ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS



COURS SUR CALCUL ALGÉBRIQUE

1. Équations et inéquations

1. Équations

1. Inéquations

2. Identités remarquables

2.1. Triangle de Pascal

2.2. Binôme de Newton

3. Polynômes

3.1. Division euclidienne des polynômes

3.2. Théorème de factorisation des polynômes

3.3. Equations diophantiennes

3.4. Polynômes de degré 1

3.5. Polynômes de degré 2

3.5.1 Relations de Viète

3.6. Polynômes de degré 3

3.7. Polynômes de degré 4

3.8. Polynômes trigonométriques

3.9. Polynômes cyclotomiques

3.10. Polynômes de Legendre

L'algèbre élémentaire consiste à partir des définitions de l'addition, soustraction, multiplication, et puissance et de leurs propriétés (associativité, distributivité, commutativité, élément neutre, inverse, ...) - ce qui constitue selon l'ensemble sur lequel nous travaillons un corps ou un groupe commutatif abélien ou non (cf. chapitre Théorie des Ensembles) - de manipuler selon un but fixé des "équations algébriques" mettant en relation des variables et constantes..

Nous allons définir de suite après ce qu'est une équation et une inéquation mais nous souhaitons d'abord définir certaines de leurs propriétés:

Soit A et B deux polynômes (ou monômes) quelconques - voir définitions un peu plus loin - les expressions:

equation   (8.6)

Vérifient les propriétés suivantes:

P1. Nous pouvons toujours ajouter ou ôter aux deux membres d'une inéquation ou équation un même polynôme en obtenant une inéquation ou équation équivalente (c'est à dire avec les mêmes solutions ou réductions). Nous disons alors que l'égalité ou l'inégalité restent "vraies" par l'opération d'addition ou de soustraction membre à membre.

P2. Si nous multiplions ou si nous divisons les deux membres d'une équation ou inéquation par un même nombre positif nous obtenons également une inéquation ou équation équivalente (nous avons déjà vu cela). Nous disons alors que l'égalité ou l'inégalité reste "vraie" par l'opération de multiplicaton ou division membre à membre..

P3. Si nous multiplions ou si nous divisons les deux membres d'une inéquation par un même nombre négatif et si nous inversons le sens de l'inégalité, nous obtenons alors une inéquation ou équation équivalente.

ÉQUATIONS

Définition: Une "équation" est une relation d'égalité entre des valeurs toutes abstraites (autrement dit: deux expressions algébriques) ou non toutes abstraites (dès lors nous parlons d'équations à une inconnue, deux inconnues, trois inconnues, ... ) reliées entre elles par des opérateurs divers.

La maîtrise parfaite de l'algèbre élémentaire est fondamentale en physique-mathématique et dans l'industrie!!! Comme il existe une infinité de types d'équations, nous ne les présenterons pas ici. C'est le rôle de l'enseignant/formateur dans les classes d'entraîner le cerveau de son auditoire pendant plusieurs années (2 à 3 ans en moyenne) à résoudre énormément de configurations différentes d'équations algébriques (exposées sous forme de problèmes de tous les jours, géométriques ou purement mathématiques) et ce afin que les élèves manipulent ces dernières sans erreurs en suivant un raisonnement logique et rigoureux (ce n'est qu'en forgeant que l'on devient forgeron...)!!!

En d'autres termes: Un professeur/formateur et un établissement ad hoc sont irremplaçables pour acquérir un savoir et avoir un retour d'expérience!!!

Nous avons tenté, ci-dessous, de faire une généralisation simpliste des règles de base de l'algèbre élémentaire. Cette généralisation sera d'autant plus simple à comprendre que le lecteur aura l'habitude de manipuler des quantités abstraites:

Ainsi, soit a, b, c, d, e, ..., x, y des nombres abstraits pouvant prendre n'importe quelle valeur numérique (nous restons dans le cadre des nombres classiques scolaires et industriels...).

Soit equation (la lettre majuscule grecque se prononçant "Xi") représentant un ou plusieurs nombres abstraits (variables) opérants entre eux d'une façon quelconque tel que nous ayons des monômes (un seul nombre abstrait) ou polynômes (poly = plusieurs) algébriques différents distinguables ou non (nous faisons donc ici une sorte d'abstrait de l'abstraction ou si vous préférez une variable de plusieurs variables).

Propriétés (il s'agit plus d'exemples au fait que de propriétés...):

P1. Nous aurons toujours equation si et seulement si le terme equation à gauche de l'égalité représente le même terme equationque celui qui est à droite de l'égalité. Si cette condition est satisfaite nous avons alors :

equation  (8.7)

Sinon: 

equation   (8.8)

où nous excluons donc les cas où tous les equation sont identiques entre eux (sinon nous revenons à P1).

P3. Nous avons:

equation   (8.9)

qui vérifie la symbolique de l'équation equation dans le cas seulement où les éléments equationsont identiques entre eux (nous excluons bien évidemment le cas avec dénominateur nul).

Nous avons sinon dans le cas où tous les equationsont strictement différents: 

equation    (8.10)

Nous pouvons avoir:

equation    (8.11)

dans le cas où une simplification (ou non) des termes contenus dans les equation amène à une identité de la relation binaire (non nécessairement égale à l'unité).

P4. Si tous les equation sont strictement identiques, alors:

 equation   (8.12)

Sinon nous avons:

 equation   (8.13)

qui ne peut s'écrire sous forme condensée simple. Il peut aussi arriver que:

equation   (8.14)

avec le equationà droite de l'égalité identique à aucun, un ou encore plusieurs equation du membre gauche de l'égalité.

P5. Nous pouvons avoir:

equation    (8.15)

sans que nécessairement les exposants du numérateur ou dénominateur soient égaux (nous excluons le dénominateur nul)

Sinon nous pouvons avoir:

equation ou  equation    (8.16)

mais il n'est cependant bien évidemment pas impossible d'avoir quand même equation ou equation (nous excluons le cas avec dénominateur nul)

P6. Nous avons si tous les equationsont strictement identiques aux dénominateurs:

equation    (8.17)

Mais... il est également possible que dans l'expression précédente certains equationdifférents s'annulent cependant entre eux dès que leur divisions mutuelle est égale à l'unité (nous excluons le dénominateur nul).

Si tous les equation de la relation précédente sont identiques, la relation est égal à l'unité.

Sinon nous avons:

 equation  (8.18)

mais il n'est cependant pas impossible d'avoir quand même:

equation  (8.19)

avec le equationà droite de l'égalité identique à aucun, un ou plusieurs equation du membre gauche de l'égalité ou même il est tout à fait possible d'avoir:

equation   (8.20)

P7. Soit equation représentant indifféremment soit exclusivement l'addition ou exclusivement la soustraction nous avons (au signe près): 

equation   (8.21)

si tous les equation sont identiques entre eux ou si la combinaison d'un nombre indéterminés de equation sont égaux au equation présent à droite de l'égalité.

Sinon quoi nous aurons:

equation   (8.22)

il peut cependant arriver que le equation à droite de l'égalité soit identique à aucun, un ou plusieurs equation du membre gauche de l'égalité.

Nous pouvons également avoir: 

equation   (8.23)

si et seulement si les equation sont tous égaux (ou décomposable égaux) et les puissances equation non nécessairement égales.

A partir de la connaissance des ces 7 règles/exemples de base, nous pouvons résoudre, simplifier ou montrer qu'une équation simple possède des solutions ou non par rapport à un problème ou énoncé donné. 

Ainsi, soit equation une opérande ou une suite d'opérations quelconques sur une ou des abstractions d'abstrait equationet parmi tous les equation, une (ou plusieurs) dont la ou les valeurs numériques est ou sont inconnues (les autres étant connues). Alors, nous devons pouvoir trouver ou démontrer qu'une équation du type:

equation   (8.24)

possède ou non des solutions.

Dans le cas d'une équation avec la valeur absolue (cf. chapitre Opérateurs Arithmétiques) du type:

equation   (8.25)

avec le deuxième membre strictement positif (sinon la relation précédente serait un non sens) cela équivaut bien sûr d'après la définition de la valeur absolue à écrire:

equation et equation   (8.26)

Remarques:

R1. La présence de la valeur absolue dans une équation algébrique dont nous cherchons les solutions double souvent le nombre de solutions.

R2. Une équation est dite "équation conditionnelle", s'il y a des nombres dans l'ensemble de définition des expressions qui ne sont pas solutions (ce qui est en fait le cas le plus fréquent). Inversement, si tout nombre de l'ensemble de définition est solution de l'équation alors l'équation est dit "équation identité".

Nous pouvons parfois avoir à résoudre (et non à simplifier) un "système d'équations". Qu'est-ce que c'est ?: C'est un ensemble d'au moins 2 équations à résoudre (et non à simplifier!). La particularité du système ?  : L'ensemble des solutions du système est l'intersection des solutions de toutes les équations à résoudre. Quelle est leur utilité ?: Elle est sans fin, ces systèmes permettent de résoudre des problèmes faisant intervenir des applications des mathématiques à d'autres domaines. A cause de la variété illimitée des applications, il est difficile d'établir des règles précises pour trouver des solutions. La marche à suivre que voici peut-être utile pour autant bien sûr que le problème puisse être formulé sous forme d'équations:

1. Si le problème est posé par écrit, le lire plusieurs fois soigneusement, réfléchir aux faits donnés ainsi qu'à la quantité d'inconnues à trouver (résumer l'énoncé sur une feuille de papier est souvent plus qu'utile pour les gros problèmes!).

2. Choisir une lettre qui représente la quantité inconnue. C'est l'un des pas décisifs dans la recherche de la solution. Des phrases contenant des mots comme: trouver, quoi, combien, où, quand ; devraient vous renseigner sur la quantité inconnue.

3. Faire éventuellement un dessin (de tête ou sur papier) avec des légendes.

4. Dresser une liste des faits connus et des relations concernant les quantités inconnues. Une relation peut être décrite par une équation dans laquelle apparaissent d'un seul ou des deux côtés du signe égal des énoncés écrits à la place des lettres ou des nombres.

5. Après avoir analysé la liste de l'étape 4, formuler une ou plusieurs équations qui décrive nt précisément ce qui est énoncé avec des mots.

6. Résoudre l'équation ou le système d'équation formulée à l'étape 5.

7. Contrôler les solutions obtenues à l'étape 6 en se reportant à l'énoncé de départ du problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l'énoncé.

Les méthodes de résolutions des systèmes d'équations sont traités en détails dans le chapitre de Méthodes Numériques (vous y verrez la méthode) et également dans le chapitre d'Algèbre linéaire de la présente section (vous y comprendrez pourquoi la méthode est telle quelle).

INÉQUATIONS

Précédemment nous avons vu qu'une équation était une égalité composée de différents calculs avec différents termes (dont au moins une "inconnue" ou un "chiffre abstrait"), et que "résoudre" une équation revenait à calculer la valeur de l'inconnue de l'égalité, alors que la "simplifier" revenait à minimiser mathématiquement le nombre de termes (en factorisant ou autre..) et que développer revenait à mettre à plat tous les termes.

Pourquoi avons-nous besoin de rappeler la définition d'une équation ? Tout simplement parce que pour l'inéquation, c'est le même système. La différence ? Si l'équation est une égalité, l'inéquation est une inégalité: comme l'équation, l'inéquation est composée de différents calculs avec différents termes reliés entre eux par des opérateurs quelconques, dont au moins une inconnue.

Différence entre égalité et inégalité:

- Egalité: Symbolisée par le signe =

- Inégalité: Symbolisée par les relations d'ordre d'égalités strictes et larges equation.

Lorsque nous résolvons une inéquation, notre inconnue peut-avoir un intervalle de valeurs qui satisfont à l'inéquation. Nous disons alors que la solution de l'inéquation est un "ensemble de valeurs".C'est la différence fondamentale entre une égalité (plusieurs solutions) et une inégalité (intervalle de solutions) !

Rappelons les signes que nous pouvons rencontrer dans une inéquation sont:

equation : Se lit "strictement inférieur à" ou "strictement plus petit que". Dans ce cas, le plus souvent, la valeur butoir numérique n'est pas comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet ouvert à gauche ]... ou à droite ...[ selon que la valeur butoir est positive ou négative.

equation : Se lit "strictement supérieur à" ou "strictement plus grand que". Dans ce cas, le plus souvent, la valeur butoir numérique n'est également pas comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet ouvert à gauche ]... ou à droite ...[ selon que la valeur butoir est positive ou négative.

Remarque: Attention cependant pour les deux cas précités, il existe des situations où le domaine est imposé par l'ensemble de nombres sur lequel nous travaillons (penser par exemple à une inéquation où pour certaines valeurs les solutions appartiennent à l'ensemble des complexes). Dans ce cas, les valeurs butoirs à l'ensemble de nombres sur lequel nous travaillons peuvent imposer des crochets fermés.

equation : Se lit "inférieur ou égal à "ou "plus petit ou égal à". Dans ce cas, la valeur butoir numérique est comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet fermé à gauche [... ou à droite ...] (mais pas nécessairement les deux!) selon que la valeur butoir est positive ou négative.

equation : Se lit "supérieur ou égal à" ou "plus grand ou égal à" . Dans ce cas, la valeur butoir numérique est également comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet fermé à gauche [... ou à droite ...] (mais pas nécessairement les deux!) selon que la valeur butoir est positive ou négative.

Remarque: Nous renvoyons le lecteur au début de ce chapitre où nous avions définit la manière d'écrire des domaines de définition.

L'objectif des inéquations est la plupart du temps (excepté le côté esthétique) d'avoir au moins parmi l'ensemble des termes une valeur numérique qui permet de définir le domaine de solution (de tous les termes abstraits de l'inéquation) qui satisfait l'inéquation.

Il existe plusieurs façons de représenter les domaines de définition des variables qui satisfont à l'inéquation. Nous allons voir à travers un petit exemple quelles sont ces possibilités:

Soit une inéquation linéaire (du premier degré) en x à une seule inconnue à laquelle nous imposons une contrainte particulière arbitraire pour l'exemple (évidemment l'expression peut contenir plus de termes...):

equation   (8.27)

nous avons dans l'inéquation ci-dessus déjà simplifié tous les termes qui étaient superflus.

Résoudre l'inégalité revient à chercher les valeurs de x inférieures à 2. Bien sûr, il n'existe pas une seule solution dans equation mais un ensemble (intervalle) de solutions et c'est cela même le principe des inéquations!

Pour résoudre l'inéquation, nous observons d'abord le type d'inégalité imposée ("stricte" ou "égal"). Ensuite, dans les petites classes (et pas seulement parfois...) nous représentons l'ensemble equation traditionnellement par un tableau tel que:

-equation

0

+equation

................... ......|...... ...................
Tableau: 8.1  - Résolution d'inéquation

Nous savons intuitivement que la solution de notre inéquation regroupe toutes les valeurs inférieures à 2 (2 exclu des solutions) et ce jusqu'à -equation. Nous écrivons alors cet intervalle ou domaine sous la forme suivante:

equation   (8.28)

Ensuite, nous pouvons représenter graphiquement l'ensemble des solutions (cela aide à comprendre et prépare l'étudiant à la résolution de systèmes d'équations et d'inéquations et aux variations de fonctions). Pour cela, nous reprenons le modèle de schéma du système numérique, et y plaçons notre valeur butoir (nous n'en avons qu'une dans cet exemple mais parfois il peut y en avoir plusieurs dû au fait qu'il y a une singularité ou des racines pour certaines valeurs du domaine de définition), soit 2:

-equation

0

2

+equation

................... ......|...... ......|...... ...................
Tableau: 8.2  - Construction des points particuliers de l'inéquation

et enfin, nous délimitons au stylo de couleur (...) l'ensemble des solutions de -equation à 2 exclu:

-equation

0

2

+equation

................... ......|...... ......[...... ...................
Tableau: 8.3  - Mise en place du type de bornes l'inéquation

A la valeur 2, nous n'oublions pas de marquer le signe ....[ pour montrer que cette valeur est exclue des solutions. Et voilà, le tour est joué et le concept est extrapolable a des inéquation beaucoup plus complexes.

Remarques:

R1. Parfois au lieu de représenter les tableaux comme nous l'avons fait, certains professeurs (c'est un choix complètement artistique) demandent à leur élèves d'hachurer les cases du tableau et d'y dessiner de petits ronds, ou encore se servent de petites flèches, ou encore de dessiner le graphique des fonctions de l'inéquation (cette dernière méthode est certes esthétique mais prend du temps..).

R2. Dans le cadre d'inéquations de degré supérieur à 1, il faut (voir plus loin ce que cela signifie exactement) d'abord déterminer les racines de l'inéquation qui permettent de déterminer les intervalles et ensuite par essais successifs, déterminer quels intervalles sont à rejeter ou a conserver.

Nous pouvons également (au même titre que les équations) parfois avoir à résoudre un "système d'inéquations". Qu'est-ce que c'est ?: C'est un ensemble d'au moins 2 inéquations à résoudre. La particularité du système ?  : L'ensemble des solutions du système est l'intersection des solutions des toutes les inéquations à résoudre.

Autrement dit, la méthode est la même que la précédente, à la différence que notre tableau (représentant les domaines de solutions) comportera une ligne supplémentaire par inéquation supplémentaire dans le système plus une ligne de synthèse qui est la projection des domaines de solutions possibles du système.

Ainsi, un système à n inéquations aura un tableau récapitulatif à equation lignes.

Mathématiquement, les domaines (car ils peuvent y en avoir plusieurs qui sont disjoints) peuvent s'écrire comme un ensemble des domaines:

equation   (8.29)

Les systèmes d'inéquations sont très fréquents dans beaucoup de problèmes de la mathématique, physique, économétrie, etc... Il est donc important de s'entraîner à les résoudre pendant vos études avec l'aide de votre professeur.

Par exemple, voici une possible représentation du domaine de solutions d'un système d'inéquations pris du chapitre de Méthodes Numériques où nous étudions la "recherche opérationnelle".

equation
  (8.30)


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