CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

1. Calcul différentiel

1.2. Différentielles

1.3. Dérivées usuelles

2. Calcul intégral

2.1. Intégrale définie

2.2. Intégrale indéfinie

2.3. Intégration par changements de variable

2.3.1. Jacobien

2.4. Intégration par parties

2.5. Primitives usuelles

3. Fonction de Dirac

4. Fonction Gamma d'Euler

4.1. Expression de la factorielle

4.2. Constante d'Euler-Mascheroni

5. Équations différentielles

5.1. Équations différentielles du premier ordre

5.2. Équations différentielles linéaires

5.3. Méthode du polynôme caractéristique

5.3.1. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 1

5.3.2. Résolution de l'E.H. de l'E.D.L. à coefficients constants d'ordre 2

5.4. Théorie régulière des perturbations

5.4.1. Théorie perturbative des équations algébriques

5.4.2. Théorie perturbative des équations différentielles

5.5. Systèmes d'équations différentielles

Le calcul différentiel est un des domaines les plus passionnants et vastes de la mathématique, et il existe une littérature considérable (colossale) sur le sujet. Les résultats retrouvent des implications dans absolument tous les domaines de la physique, de l'informatique, de l'électronique, de la chimie, de la finance, de la biologie et de la mathématique elle-même.

Les mathématiciens ont rédigé une telle quantité de théorèmes sur le sujet que la validation d'un échantillon de ceux-ci est délicate car nécessitant à eux-seuls la vie d'un homme pour être parcourus (c'est un problème que la communauté des mathématiciens reconnaît) et vérifiés (ce qui fait que personne ne les vérifie...).

Ce constat fait, nous avons choisi de ne présenter ici que les points absolument nécessaires à la compréhension des outils fondamentaux de l'ingénieur. Les puristes nous excuseront donc pour l'instant de ne pas présenter certains théorèmes qui peuvent leur sembler indispensables mais que nous rédigerons une fois le temps venu...

Nous allons principalement étudier dans ce qui va suivre ce que les mathématiciens aiment bien préciser (et ils ont raison) : les cas généraux des fonctions réelles à une variable réelle. Les fonctions plus complexes (à plusieurs variables réelles ou complexes, continues ou discrètes) viendront une fois cette partie terminée.

Remarque: Nous ne nous attarderons pas à démontrer les dérivées et primitives de toutes les fonctions car comme il y a une infinité de fonctions possibles, il y a également une infinité de dérivées et de primitives. C'est le rôle des professeurs dans les instituts scolaires d'entraîner les élèves à appliquer et à comprendre le raisonnement de dérivation et d'intégration par des applications sur des fonctions connues (l'internet ne remplacera très probablement jamais l'école à ce niveau).

CALCUL DIFFÉRENTIEL

Soit une fonction f réelle à une variable réelle x notée f(x) (nous nous limitons à ce cas de figure pour l'instant et étudierons les dérivées partielles dans des espaces à un nombre de dimensions quelconques plus loin) continue au moins dans un intervalle où se situe l'abscisse a.

Définitions:

D1. Nous appelons "pente moyenne", ou encore "coefficient directeur" le rapport de la projection orthogonale de deux points de la fonction f non nécessairement continue sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que :

(10.1)

Ce qui se représente sous forme graphique de la manière suivante avec une fonction particulière:

equation (10.2)

Remarque:

signifiant "un delta" exprime le fait que nous sous-entendons une différence d'une même quantité.

Nous supposerons comme évident (sans démonstration) que deux fonctions dont les pentes sont les mêmes dans un même intervalle de définition, y sont parallèles (ou confondues).

Nous démontrerons dans le chapitre de Géométrie Analytique que deux fonctions dont la multiplication des pentes vaut -1 sont perpendiculaires.

D2. Nous appelons "nombre dérivé en a" ou "pente instantanée" ou encore "dérivée première", la limite quand h tend vers 0 (si elle existe) du rapport de la projection orthogonale de deux points infiniment proches de la fonction f continue (dans le sens qu'elle ne contient pas de "trous") sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que :

(10.3)

Une interprétation graphique donne donc bien que f '(a) est le coefficient directeur (la pente de la tangente au point d'abscisse a).

Remarques:

R1. d signifiant un "différentiel" exprime le fait que nous sous-entendons une différence infiniment petite d'une même quantité.

R2. Nous renvoyons le lecteur au chapitre d'Analyse Fonctionnelle pour la définition de ce qu'est une fonction continue.

D3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en tout point a de I, la fonction qui à tout réel a de I associe le nombre f '(a) est appelée "fonction dérivée de f sur I" et est notée f '.

Remarque: Au niveau des notations les physiciens adoptent suivant leur humeur différentes notations possibles pour les dérivées. Ainsi, considérons la fonction réelle à une variable f(x), vous trouverez dans la littérature ainsi que dans le présent site les notations suivantes pour la dérivée première :

(10.4)

ou encore en considérant implicitement que f est fonction de x (ceci permet d'alléger un petit peu la tailles des développements) :

(10.5)

Nous pouvons de la même manière définir les dérivées d'ordre 2 (dérivée d'une dérivée), les dérivées d'ordre 3 (dérivée d'une dérivée d'ordre 2) et ainsi de suite. Nous rencontrerons par ailleurs très fréquemment de telles dérivées en physique (et même en maths pour l'analyse fonctionnelle).

Maintenant, suite à un problème de compréhension de la part d'un internaute dans un des chapitres du site, précisons une technique utilisée fréquemment par les physiciens. Considérons une dérivée d'ordre 2 telle que :

(10.6)

Si nous regardons le d/dx comme un opérateur différentiel nous pouvons bien évidemment écrire :

equation (10.7)

Finalement nous avons :

equation (10.8)

et donc il vient après simplification par f(x) :

equation (10.9)

sinon quoi nous ne pouvons pas avoir cette égalité si l'opérateur agit explicitement sur une fonction dans une relation mathématique ou physique quelconque.

Cela peut paraître évident pour certains mais parfois moins pour d'autres et il était visiblement utile de préciser cela car c'est souvent utilisé dans les chapitre de relativité et physique quantique.

Indiquons et démontrons maintenant deux propriétés intuitivement évidente des dérivées et qui nous seront plusieurs fois indispensables pour certaines démonstrations sur ce site (comme par exemple dans le chapitre de méthodes numériques ou ici même...).

Considérons d'abord deux nombres réels et f une fonction à valeurs réelles continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ telle que . Alors nous voulons démontrer qu'il existe bien évidemment au moins un élément c de ]a,b[ tel que (c'est typiquement le cas des fonctions polynômial!).

Cette propriété est appelée "théorème de Rolle" et donc explicitement elle montre qu'il existe au moins un élément où la dérivée de f est nulle si en la parcourant nous revenons à la même valeur des images pour deux valeurs distinctes des abscisses, c'est-à-dire qu'il existe au moins un point où la tangente est horizontale.

Démonstration:

Si f est constante, c'est immédiat...

Dans le cas contraire, comme f est continue sur l'intervalle fermé borné [a,b] elle admet au moins un minimum global ou maximum global compte tenu que nous nous basons sur l'hypothèse que et que f n'est pas constante. L'extrema est atteint en un point c appartenant à l'intervalle ouvert ]a,b[ (le fait de prendre l'intervalle ouvert permet dans certains cas d'éviter d'avoir un extrema à nouveau en a ou en b).

Supposons comme premier cas que f(c) est maximum global. La dérivée de la fonction f entre c et un deuxième point ont alors un signe connu.

Pour h strictement positif et tel que c+h appartienne à l'intervalle [a,b] :

(10.10)

En considérant la limite quand h tend vers 0, le nombre dérivé est négatif.

Pour h strictement négatif et tel que c+h appartienne à l'intervalle [a,b] :

(10.11)

En considérant la limite quand h tend vers 0, le nombre dérivé f '(c) est positif.

Au bout du compte, la dérivée de f est nulle au point c.

La démonstration est analogue si f(c) est un minimum global, avec les signes des dérivées qui sont les opposés.

C.Q.F.D.

Maintenant, considérons deux réels et f(x) une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors, nous nous proposons de montrer qu'il existe au moins un réel tel que :

(10.12)

Ce qui peut aussi s'écrire sous la forme suivante :

(10.13)

avec .

Géométriquement cela signifie qu'en au moins un point c du graphe de la fonction f(x), il existe une tangente de coefficient directeur :

(10.14)

Graphiquement cela donne :

. equation
(10.15)

Démonstration:

Nous avons d'abord :

(10.16)

car la pente de h(x) est bien évidemment et comme lorsque nous devons avoir f(a) il s'ensuit donc la relation donnée précédemment.

Ensuite, pour démontrer qu'un tel point c existe, l'idée est de rapporter les deux points a et b à la même ordonnée ce qui en fait nous ramène au théorème de Rolle et pour cela, nous définissons une fonction g par :

(10.17)

qui est telle que effectivement ... et en l'occurrence égal à 0 (mais cette valeur importe peu). Dès lors, le théorème de Rolle vu précédemment nous indique qu'il existe un point entre a et b où la dérivée de g(x) est nulle tel que . Et en constatant que :

(10.18)

nous obtenons :

(10.19)

Soit après simplification :

(10.20)

C.Q.F.D.

Puisque le terme de gauche représente un accroissement fini du terme de droite, alors ce résultat est appelée "théorème des accroissements finis" (TAF).

A l'aide de ce petit théorème et des outils mathématiques introduits précédemment, nous pouvons construire un petit théorème fort utile et puissant en physique.

Définition: Nous appelons "règle de L'Hôpital" (également appelée "règle de l'Hospital" ou "règle de Bernoulli") le procédé qui utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients et qui apparaissent souvent en physique.

Démonstration:

Considérons deux fonctions f(x) et g(x) et telles que alors nous pouvons écrire:

(10.21)

Alors selon la définition de la dérivée:

(10.22)

C.Q.F.D.

Nous pouvons généraliser ce résultat précédent initialement basé sur la contrainte un peu trop forte:

(10.23)

Démonstration:

Rappelons donc que selon le théorème des accroissements finis, si f(x) est dérivable sur un intervalle ]a,b[ et continue sur [a,b] alors il existe un réel c dans l'intervalle [a,b] tel que:

(10.24)

Si le théorème se vérifie pour deux fonctions satisfaisant aux mêmes contraintes alors nous avons deux fonctions telles que:

et (10.25)

Si g'(c) est non nul nous avons alors tout à fait le droit d'écrire le rapport (certains appellent cela le "théorème des accroissements fini généralisé"...) :

(10.26)

ce qui sans perdre en validité tant que c est dans l'étau [a,x] peut s'écrire:

(10.27)

Ainsi, lorsque ce qui implique que l'étau [a,x] se referme et donc nous avons:

(10.28)

Ainsi, nous venons de prouver quand dans la démonstration précédente de la règle de l'Hôpital la relation:

(10.29)

que nous avions est vraie en toute généralité et qu'il n'est pas nécessaire que soit vrai pour que le résultat soit juste!

C.Q.F.D.

DIFFÉRENTIELLEs

Nous avons indiqué précédemment ce qu'était un différentiel d. Mais il existe en fait plusieurs types de sortes de différentielles d'une fonction (remarquez que nous distinguons le genre masculin et féminin du terme) :

1. Les différentiels

2. Les différentielles partielles

3. Les différentielles totales exactes

4. Les différentielles totales inexactes

Rappelons que nous appelons "différentiel df" d'une fonction f à une variable la relation donnée par (voir texte précédent) :

(10.30)

Cependant, pour exprimer l'effet d'un changement de toutes les variables d'une fonction f de plusieurs variables, nous devons utiliser un autre type de différentiel que nous appelons la "différentielle totale" (dérivée en deux sous-familles : différentielle totale exacte et différentielle totale inexacte).

Soit par exemple, une fonction f(x, y) des deux variables x et y. L'accroissement df de la fonction f, pour un accroissement fini de x à et de y à est :

(10.31)

que nous pouvons aussi écrire :

(10.32)

ou encore:

(10.33)

Pour des accroissements infiniment petits de x et y :

(10.34)

Intéressons nous dès lors aux deux termes au passage à la limite:

et (10.35)

Le premier terme de gauche, nous le voyons, ne donne finalement que la variation en x de la fonction f(x, y) en ayant y constant sur la variation. Nous notons cela dès lors (si la connaissance des variables constantes est triviale, nous ne les indiquons plus) :

(10.36)

et de même :

equation (10.37)

Les deux expressions :

et (10.38)

sont ce que nous appelons des "différentielles partielles".

Il vient dès lors :

(10.39)

qui est la "différentielle totale exacte" de df. Il est important de se rappeler de la forme de cette relation que nous retrouverons partout dans des opérateurs particuliers en physique, dans la mécanique des fluides, dans la thermodynamique, etc.

Remarque: De la même manière, pour une fonction de plus de deux variables, par exemple f(x, y, z), la différentielle totale df est:

equation (10.40)

Dans l'équation ci-dessus, la différentielle df a été calculée à partir de l'expression de la fonction f. Puisqu'il existe une fonction f qui vérifie l'expression de df, la différentielle df est dite alors aussi "totale exacte".

Profitons pour faire une indication importante sur l'utilisation des dérivées partielles par les physiciens (et donc dans les nombreux chapitres y relatifs du site). Nous avons vu plus haut que si f dépend de deux variables x, y nous avons toujours :

(10.41)

et s'il ne dépend que d'un variable nous avons alors :

(10.42)

et alors :

(10.43)

raison pour laquelle les physiciens mélangent allègrement les deux notations...

Maintenant, il faut cependant savoir qu'il existe également des différentielles totales exactes, qu'aucune fonction ne vérifie. Dans ce cas, nous parlons de "différentielle totale inexacte" et pour déterminer si une différentielle totale est exacte ou inexacte, nous utilisons les propriétés des dérivées partielles (cas très important en thermodynamique!!!).

Soit la forme différentielle :

(10.44)

où M(x,y) et N(x,y) sont des fonctions des variables x et y. Si dz est une différentielle totale exacte, alors :

(10.45)

Il faut donc que :

et (10.46)

ou encore, en effectuant une seconde dérivation, que:

et equation (10.47)

Avant de continuer, nous avons besoin d'un résultat donné par le "théorème de Schwarz" qui s'énonce de la manière suivante :

Soit une fonction f, si :

(10.48)

sont continues alors nous avons (il faut vraiment vérifier que ce soit le cas!) :

(10.49)

pour tout où U est le domaine de définition où f est continue (et donc dérivable).

Démonstration:

Nous considérons l'expression :

(10.50)

Posons :

et (10.51)

Nous avons alors :

(10.52)

Par le théorème des accroissements finis :

(10.53)

avec En reprenant les définitions de g et w nous obtenons :

(10.54)

en appliquant à nouveau le théorème des accroissements finis aux deux membres entre parenthèses nous trouvons :

(10.55)

avec Pour finir :

(10.56)

et par continuité lorsque , nous avons :

(10.57)

Plus simplement écrit :

(10.58)

C.Q.F.D.

Par récurrence sur le nombre de variables nous pouvons démontrer le cas général (c'est long mais c'est possible, nous le ferons si besoin il y a...).

Donc finalement pour en revenir à notre problème initial, nous avons donc :

(10.59)

Ce qui nous donne finalement :

(10.60)

C'est donc la condition que doit satisfaire une différentielle totale pour être une différentielle totale exacte et la condition qu'elle ne doit pas satisfaire pour être une différentielle totale inexacte!!!

Afin de ne pas confondre les deux types de différentielles, nous utilisons le symbole pour représenter une différentielle totale inexacte et d pour une différentielle totale exacte. La distinction est extrêmement importante car seules les différentielles totales exactes ont une intégrale qui ne dépend que des bornes d'intégration (puisque toutes les variables changent en même temps) :

equation mais (10.61)

Autrement dit, la variation d'une fonction dont la différentielle est totale exacte, ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des états initiaux et finaux. Nous appelons une telle fonction qui satisfait à une différentielle totale exacte, une "fonction d'état", c'est-à-dire une fonction dont la valeur ne dépend que de l'état présent et futur, et non de son histoire.

Cette distinction est très importante et particulièrement en thermodynamique où il convient de déterminer si une quantité physique est une différentielle totale exacte (une "fonction d'état" donc) ou non afin de savoir comment évoluent les systèmes.

Exemple:

Un exemple important de forme différentielle en thermodynamique, est le travail élémentaire d'une force exercée sur un corps en mouvement dans le plan Oxy, nous avons :