POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES



COURS SUR CALCUL ALGÉBRIQUE

1. Équations et inéquations

1. Équations

1. Inéquations

2. Identités remarquables

2.1. Triangle de Pascal

2.2. Binôme de Newton

3. Polynômes

3.1. Division euclidienne des polynômes

3.2. Théorème de factorisation des polynômes

3.3. Equations diophantiennes

3.4. Polynômes de degré 1

3.5. Polynômes de degré 2

3.5.1 Relations de Viète

3.6. Polynômes de degré 3

3.7. Polynômes de degré 4

3.8. Polynômes trigonométriques

3.9. Polynômes cyclotomiques

3.10. Polynômes de Legendre

Définition: Nous appelons "polynôme trigonométrique" de degré N toute somme finie:

equation   (8.137)

equation.

Un polynôme trigonométrique peut aussi être écrit en utilisant les fonctions trigonométriques usuelles grâce aux transformations suivantes:

equation   (8.138)

Soit en utilisant la formule d'Euler (cf. chapitre sur les Nombres):

equation   (8.139)

Ce que nous pouvons récrire aussi sous la forme:

equation   (8.140)

En posant alors:

equation   (8.141)

Il vient:

equation   (8.142)

Nous verrons longuement dans le chapitre des Suites Et Séries comment utiliser ces polynômes dans le cadre de l'étude des séries de Fourier.

POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES

Si n est un entier naturel, nous appelons "polynôme cyclotomique" ce que nous notons traditionnellement equation et que définissons comme étant le produit de tous les monômes (equation) où equation est un racine primitive n-ème de l'unité de equation.

Pour rappel une racine n-ème de l'unité (parfois appelée "nombre de De Moivre") est un nombre complexe dont la puissance n-ème vaut 1.

Ainsi, l'ensemble des racines n-èmes de l'unité est l'ensemble:

equation   (8.143)

qui est un groupe cyclique (voir la Théorie Des Ensembles dans la section d'arithmétique du site et le chapitre d'Algèbre Ensembliste dans la présente secion).

Nous appelons alors "racine primitive n-ème de l'unité" ou "R.P.N." tout élément de ce groupe l'engendrant.

Les éléments de equation sont donc du type:

equation    (8.144)

avec equation. Nous écrivons alors l'ensemble des equation sous la forme:

equation   (8.145)

Un petit exemple de polynôme cyclotomique:

equation   (8.146)

avec:

equation   (8.147)

qui sont donc les racines quatrième de l'unité (autrement dit chacun de ces nombres mis à la puissance 4 donne 1). Elles forment le groupe equation et celui-ci peut-être engendré que par i et -i (générateur du group selon ce qui a été vu dans le chapitre de Théorie des Ensembles).

Donc un polynôme cyclotomique est le produit de facteurs qui s'écrit:

equation   (8.148)

avec equationet k étant premier par rapport à n.

Les polynômes ont un grand nombre de propriétés que nous n'aborderons pas ici puisque ce site ne se veut pas être un ouvrage de mathématiques supérieure.

POLYNÔMES DE LEGENDRE

Définition: les polynômes de Legendre sont définis par (lire de préférence les chapitres de calcul différentiel et intégral ainsi que d'analyse fonctionnelle avant):

equation   (8.149)

equation est donc un polynôme de degré n. Nous retrouverons ces polynômes dans la résolution d'équations différentielles en physique (propagation de la chaleur, physique quantique, chimie quantique, etc.).

Démontrons que selon la définition du produit scalaire fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Vectoriel) que les polynômes de Legendre sont orthogonaux.

Démonstration:

Soit P un polynôme de degré equation. Il suffit de montrer que equation, c'est-à-dire que equation est orthogonal à l'espace des polynômes de degré inférieur à n. Nous avons en effet:

equation   (8.150)

en intégrant par parties nous obtenons:

equation   (8.151)

Attention pour le terme nul ci-dessus, seulement le terme equation y est dérivé. Donc puisque x est au carré, quelque soit la dérivée la valeur sera toujours la même. Ce qui justifie que le terme soit nul.

En continuant de la sorte nous obtenons après n intégrations par parties:

equation   (8.152)

equationC.Q.F.D.

Remarque: Le terme dérivé est nul puisque le polynôme dérivé est de degré n-1

Voici quelques propriétés utiles en chimie quantique des:

P1. equation

Démonstration:

equation   (8.153)

et par la formule de Leibniz (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) nous avons:

equation   (8.154)

d'où:

equation   (8.155)

equationC.Q.F.D.

P2. equation si n est pair:

Démonstration:

Si n est pair, equation est une fonction paire et donc:

equation   (8.156)

est paire.

equationC.Q.F.D.

P3. equation si n est impair.

Démonstration:

Si n est impair, equation est impaire et donc:

equation   (8.157)

est impaire.

equationC.Q.F.D.

Nous allons à présent démontrer la validité de la relation de récurrence suivante pour les equation (relations que nous utiliserons en physique):

equation   (8.158)

pour equation.

Démonstration:

equation est un polynôme de degré equation, il existe dès lors des equationtel que ce polynôme peut s'exprimer comme combinaisons linéaire de la famille de polynômes constituant la base orthonormale (base qui permet donc d'engendrerequation):

equation   (8.159)

nous pouvons dès lors écrire:

equation   (8.160)

mais nous choisissons equation (parce que equation est dès lors de degré equation):

equation   (8.161)

Donc equation c'est-à-dire que nous devons avoir equation. Par suite:

equation   (8.162)

Par les propriétés des polynômes de Legendre vues précédemment, nous pouvons écrire les égalités:

equation: equation   (8.163)

et:

equation: equation   (8.164)

d'où:

equation et equation   (8.165)

Le coefficient dominant de equation est défini (rappelons-le) par le coefficient du monôme du plus grand degré. Ainsi, il est donné par:

equation   (8.166)

Donc:

equation   (8.167)

Remarque: Le lecteur vérifiera au besoin pour un n donné que:

equation   (8.168)

La relation:

equation   (8.169)

que nous avons obtenu ci-dessus nous impose que le coefficient dominant du polynôme de la combinaison linéaire soit égal au coefficient dominant du polynôme equation (nous avons éliminé le equation qui se simplifie):

equation   (8.170)

après simplification, nous obtenons:

equation   (8.171)

et ce qui donne finalement facilement:

equation   (8.172)

La relation:

equation   (8.173)

devient dès lors:

equation   (8.174)

equationC.Q.F.D.

Voici les six premiers polynômes de Legendre:

equation   (8.175)

equation
  (8.176)