DÉRIVÉES USUELLES



CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

Nous allons démontrer ici les dérivées les plus fréquentes (une petite trentaine) que nous puissions rencontrer en physique théorique et mathématique ainsi que certaines de leurs propriétés. La liste est pour l'instant non exhaustive mais les démonstrations étant généralisées, elles peuvent s'appliquer à un grand nombre d'autres cas (que nous appliquerons/rencontrerons tout au long de ce site).

1. Dérivée de equation:

Partons d'abord d'un cas particulier, la dérivée de equation:

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors:

equation   (10.64)

Le nombre dérivé en a de la fonction cube est donc equation.

Nous pouvons généraliser ce résultat pour tout entier naturel  positif ou négatif n et nous allons voir que la fonction f définie sur equation par equation est dérivable et que sa dérivée f' est définie par equation.

equation   (10.65)

Ainsi, nous avons (quelques exemples peuvent êtres utiles pour comprendre la portée de ce résultat):

equation   (10.66)

Nous voyons donc qu'en ayant déterminé la dérivée d'une fonction de la forme equation, nous avons également déterminé la dérivée de toute fonction qui est mise sous cette forme tel que:

equation et equation   (10.67)

Cependant, les fonctions:

equation   (10.68)

ne sont pas dérivables en equation puisque la fonction n'y est plus définie (division par zéro). De plus, en ce qui concerne la fonction comportant la racine (puissance non entière), la dérivée n'est pas définie dans equation.

Cependant, le résultat précédent donne un résultat intéressant pour les fonctions constantes telle que:

equation   (10.69)

il n'est alors pas difficile de déterminer la dérivée qui vaut simplement:

equation   (10.70)

Donc la dérivée de toute fonction constante est nulle (il est important de se souvenir de ce résultat quand nous étudierons les propriétés des intégrales) !!!

2. Dérivée de la fonction f(x)=cos(x):

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la section de géométrie):

equation   (10.71)

Puisque:

equation   (10.72)

Effectivement, rappelons que la fonction sin(x) est assimilable (visuellement et mathématiquement) à une droite de fonction equation au voisinage de equation.

Donc pour résumer:

equation   (10.73)

3. Dérivée de la fonction f(x)=sin(x) :

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la section de géométrie):

equation   (10.74)

Donc pour résumer:

equation   (10.75)

4. Dérivée de la fonction equation:

La dérivée de la fonction equation est égale à equation, c'est-à-dire si :

equation    (10.76)

alors:

equation   (10.77)

Démonstration:

Si equation est l'accroissement de la fonction equation pour un accroissement correspondant equation de la variable x, alors :

equation   (10.78)

et nous pouvons écrire :

equation   (10.79)

Multiplions et divisons par x l'expression figurant dans le membre droit de la dernière égalité :

equation   (10.80)

Désignons la quantité equation par equation. Il est évident que equation quand equation tend vers zéro pour un x donné. Par conséquent :

equation   (10.81)

Or, nous retrouvons ici une autre provenance historique de la constante d'Euler (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) où :

equation   (10.82)

Ainsi :

equation   (10.83)

equationC.Q.F.D.

Une cas particulier important est le cas où a=e. Nous avons alors :

equation   (10.84)

5. Dérivée d'une somme de fonctions :

Soient u et v deux fonctions. La fonction somme equation est dérivable sur tout intervalle où u et v sont dérivables, sa dérivée est la fonction s' somme des fonctions dérivées u' et v' de u et v.

Ce résultat se généralise pour une somme d'un nombre quelconque fixé de fonctions.

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u et v deux fonctions définies et dérivables en a:

equation   (10.85)

Donc la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

equationC.Q.F.D.

6. Dérivée d'un produit de fonctions :

Soient u et v deux fonctions.  La fonction produit equation est dérivable sur tout intervalle où u et v sont dérivables, sa dérivée première est la fonction p' telle que :

equation   (10.86)

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u et v deux fonctions définies et dérivables en a:

equation   (10.87)

Nous rajoutons à cette dernière relation deux termes dont la somme est nulle tel que:

equation
  (10.88)

equationC.Q.F.D.

Mais il existe une formulation plus générale que la dérivée première d'un produit :

Considérons pour cela toujours nos deux fonctions u et v, n fois dérivables sur un intervalle I. Alors le produit uv est n fois dérivable sur I et :

equation   (10.89)

et ceci constitue la "formule de Leibniz" que nous avons utilisé dans le chapitre de calcul algébrique pour l'étude des polynômes de Legendre (qui nous sont eux-mêmes indispensables pour l'étude de la chimie quantique).

La démonstration de la formule est très proche de celle fait pour le binôme de Newton (cf. chapitre de Calcul Algébrique).

Démonstration:

Soit :

equation   (10.90)

D'autre part :

equation   (10.91)

La formule est ainsi bien initialisée.

La démonstration se fait par récurrence. Ainsi, le but est de montrer que pour equation que si :

equation   (10.92)

alors :

equation   (10.93)

Nous avons donc :

equation   (10.94)

Nous allons procéder à un changement de variable dans la première somme pour ne plus avoir le terme en k+1. Nous posons pour cela equation :

equation   (10.95)

Si nous revenons à la lettre k, nous avons donc :

equation   (10.96)

Nous avons donc :

equation   (10.97)

Nous voulons réunir les deux sommes. Pour cela, nous écartons les termes en trop dans chacun d'elles :

equation   (10.98)

Ce qui donne donc :

equation   (10.99)

D'après la formule de Pascal (cf. chapitre de Probabilités), nous avons :

equation   (10.100)

Donc :

equation   (10.101)

Or :

equation   (10.102)

Donc :

equation   (10.103)

equationC.Q.F.D.

7. Dérivée d'une fonction composée :

Soit la fonction composée equation de deux fonctions u et g dérivables, la première en u(x), la seconde en x, la fonction dérivée f' est définie par equation, c'est-à-dire :

equation   (10.104)

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u une fonction définie et dérivable en a et g une fonction définie et dérivable en u(a) :

equation   (10.105)

posons equation, nous avons alors:

equation   (10.106)

continuons notre développement précédent:

equation
  (10.107)

equationC.Q.F.D.

Donc la dérivée d'une fonction composée est donnée par la dérivée de la fonction multipliée par la "dérivée intérieure". Par ailleurs, ce type de dérivation est très important car souvent utilisé en physique sous la dénomination de "dérivation en chaîne".

Voyons de quoi il s'agit. La dernière relation obtenu peut être écrite sous une autre forme si nous posons equation et equation:

equation   (10.108)

Ce qui peut s'étendre à des cas plus compliqués par exemple si equation alors :

equation   (10.109)

8. Dérivée d'une fonction réciproque :

Si la fonction  f est continue, strictement monotone sur un intervalle I, dérivable sur  I, alors la fonction réciproque  equation est dérivable sur l'intervalle f(I) et admet pour fonction dérivée:

equation   (10.110)

En effet, nous pouvons écrire :

equation   (10.111)

C'est-à-dire (application identité) :

equation   (10.112)

Par application de la dérivation des fonctions composées:

equation   (10.113)

d'où:

equation   (10.114)

Pour une variable x, nous poserons pour la dérivée de la fonction réciproque:

equation   (10.115)

10. Dérivée de la fonction arccos(x) :

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction arccos(x) :

equation   (10.116)

11. Dérivée de la fonction arcsin(x) :

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction arcsin(x) :

equation   (10.117)

12. Dérivée d'un quotient de deux fonctions :

La fonction equation est dérivable sur tout intervalle où les fonctions u et v sont dérivable et où la fonction v est non nulle et:

equation   (10.118)

Démonstration:

La fonction f peut être considérée comme le produit de deux fonctions : la fonction u et la fonction 1/v. Une produit de deux fonctions est dérivable si chacune d'elle est dérivable, il faut donc que la fonction u soit dérivable et que la fonction 1/v soit également dérivable ce qui est le cas quand v est dérivable non nulle.

equation   (10.119)

equationC.Q.F.D.

13. Dérivée de la fonction tan(x) :

Par définition (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons :

equation   (10.120)

et en appliquant donc la dérivée d'un quotient vu précédemment, nous avons :

equation   (10.121)

ou encore :

equation   (10.122)

14. Dérivée de la fonction cot(x) :

Par définition (cf. chapitre de Trigonométrie), equation :

equation   (10.123)

et donc (dérivée d'un quotient à nouveau) :

equation   (10.124)

ou encore :

equation   (10.125)

15. Dérivée de la fonction arctan(x) :

Nous utilisons les propriétés dérivées des fonctions réciproques :

equation   (10.126)

16. Dérivée de la fonction arccot(x) :

Selon la même méthode que précédemment :

equation   (10.127)

17. Dérivée de la fonction equation :

Nous verrons lors de notre étude des méthodes numérique (cf. chapitre de Méthodes Numériques) que le "nombre d'Euler" peut être calculé selon la série :

equation   (10.128)

qui converge sur equation. En dérivant terme à terme cette série qui converge, il vient :

equation   (10.129)

Ainsi l'exponentielle est sa propre dérivée. Ainsi, nous pouvons nous permettre d'étudier les dérivées de quelques fonctions trigonométriques hyperboliques (cf. chapitre de Trigonométrie).

18. Dérivée de la fonction sinh(x) :

Rappel :

equation   (10.130)

Donc trivialement :

equation   (10.131)

19. Dérivée de la fonction cosh(x) :

Rappel :

equation   (10.132)

Donc trivialement :

equation   (10.133)

20. Dérivée de la fonction tanh(x) :

Puisque par définition :

equation   (10.134)

Donc en appliquant la dérivée d'un quotient nous obtenons :

equation   (10.135)

Ou encore :

equation   (10.136)

21. Dérivée de la fonction coth(x) :

Rappel :

equation   (10.137)

et donc :

equation   (10.138)

22. Dérivée de la fonction arcsinh(x) :

Nous appliquons les propriétés des dérivées des fonctions réciproques :

equation   (10.139)

Or (voir à nouveau le chapitre de Trigonométrie) :

equation   (10.140)

et donc :

equation   (10.141)

Etant donné que cosh ne prend que des valeurs positives, nous avons :

equation   (10.142)

Donc finalement :

equation   (10.143)

23. Dérivée de la fonction arccosh(x) :

Nous appliquons les propriétés des dérivées des fonctions réciproques :

equation   (10.144)

Or selon la même méthode que précédemment :

equation   (10.145)

d'où :

equation   (10.146)

Etant donné que equation ne prend que des valeurs positives nous avons alors :

equation   (10.147)

Donc :

equation   (10.148)

24. Dérivée de la fonction arctanh(x) :

En appliquant les propriétés des dérivées des fonctions réciproques) :

equation   (10.149)

25. Dérivée de la fonction arccoth(x) :

En appliquant les propriétés des dérivées des fonctions réciproques) si equation :

equation   (10.150)

26. Dérivée de la fonction equation :

Avec equation :

equation   (10.151)

Donc (dérivée d'une fonction composée) :

equation   (10.152)


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