10.168)

equationC.Q.F.D.

Il résulte de ce théorème que si nous connaissons une primitive quelconque F(x) de la fonction f(x), toute autre primitive de cette fonction sera de la forme :

equation   (10.169)

Donc finalement, nous appelons "intégrale indéfinie" de la fonction f(x) et nous notons :

equation   (10.170)

toute expression de la forme equation où F(x) est une primitive de f(x). Ainsi, par convention d'écriture :

equation   (10.171)

si et seulement si equation.

Dans ce contexte, f(x) est également appelée "fonction à intégrer" et f(x)dx, "fonction sous le signe somme".

Géométriquement, nous pouvons considérer l'intégrale indéfinie comme un ensemble (famille) de courbes telles que nous passons de l'une à l'autre en effectuant une translation dans le sens positif ou négatif de l'axe des ordonnés.

Revenons-en à la démonstration du point (2) du théorème fondamental de l'analyse :

Démonstration:

Soit F une primitive de f.

Puisque deux primitives diffèrent d'une constante, nous avons bien:

equation   (10.172)

ce que nous pouvons écrire aussi:

equation   (10.173)

pour tout X dans [a, b]. Le cas particulier equation donne equation et donc equation et equation. En remplaçant, nous obtenons :

equation   (10.174)

Comme cette identité est valable pour tout X de l'intervalle equation, elle est vraie en particulier pour equation. D'où :

equation   (10.175)

equationC.Q.F.D.

Remarques:

R1. Le théorème fondamental qui montre le lien entre primitive et intégrale a conduit à utiliser le même symbole equationpour écrire une primitive, qui est une fonction, et une intégrale, qui elle, est un nombre.

R2. Nous avons également démontré dans le chapitre de Mécanique Analytique comment calculer à l'aide d'une intégrale la longueur d'une courbe dans le plan si la fonction f(x) est explicitement connue.

Voici quelques propriétés triviales de l'intégration qu'il est bon de se rappeler car souvent utilisée ailleurs sur le site (si cela ne vous semble pas évident, contactez-nous et nous le détaillerons) :

P1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à la fonction à intégrer :

equation   (10.176)

P2. La différentielle d'une intégrale indéfinie est égale à l'expression sous le signe somme :

equation   (10.177)

P3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

equation   (10.178)

P4. L'intégrale indéfinie de la somme (ou soustraction) algébrique de deux ou plusieurs fonctions est égale à la somme algébrique de leurs intégrales (ne pas oublier que l'on travail avec l'ensemble des primitives et non des primitives particulières!):

equation   (10.179)

Démonstration:

Pour démontrer cela nous allons prouver que la dérivée du membre de gauche permet de trouver le membre de droit et inversement (réciproque) à l'aides des propriétés précédentes.

D'après P1 nous avons :

equation   (10.180)

Vérifions s'il en est de même avec le membre de droite (nous supposons connues les propriétés des dérivées que nous avons démontrées au début de ce chapitre) :

equation   (10.181)

equationC.Q.F.D.

P5. Nous pouvons sortir un facteur constant de sous le signe somme, c'est-à-dire :

equation   (10.182)

Nous justifions cette égalité en dérivant les deux membres (et d'après les propriétés des dérivées) :

equation   (10.183)

P6. Nous pouvons sortir un facteur constant de l'argument de la fonction intégrée (plutôt rarement utilisée) :

equation   (10.184)

En effet, en dérivant les deux membres de l'égalité nous avons d'après les propriétés des dérivées :

equation   (10.185)

P7. L'intégration d'une fonction dont l'argument est sommé (ou soustrait) algébriquement est la primitive de l'argument sommé (respectivement soustrait) :

equation   (10.186)

Cette propriété ce démontre également identiquement à la précédente à l'aide des propriétés des dérivées.

P8. La combinaison des propriétés P6 et P7 nous permettent d'écrire :

equation   (10.187)

P9. Soit f une fonction continue sur [a,b], nous avons pour equation:

equation

Ce théorème découle immédiatement de la définition de l'intégrale indéfinie. F étant une primitive de f  sur [a,b] nous avons:

equation

P10. Voilà une propriété souvent utilisée dans le chapitre de Statistiques du site (nous ne trouvons pas de moyen d'exprimer cette propriété par le langage courant donc...) :

equation
  (10.188)


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