POLYNÔMES



COURS SUR CALCUL ALGÉBRIQUE

1. Équations et inéquations

1. Équations

1. Inéquations

2. Identités remarquables

2.1. Triangle de Pascal

2.2. Binôme de Newton

3. Polynômes

3.1. Division euclidienne des polynômes

3.2. Théorème de factorisation des polynômes

3.3. Equations diophantiennes

3.4. Polynômes de degré 1

3.5. Polynômes de degré 2

3.5.1 Relations de Viète

3.6. Polynômes de degré 3

3.7. Polynômes de degré 4

3.8. Polynômes trigonométriques

3.9. Polynômes cyclotomiques

3.10. Polynômes de Legendre

Définition (simpliste): Nous appelons "polynôme algébrique P(x)" une fonction de degré equation qui s'écrit:

equation   (8.46)

ou de façon plus condensée par:

equation   (8.47)

Remarques:

R1. Le n en indice du P(x) est parfois omis car explicitement défini dans l'énoncé.

R2. Le lecteur qui aura parcouru le chapitre de Théorie Des Ensembles, se rappellera certainement que l'ensemble des polynômes de degré n ou inférieurs forment un structure d'espace vectoriel!

Définition (ensembliste): Soit k un anneau (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) et equation., "l'anneau des polynômes" en n indéterminées (ou variables) equation est construit à partir d'un polynôme élémentaire, appelé "monôme" de la forme:

equation   (8.48)

equation est le "coefficient du monôme", equation sont des entiers equation et où equation forme la "partie littérale du monôme". Ainsi, par construction, un polynôme est une somme d'un nombre fini de monômes appelés alors "termes du polynôme".

Ainsi, le cas particulier commun utilisé dans les petites classes et présenté au début est k[X], c'est-à-dire l'anneau des polynômes à une variable à coefficients dans k. Tout élément de k[X] s'écrit donc:

equation    (8.49)

avec equation et equation .

Remarques:

R1. Notez bien que les puissances sont toujours positives (ou nulles) dans k[X] !!!

R2. Nous disons que deux monômes sont semblables s'ils ont la même partie littérale.

Définition: Nous nommons "racine" ou "zéro de polynôme", la ou les valeurs x telles que "l'équation polynomiale" equation soit satisfaite à la condition qu'au moins un des equation avec equation soit non nul.

Si le polynôme admet une ou plusieurs racines equation nous pouvons alors factoriser ce dernier sous la forme (nous le démontrerons rigoureusement de manière générale plus loin):

equation   (8.50)

afin que quand x prend la valeur d'un des racines, l'expression ci-dessus soit nulle. C'est ce que nous appelons par convention "factoriser un polynôme".

Les identités algébriques sont des des formes particulières de fonctions polynomiales. Considérons une constante c et une variable x et:

equation   (8.51)

Nous voyons que si nous posons:

equation   (8.52)

nous retrouvons:

equation   (8.53)

Définition: Le "coefficient dominant" d'un polynôme est le coefficient de son monôme de plus haut degré.

DIVISION EUCLIDIENNE DES POLYNÔMES

Plaçons nous à présent dans l'anneau k[X]. Si equation, nous notons deg(P) le degré du polynôme P(X) à coefficients dans un anneau k (les réels ou les complexes... peu importe!)

Remarque: Par convention, equation

Soit:

equation   (8.54)

avec equation.

Alors il existe deux polynômes uniques equation tels que:

equation    (8.55)

et:

equation   (8.56)

Démonstration:

Si u(X) = 0 le résultat est évident. Supposons que equation et montrons l'existence par récurrence sur le degré k de u(X).

Si k = 0 alors q(X) = 0 (puisque equation) et donc r(X) = u(X) fait l'affaire.

Supposons l'affirmation vraie pour tout  equation :

Soit u(X) de degré equation. Si equation alors q(X) = 0 et r(X) = u(X) font l'affaire.

Sinon, si equation alors en écrivant:

equation   (8.57)

nous réduisons u(X) à un polynôme de degré equation puisque v(X) est de degré m (et qu'il existe)!

Effectivement, le terme:

equation   (8.58)

élimine (au moins) le terme de plus grand degré equation

Par hypothèse de récurrence, il existe f(X),g(X) tels que:

equation   (8.59)

avec equation. Donc:

equation   (8.60)

et:

equationequation   (8.61)

font l'affaire.

Donc par récurrence nous observons que la division euclidienne existe dans l'anneau des polynômes k[X].

equationC.Q.F.D.

Remarque: Cette démonstration nous a permis dans le chapitre de théorie des ensembles de montrer que cet anneau est "principal".

THÉORÈME DE FACTORISATION DES POLYNÔMES

Nous allons maintenant démontrer une propriété importante qui est au fait à l'origine illustré (entre autres) par les identités remarquables que nous avons vues plus haut:

Si une fonction polynôme equation à coefficients dans k de degré equation a une racine equationdans l'anneau k, alors nous pouvons factoriser P(x) par (x - r) tel que:

equation   (8.62)

Q  est une fonction polynôme de degré n-1 (et peut donc être dans certains cas un simple monôme).

Autrement dit, "factoriser un polynôme", c'est l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes. La factorisation est donc une opération qui transforme une somme en un produit.

Démonstration:

L'idée consiste à effectuer la division euclidienne de P par (x-r). D'après le théorème, il existerait un couple (Q, R) de polynôme tels que:

equation   (8.63)

et selon le résultat obtenu du théorème précédent sur la division euclidienne:

equation   (8.64)

Or, equation, donc equation (ou equation). R est donc une fonction polynôme constante. Par ailleurs, r est une racine de P. Nous avons donc:

equation   (8.65)

Donc equation. Donc R est la fonction polynôme nulle et le théorème est pratiquement démontré. Il reste encore à prouver que equation, ce qui est une conséquence immédiate de la relation:

equation   (8.66)

D'où:

equation   (8.67)

equationC.Q.F.D.

De cette propriété de factoriser un polynôme vue précédemment, appelée "théorème de factorisation", nous pouvons donner un avant gout d'un théorème beaucoup plus important:

Montrons que si nous avons une fonction polynôme equation de degré equation à coefficients dans k, alors elle possède au plus un nombre fini n de racines (certaines étant éventuellement confondues) dans k.

Démonstration:

D'abord, puisque P a un degré, P n'est pas la fonction polynôme nulle. Ensuite, raisonnons par l'absurde:

Si la fonction P possède p racines avec equation, en notant equation ces racines, nous avons, d'après le théorème de factorisation précédent (appliqué p fois):

equation   (8.68)

Q est donc une fonction polynôme de degré :

equation   (8.69)

Or, comme par définition un polynôme en est un si seulement son degré appartient à equation, le polynôme Q doit donc être le polynôme nul tel que :

equation   (8.70)

Il s'ensuit que :

equation   (8.71)

ce qui contredit l'hypothèse initiale comme quoi P n'est la fonction polynôme nulle d'où :

equation   (8.72)

equationC.Q.F.D.

ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

Si nous généralisons le concept de polynôme avec plusieurs variables tel que:

equation   (8.73)

nous appelons alors "équation diophantienne" une équation de la forme:

equation   (8.74)

P est un polynôme à coefficients entiers (ou rationnels) dont nous cherchons les radicaux strictement dans equationou equation. Des exemples classiques d'équations diophantiennes sont:

- Les triplets pythagoriciens (ou triades) tel que:

equation   (8.75)

- Le grand théorème de Fermat dont la conjecture dit que si n est supérieur à 2, il n'existe pas d'entiers equation non nuls pour lesquels:

equation   (8.76)

Pour la démonstration il faudra attendre un peu que les auteurs du site aient le temps de la comprendre également (...).


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