POLYNÔMES DE DEGRÉ 1



COURS SUR CALCUL ALGÉBRIQUE

1. Équations et inéquations

1. Équations

1. Inéquations

2. Identités remarquables

2.1. Triangle de Pascal

2.2. Binôme de Newton

3. Polynômes

3.1. Division euclidienne des polynômes

3.2. Théorème de factorisation des polynômes

3.3. Equations diophantiennes

3.4. Polynômes de degré 1

3.5. Polynômes de degré 2

3.5.1 Relations de Viète

3.6. Polynômes de degré 3

3.7. Polynômes de degré 4

3.8. Polynômes trigonométriques

3.9. Polynômes cyclotomiques

3.10. Polynômes de Legendre

Soit:

equation   (8.77)

Si equation alors le polynôme admet une unique racine simple:

equation    (8.78)

tel que equation.

Remarques:

R1. Il faut toujours prendre l'habitude de vérifier l'existence de la solution dans l'équation d'origine pour s'assurer de la validation du domaine de définition de la solution. Effectivement, il existe des solutions aux développements de résolution d'une équation qui ne vérifient pas l'équation d'origine et c'est ce que nous nommons des "solutions étrangères" ou encore "racines étrangères".

R2. Si les coefficients du polynôme de degré 1 sont tous réels alors la racine est réelle.

R3. Si un des coefficients est complexe alors la racine est nécessairement complexe.

R4. Si les deux coefficients sont complexes, alors la racine est soit complexe soit réelle.

R5. Nous disons que deux équations sont équivalentes si elles admettent le même ensemble de solutions.

Voici quelques propriétés que nous considérons comme triviales et que nous admettrons donc sans démonstrations:

P1. Si nous ajoute (ou si nous retranchon) un même nombre à chaque membre d'une équation, nous obtenons une équation qui a les mêmes solutions que l'équation dont nous sommes partis (et ce quelque soit son degré!).

P2. Si nous multiplions (ou si nous divisons) chaque membre d'une équation par un même nombre non nul, nous obtenons une équation qui a les mêmes solutions que l'équation dont nous sommes partis (et ce quelque soit son degré!).

POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Soit le polynôme à coefficients réels (trinôme du second degré): 

equation   (8.79)

Si nous représentons ce polynôme graphiquement sur la plan réel, cela donne:

equation
  (8.80)

Si nous dérivons cette fonction (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) et cherchons en quel point la tangente s'annulle, nous avons toujours:

equation
  (8.81)

Si equation alors nous avons:

equation   (8.82)

Nous avons alors une "racine double" (ou "racine de multiplicité 2") que nous notons:

equation   (8.83)

tel que equation et où nous définissons un nouveau terme appelé "déterminant du polynôme" ou "discriminant" qui allège souvent les écritures: 

equation   (8.84)

Remarque: Il faut aussi toujours prendre l'habitude de vérifier l'existence de la solution dans l'équation d'origine pour s'assurer de la validation du domaine de définition de la solution au cas où la solution serait "étrangère".

Si le polynôme du deuxième degré en x comporte deux racines, nous pouvons alors factoriser de manière irréductible (selon le théorème fondamental de factorisation des polynômes vu plus haut) de la manière suivante:

equation   (8.85)

Nous démontrons, à partir de l'expression des racines, sans trop de peine les relations dites "relations de Viète":

equation et equation   (8.86)

Avec le signe de a et celui du discriminant equation nous avons:

equation
  (8.87)

Donc:

- Si equation le polynôme n'admet pas de zéros réels et ne se décompose pas en un produit de facteurs réels du premier degré mais de facteurs complexes. Ainsi (il est nécessaire d'avoir lu la partie traitant des nombres complexes dans le chapitre des Nombres de la section d'Arithmétique du site):

equation   (8.88)

et nous savons que nous pouvons écrire tout nombre complexe sous une forme condensée (formule d'Euler) et comme les racines complexes d'un polynôme du second degré sont conjuguées (nous connaissons ce terme) nous avons:

equation   (8.89)

où (rappel) r est le module des racines complexes (module égal pour les deux racines) et equation l'argument des racines complexes (égales en valeur absolue).

- Si equation alors le polynôme possède une seule solution qui est bien évidemment:

equation   (8.90)

- Si equation alors le polynôme possède deux solutions définies par les relations générales que nous avons déjà données précédemment.

En ce qui concerne le cas complexe, prenons comme exmple le polynôme suivant du second degré:

equation   (8.91)

qui admet donc uniquement deux racines complexes qui sont i et -i. Dans le plan réel ce polynôme sera représenté avec Maple par:

>plot(x^2+1,x=-5..5);

equation
  (8.92)

où nous voyons bien qu'il n'y a aucune solution (zéros) réelle. Alors qu'en nous plaçant dans les complexes, nous avons:

>plot3d(abs(-(re+I*im)^2+1),re=-2..2,im=-2..2,view=[-2..2,-2..2,-2..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

equation
  (8.93)

où les deux zéros sont bien visibles sur l'axe imaginaire en -1 et +1. Evidemment quand c'est la première fois que l'on voit une fonction représentée sur une figure en prenant en compte les valeurs complexes on essaie d'y retrouver la parabole correspondante au cas purement réel. Pour cela, il suffit de couper la surface ci-dessus en deux sur l'axe imaginaire et nous avons alors:

>plot3d(abs((re+I*im)^2+1),re=-2..2,im=0..2,view=[-2..2,-2..2,0..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

equation
  (8.94)

où nous retrouvons notre parabole bien visible sur la coupe de la surface. Ainsi, nous pouvons nous demander si les valeurs complexes ne sont pas une extension naturelle de notre espace conventionnel échappant à notre sens physique commun et nos appareils de mesures.

Evidemment de ce qui a été vu jusqu'à maintenant nous en tirons que si un polynôme admet une ou plusieurs racines alors ce même polynôme est divisible par equation.

Nombre d'Or

Il existe un polynôme de degré deux dont la solution est fameuse de par le monde. Ce nombre est appelé la "divine proportion" ou "nombre d'or" et se retrouve en architecture, esthétique ou encore en phyllotaxie (c'est-à-dire dans la disposition des feuilles autour de la tige des plantes). 

Ce nombre vaut:

  equation  (8.95)

et appartient à l'ensemble des nombres irrationnels car il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction entière, mais c'est un nombre algébrique puisqu'il est la solution positive de l'équation:

  equation   (8.96)

POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

Bien que rare à résoudre en physique théorique ou lors de ses études, la résolution d'un polynôme du 3ème degré est assez récréative et montre un bon exemple d'un raisonnement mathématique déjà mature (nous devons ces développements à Scipione del Ferro et Jérome Cardan mathématiciens du 16ème siècle...).

Soit l'équation:

equation   (8.97)

avec les coefficients tous dans equation (pour commencer...). Dans un premier temps, le lecteur pourra voir que les raisonnements que nous avons appliqués pour les polynômes de degrés inférieurs coincent rapidement (excepté pour des cas particuliers simplistes bien sûr...).

Nous allons contourner le problème par des changements de variables subtils mais tout à fait justifiés.

Ainsi, rien ne nous empêche de poser que:

equation   (8.98)

et que en divisant le polynôme de degré 3 par a d'écrire:

equation   (8.99)

En regroupant les termes de même ordre:

equation   (8.100)

et posons (rien, mais alors absolument rien ne nous l'interdit):

equation   (8.101)

où (1) est connu si et seulement si X est connu et où p, q sont de tout façon connus.

Le polynôme:

equation   (8.102)

étant de degré impair, il admet comme permet de le constater tout tracé visuel d'un tel polynôme à coefficient réels aux moins une racine réelle, appelée "racine certaine" (vérifiez vous verrez bien par une représentation graphique d'un polynôme de degré impair que cela est trivial).

Maintenant, nous faisons un autre changement de variable (nous en avons tout à fait le droit) subtil:

equation    (8.103)

en imposant la condition que u,v doivent êtres tels que equation (rien ne nous empêche d'imposer une telle contrainte) et nous avons alors:

equation   (8.104)

Dès lors nous avons:

equation   (8.105)

Nous pouvons très bien faire une analogie entre les deux relations (1') et (2') et les relations de Viète que nous avions obtenues pour le polynôme de degré 2 qui rappelons-le étaient:

equation  et   equation   (8.106)

à la différence que nous avons maintenant (nous adoptons une autre notation pour ces racines intermédiaires):

equation et equation   (8.107)  

ce qui nous donne pour le polynôme P en imposant (toujours par analogie) equation une nouvelle équation:

equation   (8.108)

dont equation sont les racines.

Cette dernière équation à pour discriminant:

equation   (8.109)

Prenons maintenant le cas par cas:

- Si equation, l'équation en Z admet deux solutions equation dont la somme va nous donner indirectement la valeur de X puisque par définition equation et equation et equation. Nous voyons que nous avons tous les ingrédients pour trouver la première racine de l'équation initiale qui sera la racine certaine (ou "zéro certain"). Ainsi:

equation   (8.110)

comme equation et que les racines supérieures sont cubiques nous avons nécessairement equation si tous les coefficients de l'équation originale sont bien dans equation.

- Si equation, nous le savons, l'équation en Z admet une racine double et puisque le discriminant comporte une puissance carrée de q cela signifie nécessairement que p est négatif.

Le polynôme P admet donc lui aussi une racine double et de même pour l'équation d'origine. Nous avons vu par ailleurs que pour un polynôme du second degré si le discriminant est nul les racines sont:

equation   (8.111)

alors par analogie:

equation   (8.112)

- Si  equation nous devons à nouveau utiliser les nombres complexes comme nous l'avons fait lors de notre étude du polynôme de degré 3. Ainsi, nous savons que l'équation en Z admet deux solutions complexes telles que:

equation   (8.113)

et à nouveau comme les racines sont conjuguées nous pouvons écrire sous la forme condensée:

equation   (8.114)

et comme:

equation   (8.115)

nous avons donc:

equation   (8.116)

Comme equation sont conjugués, nous avons nécessairement equation.

POLYNÔMES DE DEGRÉ 4

L'équation polynômiale à résoudre ici est:

equation   (8.117)

avec equation.

Remarque: Nous devons cette méthode de résolution à l'italien Lodovico Ferrari mathématicien italien du 16ème siècle également.

Quitte à diviser par a nous avons:

equation   (8.118)

Puis, en posant:

equation   (8.119)

l'équation se réduit:

equation   (8.120)

où nous voyons que le coefficient devant equation s'annule. Ainsi, tout polynôme du type:

equation   (8.121)

peut être écrit sous la forme suivante:

equation   (8.122)

En posant:

equation   (8.123)

Remarque: Si equation, l'équation à résoudre est en réalité une "équation bicarrée". Le changement de variable equation permet alors de se ramener à une équation polynomiale du deuxième degré (ce que nous savons facilement résoudre).

Nous introduisons maintenant un paramètre t (que nous choisirons judicieusement par la suite) et nous réécrivons l'équation polynomiale sous la forme suivante:

equation   (8.124)

Remarque: Si le lecteur développe et distribue tous les termes de la relation précédente il retombera bien évidemment sur equation.

L'idée sous-jacente est d'essayer de faire en sorte que la partie entre crochets de l'expression précédente puisse s'écrire comme un carré tel que:

equation   (8.125)

Car dans ce cas, en utilisant:

equation   (8.126)

Notre équation polynomiale peut alors s'écrire:

equation   (8.127)

et nous n'aurions plus qu'à résoudre deux équations polynomiales du deuxième degré (ce que nous savons déjà faire).

Or, pour que nous puissions écrire:

equation   (8.128)

Il faudrait que l'expression du deuxième degré à gauche de l'égalité n'ait qu'une seule racine. Or, nous avons vu dans notre étude des équations polynomiales du deuxième degré que cela signifiait dès lors que le déterminant est nul:

equation   (8.129)

et que la racine s'exprimait par:

equation   (8.130)

Ce qui correspond dans notre cas:

equation   (8.131)

et donc que:

equation   (8.132)

avec:

equation   (8.133)

Donc finalement, si t est tel que equation, alors nous avons:

equation   (8.134)

puisque le théorème fondamental des polynômes nous donne pour un polynôme du deuxième degré n'ayant qu'une seule racine:

equation   (8.135)

Pour conclure, il suffit de voir que trouver un nombre t vérifiant la relation:

equation   (8.136)

est un problème de degré 3 que nous savons déjà résoudre par la méthode de Cardan.

De telles méthodes générales n'existent plus pour les degrés égaux ou supérieurs à 5 comme nous le verrons à l'aide de la théorie de Galois (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).


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