IDENTITÉS REMARQUABLES



COURS SUR CALCUL ALGÉBRIQUE

1. Équations et inéquations

1. Équations

1. Inéquations

2. Identités remarquables

2.1. Triangle de Pascal

2.2. Binôme de Newton

3. Polynômes

3.1. Division euclidienne des polynômes

3.2. Théorème de factorisation des polynômes

3.3. Equations diophantiennes

3.4. Polynômes de degré 1

3.5. Polynômes de degré 2

3.5.1 Relations de Viète

3.6. Polynômes de degré 3

3.7. Polynômes de degré 4

3.8. Polynômes trigonométriques

3.9. Polynômes cyclotomiques

3.10. Polynômes de Legendre

Les identités remarquables sont des sortes formules magiques, qui nous servent le plus souvent pour la factorisation ou la résolution d'équations algébriques.

Rappelons certaines notions qui ont déjà été vues dans le chapitre de théorie des ensembles de la section d'arithmétique (nous supposons le concept d'élément neutre connu puisque déjà défini):

Commutativité: 

equation et equation   (8.31)

Associativité: 

equation et equation   (8.32)

Distributivité: 

equation   (8.33)

Les mêmes observations sont valables avec l'opération de soustraction bien évidemment dans les domaines de définition adéquats.

Nous pouvons vérifier avec des valeurs numériques (en remplaçant chaque nombre abstrait par un nombre choisi au hasard), ou par distribution (ce serait mieux, ainsi vous êtes sûr d'avoir compris ce dont quoi nous parlions), que les identités algébriques suivantes sont vérifiées (ce sont les plus connues):

1. Identité du second degré:

equation   (8.34)

2. Identité du troisième degré:

equation   (8.35)

Remarque: Nous pouvons très bien poser que equation  où nous avons bien évidemment posé que equation (nous faisons un "abstrait d'abstraction" ou plus couramment: un "changement de variable")...:

equation   (8.36)

Nous pouvons remarquer que pour calculer le développement de equation, nous utilisons le développement de equation, c'est-à-dire calculé avec la valeur précédente de n.

Nous remarquons les propriétés suivantes pour a et b:

P1. Les puissances de a décroissent de n à 0 (equation, donc il n'est pas noté dans le dernier terme)

P2. Les puissances de b croissent de 0 à n (equation, donc il n'est pas noté dans le dernier terme)

P3. Dans chaque terme, la somme des puissances de a et b est égal à n

P4. Les coefficients multiplicateurs devant chaque terme se calculent en faisant la somme des coefficients multiplicateurs de deux termes du développement obtenu avec la valeur précédente de b (voir la figure ci-dessous).

Les coefficients binomiaux peuvent alors êtres obtenus par construction du "triangle de Pascal" ci-dessous:

equation
  (8.37)

Dont chaque élément est donné par (cf. chapitre de Probabilités):

equation     (8.38)

avec equation.

Nous pouvons alors démonter que:

equation   (8.39)

ce qui constitue le fameux "binôme de Newton" (que nous réutiliserons à de multiples endroits sur le site).

Démonstration:

Cette relation se démontre simplement par récurrence en supposant la relation précédente vraie et en la calculant pour le rang 1 :

equation   (8.40)

Montrons que si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour n+1:

equation   (8.41)

La relation est vraie au rang n+1, elle est donc vraie pour tout n.

equationC.Q.F.D.

Pour ce qui est des identités remarquables avec des valeurs négatives, il est inutile d'apprendre par coeur l'emplacement du signe "-". Il suffit de faire un changement de variable et une fois le développement fait de refaire le changement de variable dans l'autre sens.

exempleExemple:

equation   (8.42)

et ainsi de suite pour toute puissance n.

Nous pouvons bien sûr mélanger les genres tels que (fameux exemple particulier):

equation   (8.43)

et quelques relations remarquables pratiques supplémentaires qui sont souvent utilisées dans les petites classes pour les exercices:

equation   (8.44)

et autre cas très fréquent:

equation   (8.45)

Remarque: Lorsqu'à partir du terme de droite (sous forme numérique simplifiée) le professeur demande à ses élèves en tant qu'exercice d'obtenir la factorisation à gauche de l'égalité, il n'existe pas d'autres moyens que de procéder par essais successifs.

Bien sûr, il y en a encore un beaucoup plus grand nombre de relations utiles (dont une partie découle d'une généralisation de celle présentées ci-dessus) que le lecteur découvrira par ses propres raisonnements et en fonction de sa pratique.

Remarque:  Il est bien sûr possible de multiplier des polynômes entre eux et de distribuer les termes multiplicatifs. Inversement, il est souvent demandé aux élèves des petites classes de faire la procédure inverse ("factoriser" ou "décomposer" un polynôme) afin qu'ils s'habituent à la manipulation des identités remarquables. Décomposer en un produit de facteurs est une opération importante en mathématiques, puisqu'il est ainsi possible de réduire l'étude d'expressions compliquées à l'étude de plusieurs expressions plus simples.

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