1. RELATIONS BINAIRES



OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES

1. Relations binaires

1.1. Egalités

1.2. Comparateurs

1.2.1 Relations binaires réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives et connexes

1.2.2 Classes d'équivalences

2. Lois fondamentales de l'arithmétique

2.1. Addition

2.2. Soustraction

2.3. Multiplication

2.4. Division

3. Polynômes arithmétiques

4. Valeur absolue

5. Règles de calcul

Le concept de "relation" est la base de toute la mathématique dont le but est d'étudier - par observation et déduction (raisonnement), calcul et comparaison - des configurations ou relations abstraites ou concrètes de ses objets (nombres, formes, structures) en cherchant à établir les liens logiques, numériques ou conceptuels entre ces objets.

Définitions:

D1. Considérons deux ensembles non vides E et F (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) non nécessairement identiques. Si à certains éléments x de E nous pouvons associer par une règle mathématique précise R (non ambiguë) un élément y de F, nous définissons ainsi une "relation fonctionnelle" de E vers F et qui s'écrit:

equation   (3.1)

Ainsi, de façon plus générale, une relation fonctionnelle R peut être définie comme une règle mathématique qui associe à certains éléments x de E, certains éléments y de F.

Alors, dans ce contexte plus général, si xRy, nous disons que y est une "image" de x par R et que x est un "antécédent" ou "pré-image" de y.

L'ensemble des couples (x, y) tel que xRy soit une assertion vraie forme un "graphe" ou une "représentation" de la relation R. Nous pouvons représenter ces couples dans un repère adéquatement choisi pour faire une représentation graphique de la relation R.

Il s'agit d'un type de relations sur lequel nous reviendrons dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle et qui ne nous intéresse pas directement dans ce chapitre

D2. Considérons un ensemble A non vide, si nous associons à cet ensemble (et à celui-ci uniquement!) des outils permettant de comparer les éléments le composant alors nous parlons de "relation binaire" ou "relation de comparaison" et qui s'écrit pour tout élément x et y composant A:

xRy   (3.2)

Ces relations peuvent aussi être représentées sous forme graphique. Dans le cas des opérateurs binaires classiques de comparaisons où A est l'ensemble des nombres naturels, relatifs, rationnels ou réels, cette forme graphique est représentée par une droite horizontale (le plus souvent...) dans le cas de la congruence (cf. chapitre de Théorie des Nombres) elle est représentée par des droites dans le plan dont les points sont donnés par la contrainte de la congruence.

Comme nous l'avons déjà dit, il existe 6 relations binaires fondamentales (égal, différent de, plus grand que, plus petit que, plus grand ou égal, plus petit ou égal). Mais nous verrons un peu plus loin que la définition rigoureuse des relations binaires permet donc de construire des outils plus abstraits (comme par exemple la congruence bien connue par les élèves de petites classes et que nous étudierons dans le chapitre de Théorie des Nombres).

1.1. ÉGALITÉS

Il est fort difficile de définir la notion "d'égalité" dans un cas général applicable à toute situation. Pour notre part, nous nous permettrons pour cette définition de nous inspirer du théorème d'extensionalité de la théorie des ensembles (que nous verrons plus tard):

Définitions:

D1. Deux éléments sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes valeurs. L'égalité est décrite par le symbole = qui signifie "égal à".

Propriété (triviale) : Si nous avons equation, et c un nombre et equation une opération quelconque (tel que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division) alors :

 equation   (3.3)

Cette propriété est très utilisée pour résoudre ou simplifier des équations de type quelconque.

D2. Si deux éléments ne sont pas égaux (donc sont inégaux...), nous les relions par le symbole equation et nous disons qu'ils sont "non égaux"

Il existe encore d'autres symboles d'égalités, qui sont une extension des deux que nous avons définis précédemment. Malheureusement, ils sont assez souvent mal utilisés (disons plutôt qu'ils sont utilisés aux mauvais endroits) dans la plupart des ouvrages disponibles sur le marché :

equation   (3.4)

qui correspondent dans l'ordre à : presque égal (plutôt utilisé en ingénierie), asymptotiquement égal à (utilisé en analyse fonctionnelle), approximativement égal (utilisé en physique lors d'approximation de séries), identique à (utilisé aussi bien en analyse fonctionnelle qu'en physique), tend vers la limite (idem) et enfin proportionnel à (utilisé en physique ou en mathématiques financières).

1.2. COMPARATEURS

Les comparateurs sont des outils qui nous permettent de comparer et d'ordonner tout couple de nombres (et in extenso aussi des ensembles!).

La possibilité d'ordonner des nombres est presque fondamentale en mathématique. Dans le cas contraire (s'il n'était pas possible ou non imposé d'ordonner), il y aurait des tas de choses qui choqueraient nos habitudes, par exemple (certains des concepts présentés dans la phrase qui suit n'ont pas encore été vus mais nous souhaitons quand même y faire référence) : plus de fonctions monotones (en particulier de suites) et lié à cela la dérivation n'indiquerait donc rien sur un "sens de variation", plus d'approche de zéros d'un polynôme par dichotomie (algorithme classique de recherche dans un ensemble ordonné partagé en deux à chaque itération), en géométrie, plus de segments ni de demi-droites, plus de demi-espace, plus de convexité, nous ne pouvons plus orienter l'espace, etc. C'est donc important de pouvoir ordonner les choses comme vous l'aurez compris.

Ainsi, pour tout equation nous écrivons lorsque a est plus grand ou égal à b :

equation    (3.5)

et lorsque a est plus petit ou égal à b :

equation    (3.6)

Remarque: Il est utile de rappeler que l'ensemble des réels equationest un groupe totalement ordonné (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), sans quoi nous ne pourrions pas définir des relations d'ordre entre ces éléments (ce qui n'est pas le cas des nombres complexes que nous ne pouvons pas ordonner!).

Définition: Le symbole equation est une "relation d'ordre" (voir la définition rigoureuse plus bas!) qui signifie "plus petit que" et inversement le symbole equation est aussi une relation d'ordre qui signifie "plus grand que".

Nous avons également concernant la relation de comparaison stricte (qui n'appartient pas à la famille des relations d'ordre pour des raisons que nous préciserons plus loin) les propriétés suivantes qui sont relativement intuitives:

equation et equation    (3.7)

implique (ultérieurement noté "equation") que :

equation   (3.8)

Si :

equation et equation   (3.9)

Si :

equation et equation   (3.10)

inversement :

equation et equation   (3.11)

Nous avons aussi :

equation   (3.12)

et inversement : 

equation   (3.13)

Nous pouvons bien évidemment multiplier, diviser, additionner ou soustraire un terme de chaque côté de la relation telle que celle-ci soit toujours vraie. Petite remarque cependant, si vous multipliez les deux membres par un nombre négatif il faudra bien évidemment changer le comparateur tel que si :

equation    (3.14)

et inversement:

equation   (3.15)

Nous avons aussi:

equation    (3.16)

Soit :

equation    (3.17)

Si p est un nombre entier pair alors :

equation   (3.18)

sinon si p est impair:

equation   (3.19)

Ce résultat provient simplement de la multiplication des signes puisque la puissance lorsqu'elle est non fractionnaire n'est qu'une multiplication.

Finalement :

equation   (3.20)

Les relations d'ordre :

equation    (3.21)

correspondent donc respectivement à : (strictement) plus grand que, (strictement) plus petit que, plus petit ou égal à, plus grand ou égal à, beaucoup plus grand que et enfin beaucoup plus petit que.

Les relations d'ordre peuvent être définies de façon un peu plus subtile et rigoureuse et abstraite et ne s'appliquent pas seulement aux comparateurs (voir par exemple la relation de congruence dans le chapitre de Théorie Des Nombres)!

Voyons cela de suite (le vocabulaire qui va suivre est aussi défini dans le chapitre de Théorie Des Ensembles) :

Définition: Soit une relation binaire R d'un ensemble A vers lui-même, une relation R dans A est un sous-ensemble du produit cartésien  equation (c'est-à-dire que la relation binaire engendre un sous-ensemble de par les contraintes qu'elle impose aux éléments de A qui satisfont la relation) avec la propriété d'être:

P1.  Une "relation réflexive" si equation:

 equation   (3.22)

P2. Une "relation symétrique" si equation:

equation   (3.23)

P3. Une "relation antisymétrique" si equation

equation   (3.24)

P4. Une "relation transitive" si equation:

equation   (3.25)

P5. Une "relation connexe" si equation:

equation   (3.26)

Les mathématiciens ont donné des noms particuliers aux familles de relations satisfaisant certaines de ces propriétés.

Définitions:

D1. Une relation est appelée "relation d'ordre stricte" si et seulement si elle est uniquement transitive (certains spécifient alors qu'elle est donc forcément antiréflexive mais on s'en doute...).

D2. Une relation est appelée un "pré-ordre" si et seulement si elle y est réflexive et transitive.

D3. Une relation est appelée "une relation d'équivalence" si et seulement si elle y est réflexive, symétrique et transitive.

D4. Une relation est appelée "relation d'ordre" si et seulement si elle y est réflexive, transitive et antisymétrique.

D5. Une relation est appelée "relation d'ordre total" si et seulement si elle y est réflexive, transitive, connexe et antisymétrique.

Pour les autres combinaisons il semblerait (?) qu'il n'y ait pas de désignations particulières chez les mathématiciens...

Remarque: Les relations d'ordre binaire ont toutes des propriétés similaires dans les ensembles naturels, rationnels, relatifs et réels (il n'y a pas de relation d'ordre naturelle sur l'ensemble des nombres complexes).

Si nous résumons :

Relation binaire
equation
equation
equation
equation
equation
equation
réflexive
oui
non
non
non
oui
oui
symétrique
oui
oui
non
non
non
non
transitive
oui
non
oui
oui
oui
oui
connexe
non
non
non
non
oui
oui
antisymétrique
oui
non
non
non
oui
oui
Tableau: 3.1  - Types de relations binaires

Ainsi, nous voyons que les relations binaires equation forment avec les ensembles précités, des relations d'ordre total et qu'il est très facile de voir quelles relations binaires sont des relations d'ordre partiel, total ou d'équivalence.

Définition: Si R est une relation d'équivalence sur A. Pour  equation, la "classe d'équivalence" de x est par définition l'ensemble:

equation   (3.27)

[x] est donc un sous-ensemble de A (equation) que nous noterons aussi... par la suite R (attention donc à ne pas confondre dans ce qui suit la relation d'équivalence et le sous-ensemble...).

Nous disposons ainsi d'un nouvel ensemble qui est "l'ensemble des classes d'équivalences" ou "ensemble quotient" noté A/R. Ainsi :

equation   (3.28)

Il faut savoir que dans A/R nous ne regardons plus [x] comme un sous-ensemble de A mais comme un élément!

Une relation d'équivalence, de manière vulgarisée sert donc à coller une seule étiquette à des éléments qui vérifient une même propriété, et à les confondre avec ladite étiquette (en sachant ce que nous faisons avec cette étiquette).

exempleExemple:

Dans l'ensemble des entiers relatifs equation, si nous étudions les restes de la division par 2, nous avons que ceux-ci valent toujours soit 0 soit 1.

La classe d'équivalence de zéro est alors appelée l'ensemble des nombres entiers pairs, la classe d'équivalence de 1 est appelée l'ensemble des entiers impairs. Nous avons donc deux classes d'équivalences pour deux partitions de equation (gardez toujours cet exemple simple en tête pour les éléments théorique qui suivront cela aide énormément).

Si nous nommons la première 0 et la deuxième 1, nous retrouvons les règles d'opérations entre nombres pairs et impairs :

equation   (3.29)

ce qui signifie respectivement que la somme de deux entiers pair est pair, que la somme d'un pair et d'un impair est impair et que la somme de deux impairs est pair.

Et pour la multiplication :

equation   (3.30)

ce qui signifie respectivement que le produit de deux pairs est pair, le produit d'un pair et d'un impair est pair et que le produit de deux impairs est impair.

Et hop, nous avons déplacé les opérations de equation sur cet ensemble quotient noté equation.

Maintenant, pour vérifier que nous avons bien affaire à une relation d'équivalence, il faudrait encore vérifier qu'elle est réflexive (xRx), symétrique (si xRy alors yRx) et transitive (si xRy et yRz alors xRz). Nous verrons comment vérifier cela quelques paragraphes plus loin car cet exemple constitue un cas très particulier de relation de congruence.

Définition: L'application equation définie par equation est appelée "projection canonique". Tout élément equation est alors appelé "représentant de la classe" [x].

Considérons maintenant un ensemble E. Alors nous proposons de démontrer qu'il y a bijection entre l'ensemble des relations d'équivalences sur E et l'ensemble des partitions de E. En d'autres termes cette proposition dit qu'une relation d'équivalence sur E n'est rien d'autre qu'une partition de E.

Démonstration:

Soit R une relation d'équivalence sur E. Nous choisissons equation comme ensemble d'indexation des partitions et nous posons pour tout equation, equation.

Il suffit de vérifier les deux propriétés suivantes de la définition des partitions pour montrer que la famille equation est une partition de E :

P1. Soit equation tels que equation alors (trivial) equation.

P2. equation est évident car si equation alors equation.

equationC.Q.F.D.

Encore une fois, il est aisé de vérifier avec l'exemple pratique de la division par 2 donné plus haut que la partition des nombres pairs et impairs satisfont ces deux propriétés.

Nous avons donc associé à la relation d'équivalence R une partition de E. Réciproquement si equation est une partition de E alors nous vérifions facilement que la relation R définie par xRy si et seulement s'il existe equation tel que equation est une relation d'équivalence! Les deux applications ainsi définies sont bijectives et réciproques l'une de l'autre.

exempleExemple:

Nous allons à présent appliquer sur un exemple un peu moins trivial que le précédent ce que nous venons de voir à la construction des anneaux equation après quelques rappels (pour le concept d'anneau voir le chapitre de Théorie Des Ensembles).

Rappels :

R1. Soit deux nombres equation. Nous disons que "n divise m" et nous écrivons equation si et seulement si il existe un entier equation tel que equation (cf. chapitre de Théorie Des Nombres).

R2. Soit equation un entier. Nous définissons la relation R par nRm si et seulement si equation ou dit autrement nRm si et seulement si il existe equation tel que equation. Généralement nous écrivons ceci aussi equation (modulo d) au lieu de equation et nous disons que "n est congru à m modulo d". Rappelons aussi que equation (modulo d) si et seulement si d divise n (cf. chapitre de Théorie Des Nombres).

Nous allons maintenant introduire une relation d'équivalence sur equation . Démontrons que pour tout entier equation, la congruence modulo d est une relation d'équivalence sur equation (nous avons déjà démontré cela dans le chapitre de théorie des nombres lors de notre étude de la congruence mais refaisons le travail pour le plaisir).

Démonstration (contrôle des trois propriétés de l'équivalence):

P1. Réflexivité : equation car equation.

P2. Symétrie : Si equation alors equation et donc equation c'est-à-dire equation.

P3. Transitivité : Si equation et equation alors equationet equation donc equation c'est-à-dire equation.

equationC.Q.F.D.

Dans la situation ci-dessus, nous notons equation l'ensemble des classes d'équivalences et noterons equation la classe d'équivalence de la congruence d'un entier n donné par :

equation   (3.31)

(chaque différence de deux valeurs se trouvant dans les accolades est divisible par d et c'est ainsi bien un classe d'équivalence) et ainsi :

equation   (3.32)

En particulier (trivial car nous obtenons ainsi tout equation) :

equation   (3.33)

Ainsi, nous voyons que le premier exemple que nous avions donné avec les nombres pairs et impairs est un cas particulièrement simple des classes d'équivalences de congruence modulo 2 car elle se réduisent toutes à seulement deux classes.

Remarque: Les opérations d'addition et de multiplication définies sur equation définissent des opérations d'addition et de multiplication sur equation. Nous disons alors que ces opérations sont compatibles avec la relation d'équivalence et forment alors un anneau (cf. chapitre de Théorie Ensembles).

page suivante : 2. Lois fondamentales de l'arithmétique