3. POLYNÔMES ARITHMÉTIQUES



OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES

1. Relations binaires

1.1. Egalités

1.2. Comparateurs

1.2.1 Relations binaires réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives et connexes

1.2.2 Classes d'équivalences

2. Lois fondamentales de l'arithmétique

2.1. Addition

2.2. Soustraction

2.3. Multiplication

2.4. Division

3. Polynômes arithmétiques

4. Valeur absolue

5. Règles de calcul

Définition: Un "polynôme arithmétique" (à ne pas confondre avec les polynômes algébriques qui seront étudiés dans la section d'Algèbre) est un ensemble de nombres séparés les uns des autres par les opérations d'addition ou de soustraction (+ ou -). 

Les composants enfermés dans le polynôme sont appelés "termes" du polynôme. Lorsque le polynôme contient un unique terme, nous parlons alors de "monôme", s'il y a deux termes nous parlons de "binôme", et ainsi de suite...

La valeur d'un polynôme arithmétique est égale à l'excès de la somme des termes précédés du signe + sur la somme des termes précédés du signe -.



Démonstration:

equation
  (3.90)

quelque soit les valeurs des termes.

equationC.Q.F.D.

Mettre en évidence l'unité négative -1 est ce que nous appelons une "factorisation" ou "mise en facteurs". L'opération inverse, s'appelant une "distribution".

Le produit de plusieurs polynômes peut toujours être remplacé par un polynôme unique que nous appelons le "produit effectué". Nous opérons habituellement comme  suit: nous multiplions successivement tous les termes du premier polynôme, en commençant par la gauche, par le premier, le second, ..., le dernier terme du second polynôme. Nous obtenons ainsi un premier produit partiel. Nous faisons, s'il y a lieu, la réduction des termes semblables. Nous multiplions ensuite chacun des termes du produit partiel successivement par le premier, le second, ..., le dernier terme du troisième polynôme en commençant par la gauche et ainsi de suite.

Le produit des polynômes A,B,C, ...L, ... est la somme de tous les produits de n facteurs formés avec un terme de A, un terme de B, ..., et un terme de L. S'il n'y a aucune réduction, le nombre des termes du produit est égal au produit des nombres des termes des facteurs.

4. VALEUR ABSOLUE

Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.

exemple Exemples:

E1. +7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7

E2. -5 est constitué du signe - et de la valeur absolue 5

La valeur absolue de +7 est donc 7, la valeur absolue de -5 est donc 5.

Définition: Pour tout nombre réel x, la "valeur absolue" de x, notée equation est donnée par:

equation   (3.91)

Nous remarquons que:

equation   (3.92)

Ainsi que les expressions équivalentes:

equation   (3.93)

et :

equation   (3.94)

et encore:

equation   (3.95)

ces dernières étant souvent utilisées dans le cadre de la résolution des inéquations.

Indiquons qu'il est aussi utile d'interpréter l'expression equation comme la distance entre les deux nombres x et y sur la droite réelle. Ainsi, en munissant l'ensemble des nombres réels de la distance valeur absolue, il devient un espace métrique.

La résolution d'une inéquation telle que equation se résout alors simplement à l'aide de la notion de distance. La solution est l'ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou égale à 9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayons 9 ou autrement écrit:

equation   (3.96)

La valeur absolue a quelques propriétés triviales que nous énoncerons sans démonstrations:

P1. La valeur absolue de la somme algébrique de plusieurs nombres réels est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues des composantes de la somme:

equation   (3.97)

ce que les mathématiciens appellent parfois la "première inégalité triangulaire".

P2. La valeur absolue de la différence est supérieure ou égale à la valeur absolue de la différence des valeurs absolues des composantes de la différence:

equation   (3.98)

ce que les mathématiciens appellent parfois la "deuxième inégalité triangulaire".

P3. La valeur absolue du produit (multiplication) est égale au produit des valeurs absolues:

equation   (3.99)

P4. La valeur absolue du rapport est égale au rapport des valeurs absolues:

equation   (3.100)

5. RÉGLES DE CALCUL

Fréquemment en informatique (dans le développement en particulier), nous parlons de "priorité des opérateurs". En mathématiques nous parlons de "priorité des ensembles d'opérations et des règles des signes". De quoi s'agit-il exactement?

Nous avons déjà vu quelles étaient les propriétés des opérations d'addition, soustraction, multiplication, mise en puissance et division. Nous tenons donc à ce que le lecteur différencie la notion de "propriété" de celle ce de "priorité" (que nous allons tout de suite voir) qui sont des choses complètement différentes.

En mathématiques, en particulier, nous définissons les priorités des symboles: {[( )]}

Autrement dit:

1. Les opérations qui sont entre parenthèses ( ) doivent êtres effectuées en premier dans le polynôme.

2. Les opérations qui sont entre crochets [ ] doivent êtres effectuées en second à partir des résultats obtenus des opérations qui se trouvaient entre les parenthèses ( ).

3. Finalement, à partir des résultats intermédiaires des opérations qui se trouvaient entre parenthèses ( ) et crochets [ ], nous calculons les opérations qui se situent entre les accolades { }.

Faisons un exemple, ceci sera plus parlant.

exempleExemple:

Soit à calculer le polynôme:

equation   (3.101)

Selon les règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons d'abord tous les éléments qui sont entre parenthèses ( ), c'est-à-dire:

equation, equation, equation   (3.102)

ce qui nous donne:

equation   (3.103)

Toujours selon le règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons maintenant tous les éléments entre crochets en commençant toujours à calculer les termes qui sont dans les crochets [ ] au plus bas niveau des autres crochets [ ]. Ainsi, nous commencons par calculer l'expression equation qui se trouve dans le crochet de niveau supérieur: equation.

Cela nous donne equation et donc:

equation   (3.104)

Il nous reste à calculer maintenant equation et donc:

equation   (3.105)

Nous calculons maintenant l'unique terme entre accolades, ce qui nous donne :

 equation   (3.106)

Finalement il nous reste:

equation   (3.107)

Evidemment il s'agit d'un cas particulier... Mais le principe est toujours le même.

La priorité des opérateurs arithmétiques est une notion spécifique aux langages informatiques (comme nous en avons déjà fait mention) du fait qu'on ne peut dans ces derniers écrire des relations mathématiques que sur une ligne unique.

Ainsi, en informatique l'expression: 

equation   (3.108)

s'écrit (à peu de choses près) : 

equation   (3.109)

Un non-initié pourrait y lire:

equation ou equation ou equation   (3.110)

ou :

equation    (3.111)

et encore quelques autres... ce qui vous en conviendrez, est fort dangereux car nous arriverons à des résultats différents à chaque fois (cas particuliers mis à part...) !

Ainsi, il a logiquement été défini un ordre de priorité des opérandes tel que les opérations soient effectuées dans l'ordre suivant:

1. - Négation

2. ^ Puissance

3. * / Multiplication et division

4. \ division entière (spécifique à l'informatique)

5. Mod Modulo (cf. chapitre de Théorie Des Nombres)

6. + - Addition et soustraction

Evidemment les règles des parenthèses ( ), crochets [ ], et accolades { } qui ont été définies en mathématiques s'appliquent à l'informatique.

Ainsi, nous obtenons dans l'ordre (nous remplaçons chaque opération effectuée par un symbole):

D'abord les termes entre parenthèses:

equation   (3.112)

Ensuite les règles de priorité des opérateurs s'appliquent dans l'ordre défini précédemment:

D'abord (1):

 equation   (3.113)

ensuite (2) : 

 equation   (3.114)

nous appliquons la multiplication (3): 

equation    (3.115)

et finalement la division (3): 

 equation   (3.116)

Les règles (4) et (5) ne s'appliquent pas à cet exemple particulier.

Finalement (6) :

  equation   (3.117)

Ainsi, en suivant ces règles, ni l'ordinateur, ni l'être humain ne peuvent (ne devraient) se tromper lors de l'interprétation d'une équation écrite sur une ligne unique.

En informatique, il existe cependant plusieurs opérateurs que nous ne retrouvons pas en mathématiques et qui changent souvent de propriétés d'un langage informatique à un autre. Nous ne nous attarderons pas trop là-dessus cependant, nous avons mis ci-dessous un petit descriptif:

L'opérateur de concaténation " & " est évalué avant les opérateurs de comparaisons.

Les opérateurs de comparaison (=, <, >, ...) possèdent tous une priorité identique.

Cependant, les opérateurs les plus à gauche dans une expression, détiennent une priorité plus élevée.

Les opérateurs logiques sont évalués dans l'ordre de priorité suivant:

1. Not - 2. And - 3. Or - 4. Xor - 5. Eqv - 6. Imp

Maintenant que nous avons vu les priorités des opérateurs, quelles sont les règles des signes en vigueur en mathématiques?

D'abord, il faut savoir que ces dernières ne s'appliquent que dans le cas de la multiplication et la division. Soit deux nombres positifs equation. Nous avons:

  equation   (3.118)

Autrement dit, la multiplication de deux nombres positifs est un nombre positif et ceci est généralisable à la multiplication de n nombres positifs.

Nous avons:

equation   (3.119)

Autrement dit, la multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif. Ce qui est généralisable à un résultat positif de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombres négatifs et à un résultat négatif pour un nombre impair de nombres négatifs sur la totalité n des nombres de la multiplication.

Nous avons:

equation   (3.120)

Autrement dit, la multiplication de deux nombres négatifs est positif. Ce qui est généralisable à un résultat positif de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombre négatifs et à un résultat négatif pour un nombre impair de nombres négatifs.

Pour ce qui est des divisions, le raisonnement est identique:

equation  et equation   (3.121)

Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat de la division sera positif.

Nous avons:

equation  et equation   (3.122)

Autrement dit, si soit le numérateur ou le dénominateur est négatif, alors le résultat de la division sera forcément négatif.

Nous avons:

equation  et equation   (3.123)

Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat de la division, sera forcément positif.

Evidemment, si nous avons une soustraction de termes, il est possible de la récrire sous la forme :

equation   (3.124)