2. LOIS FONDAMENTALES DE L'ARITHMÉTIQUE



OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES

1. Relations binaires

1.1. Egalités

1.2. Comparateurs

1.2.1 Relations binaires réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives et connexes

1.2.2 Classes d'équivalences

2. Lois fondamentales de l'arithmétique

2.1. Addition

2.2. Soustraction

2.3. Multiplication

2.4. Division

3. Polynômes arithmétiques

4. Valeur absolue

5. Règles de calcul

Comme nous l'avons déjà dit précédemment, il existe un opérateur de base (addition) à partir duquel il possible de définir la multiplication, la soustraction (à condition que l'ensemble de nombres soit ad hoc) et la division (même remarque que pour la soustraction) et autour desquels nous pouvons construire toute la mathématique analytique.

Bien évidemment il y a certains subilités à prendre en compte lorsque le niveau de rigueur augmente. Le lecteur peut alors se rapport au chapitre de Théorie Des Ensembles où ses lois fondamentales sont redéfinies avec plus de justesse.

Delucq

2.1. ADDITION

Définition: L'addition de nombres entiers est une opération notée "+" qui a pour seul but de réunir en un seul nombre toutes les unités contenues dans plusieurs autres. Le résultat de l'opération se nomme "somme" ou "total". Les nombres à additionner sont appelés "termes de l'addition".

Remarque: Les signes d'addition "+" et de soustraction "-" sont dus à Widmann (1489). 

Ainsi, A+B+C... sont les termes de l'addition et le résultat est la somme des termes de l'addition.

Voici une liste de quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de l'opération de l'addition:

P1. La somme de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors que l'addition est une "opération commutative". Ce qui signifie que nous avons si A est différent de B:

equation

P2. La somme de plusieurs nombres ne change pas si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que l'addition est "opération associative".

P3.  Le zéro est l'élément neutre de l'addition car tout nombre additionné à zéro donne ce même nombre.

P4. Suivant l'ensemble dans lequel nous travaillons, l'addition peut comporter un terme de telle façon à ce que le total soit nul. Nous disons alors qu'il existe un "opposé" pour l'addition.

Nous allons définir plus rigoureusement l'addition en utilisant l'axiomatique de Peano dans le cas particulier de l'ensemble des nombres entiers naturels comme nous en avons déjà fait mention dans le chapitre traitant des Nombres. Ainsi, avec ces axiomes il est possible de démontrer qu'il existe (existence) une et une seule application (unicité), notée "+", de equation dans equation vérifiant :

equation

s signifie: "successeur".

Remarque: Ce site n'ayant pas pour vocation de s'adresser à des mathématiciens, nous nous passerons de la démonstration (relativement longue) et admettrons intuitivement que l'application "+" existe et est unique... et qu'il en découle les propriétés susmentionnées.

Soit equation des nombres quelconques alors nous pouvons noter également la somme ainsi:

equation   (3.34)

en définissant des bornes supérieures et inférieures à la somme indexée (au-dessus et en-dessous de la lettre grecque majuscule "sigma").

Voici quelques rappels des propriétés relatives à cette notation condensée:

equation   (3.35)

k est une constante et :

equation   (3.36)

equation   (3.37)

Voyons maintenant quelque cas concrets d'additions de différents nombres simples afin de mettre en pratique les bases.

exempleExemples:

L'addition de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par coeur à compter jusqu'au nombre résultant de cette opération. Ainsi (exemples pris sur la base décimale) :

equation , equation, equation   (3.38)

Pour les plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par coeur. Ainsi par exemple:

equation   (3.39)

Démarche : nous additionnons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite à gauche. Pour la première colonne nous avons donc 4+5=9 ce qui nous donne :

equation   (3.40)

et nous continuons ainsi pour la deuxième 4+7=11 mais à la différence que comme nous avons un nombre supérieur à la dizaine, nous reportons le premier chiffre (de gauche) sur la colonne suivante de l'addition. Ainsi:

equation   (3.41)

La troisième colonne se calcule dès lors comme 4+2+1=7 ce qui nous donne:

equation   (3.42)

Pour la dernière colonne nous avons 9+5=14 et à nouveau nous reportons le premier chiffre (de gauche) sur la colonne suivante de l'addition. Ainsi:

equation    (3.43)

et la dernière colonne donne :

equation   (3.44)

Voilà comment nous procédons donc pour l'addition de nombres quelconques : nous faisons une addition par colonne de droite à gauche et si le résultat d'une addition est supérieure à la dizaine, nous reportons une unité sur la colonne suivante.

Cette méthodologie d'addition est simple à comprendre et à effectuer. Nous ne étendrons pas plus sur le sujet pour l'instant.

2.2. SOUSTRACTION

Définition: La soustraction du nombre entier A par le nombre entier B notée par le symbole "-", c'est trouver le nombre C qui, ajouté à B, redonne A

Remarque: L'opération n'est rigoureusement parlant pas possible dans les entiers naturels equation que si equation.

Nous écrivons la soustraction sous la forme :

equation   (3.45)

qui doit vérifier :

equation   (3.46)

Voici quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de l'opération de soustraction (bon cela découle de l'addition...) :

P1. La soustraction de plusieurs nombres dépend de l'ordre des termes. Nous disons alors que la soustraction est une "opération non-commutative". Effectivement:

equation   (3.47)

P2. La soustraction de plusieurs nombres change si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la soustraction est une "opération non-associative". Effectivement:

equation   (3.48)

P3. Le zéro n'est pas l'élément neutre de la soustraction. Effectivement, tout nombre à qui nous soustrayons zéro donne ce même nombre, donc le zéro est neutre à droite... mais pas à gauche car tout nombre que nous soustrayons à zéro ne donne pas zéro!

P4. Suivant l'ensemble dans lequel nous travaillons, la soustraction peut comporter un terme de telle façon à ce que le total soit nul. Nous disons alors qu'il existe un "opposé" pour la soustraction.

exempleExemples:

La soustraction de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par coeur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant de cette opération. Ainsi:

equation , equation, equation   (3.49)

Pour les plus grands nombres il faut adopter un autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par coeur (au même titre que l'addition). Ainsi par exemple:

equation   (3.50)

nous soustrayons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite à gauche. Pour la première colonne nous avons equation ce qui fait que nous reportons -1 sur la colonne suivante et écrivons equation en bas de la barre d'égalité :

equation   (3.51)

et nous continuons ainsi pour la deuxième equation ce qui fait que nous reportons -1 sur la colonne suivante et comme equation nous reportons equation en bas de la barre d'égalité:

equation   (3.52)

La troisième colonne se calcule dès lors comme equation et nous reportons -1 sur la colonne suivante  et comme equation  nous reportons equation en bas de la barre d'égalité :

equation   (3.53)

Pour la dernière colonne nous avons equation nous reportons donc rien sur la colonne suivante et comme equation nous reportons 0 en bas de la barre d'égalité:

equation   (3.54)

Voilà comment nous procédons donc pour la soustraction de nombres quelconques. Nous faisons une soustraction par colonne de droite à gauche et si le résultat d'une soustraction est inférieure à zéro nous faisons reporter -1 sur la colonne suivante et l'addition du dernier report sur la soustraction obtenue en bas de la barre d'égalité.

La méthodologie utilisée pour la soustraction se basant sur exactement le même principe que l'addition nous ne étendrons pas plus sur le sujet. Cette méthode est très simple et nécessite bien sûr une certaine habitude à travailler avec les chiffres pour être totalement appréhendée.

2.3. MULTIPLICATION

Définition: La multiplication de nombres est une opération qui a pour but, étant donné deux nombres, l'un appelé "multiplicateur", et l'autre "multiplicande", d'en trouver un troisième appelé "produit" qui soit la somme (donc la multiplication d'écoule de la somme !) d'autant de nombres égaux au multiplicande qu'il y a d'unités au multiplicateur. Le multiplicande et le multiplicateur sont appelés les "facteurs du produit".  

La multiplication s'indique à l'aide du signe "equation" (anciennement) ou du point de ponctuation surélevé (notation moderne) ou sans aucun symbole tel que :

equation   (3.55)

Remarque: Le signe de croix "equation" pour la multiplication se trouve pour la première fois dans l'ouvrage d'Ougtred (1631) quant au point à mi-hauteur (notation moderne pour la multiplication), nous le devons à Leibniz. Dès 1544, Stiefel, dans un de ses ouvrages n'employait aucun signe et désignait le produit de deux nombres en les plaçant l'un après l'autre.

Nous pouvons définir la multiplication en utilisant l'axiomatique de Peano dans le cas particulier des nombres entiers naturels comme nous en avons déjà fait mention dans le chapitre traitant des Nombres. Ainsi, avec ces axiomes il est possible de démontrer qu'il existe (existence) une et une seule application (unicité), notée "equation" ou plus souvent ".", de equation dans equation vérifiant :

equation   (3.56)

Remarque: Ce site n'ayant pas pour vocation de s'adresser à des mathématiciens, nous nous passerons de la démonstration (relativement longue) et admettrons intuitivement que l'application "equation" existe et est unique...

La puissance est une notation particulière d'un cas précis de multiplications. Lorsque le(s) multiplicateur(s) et multiplicande(s) sont identique(s) en valeur numérique, nous notons la multiplication (par exemple):

equation   (3.57)

c'est ce que nous nommons la "notation en puissance" ou "l'exponentiation". Le nombre en exposant est ce que nous nommons la "puissance" ou "l'exposant" du nombre (n en l'occurrence). La notation en exposants se trouve pour la première fois dans l'ouvrage de Chuquet intitulé "Triparty en la science des nombres" (1484).

Vous pouvez vérifier par vous-même que ses propriétés sont les suivantes (par exemple):

equation   (3.58)

Voici quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de l'opération de multiplication :

P1. La multiplication de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors que la multiplication est une "opération commutative".

P2. La multiplication de plusieurs nombres ne change pas si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la multiplication est "opération associative".

P3. L'unité est l'élément neutre de la multiplication car tout multiplicande multiplié par le multiplicateur 1 est égal au multiplicande.

P4. La multiplication peut comporter un terme de telle façon à ce que le produit soit égal à l'unité (l'élément neutre). Nous disons alors qu'il existe un "inverse pour la multiplication" (mais cela dépend rigoureusement dans quel ensemble de nombres nous travaillons).

P5. La multiplication est "distributive", c'est-à-dire que :

equation   (3.59)

l'opération inverse s'appelant la "factorisation".

Introduisons encore quelques notations particulières relatives à la multiplication :

1. Soit equation des nombres quelconques (non nécessairement égaux) alors nous pouvons noter le produit ainsi:

equation   (3.60)

en définissant des bornes supérieurs et inférieures au produit indexé (au-dessus et en-dessous de la lettre grecque majuscule "Pi").

Rappel des propriétés relatives à cette notation:

equation    (3.61)

pour tout nombre k tel que:

equation   (3.62)

Nous avons aussi par exemple:

equation   (3.63)

2. Nous définissons également la "factorielle" simplement (car il existe aussi un manière complexe de la définir en passant par la fonction Gamma d'Euler comme cela est fait dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) par :

equation   (3.64)

exempleExemples:

Voyons quelques exemples simples de multiplications élémentaires. La multiplication de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par coeur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant de cette opération. Ainsi:

equation , equation, equation   (3.65)

Pour les beaucoup plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par coeur. Ainsi par exemple:

equation   (3.66)

nous multiplions colonne par colonne et nous additionnons l'ensemble des résultats décalés d'un chiffre comme ci-dessous (8x4=32, 8x7=56, 8x5=40, 8x4=32) ainsi nous obtenons :

equation   (3.67)

Cette méthodologie est très logique si vous avez bien compris comment nous construisons un chiffre en base dix. Ainsi, nous avons (nous supposerons pour l'instant la distributivité comme connue):

equation   (3.68)

Pour ne pas surcharger l'écriture dans la multiplication par la méthode "verticale", nous ne représentons pas les zéros qui surchargeraient inutilement les calculs (et ce d'autant plus si le multiplicateur le multiplicande sont de très grands nombres).

2.4. DIVISION

Définition: La division de nombres entiers (pour commencer par le cas le plus simple...) est une opération, qui a pour but, étant donné deux nombres entiers, l'un appelé "dividende", l'autre appelé "diviseur", d'en trouver un troisième appelé "quotient" qui soit le plus grand nombre dont le produit par le diviseur puisse se retrancher (donc la division découle de la soustraction!) du dividende (la différence étant nommé le "reste" ou la "congruence"). 

Remarque: Dans les cas des nombre réels il n'y a jamais de reste à la fin de l'opération de division (car le quotient multiplié par le diviseur donne exactement le dividende)!

D'une façon générale dans le cadre des nombres entiers, si nous notons D le dividende, d le diviseur, Q le quotient et R le reste nous avons la relation:

equation    (3.69)

en sachant que la division était initialement notée de la manière suivante:

equation   (3.70)

Nous désignons également souvent par "fraction" (au lieu de "quotient"), le rapport de deux nombres ou autrement dit, la division du premier par le deuxième.

Remarque: Le signe de la division ":" est dû à Leibniz. La barre de fraction se trouve elle pour la première fois dans les ouvrages de Fibonacci (1202) et elle est probablement due aux Hindous.

Si nous divisons deux nombres entiers et que nous souhaitons un entier comme quotient et comme reste (s'il y en a un...), alors nous parlons de "division euclidienne".

Nous indiquons l'opération en plaçant entre les deux nombres, le dividende et le diviseur un " : " ou une barre de division " / ".

Si nous avons :

 equation     (3.71)

nous appelons equation l'inverse du dividende. A tout nombre est associé un inverse qui satisfait cette condition.

De cette définition il vient la notation (avec x étant un nombre quelconque différent de zéro) : 

  equation   (3.72)

Dans le cas de deux nombres fractionnaires, nous disons qu'ils sont "inverses" ou "réciproques", lorsque leur produit est égal à l'unité (comme la relation précédente) pour toute valeur de x, positive ou négative.

Remarques:

R1. Une division par zéro est ce que nous nommons une "singularité". C'est-à-dire que le résultat de la division est indéterminé.

R2. Lorsque nous multiplions le dividende et le diviseur d'une division (fraction) par un même nombre, le quotient ne change pas (il s'agit d'une fraction équivalente), mais le reste est multiplié par ce nombre.

R3. Diviser un nombre par un produit effectué de plusieurs facteurs revient à diviser ce nombre successivement par chacun des facteurs du produit et réciproquement.

Les propriétés des divisions avec les notations condensées de puissances (exponentation) sont les suivantes (nous laisserons le soin au lecteur de le vérifier avec des valeurs numériques):

equation   (3.73)

ou :

equation   (3.74)

Rappelons qu'un nombre premier (entier relatif) est un nombre qui n'a d'autres diviseurs que lui-même et l'unité (rappelons 1 n'est pas unn nombre premier). Donc tout nombre qui n'est pas premier a au moins un nombre premier comme diviseur (excepté 1 par définition!). Le plus petit des diviseurs d'un nombre entier est donc un nombre premier (nous détaillerons les propriétés des nombres premiers relativement au sujet de la division dans le chapitre de Théorie des Nombres).

Voyons quelques propriétés de la division (certaines nous sont déjà connues car elles découlent d'un raisonnement logique des propriétés de la multiplication) :

equation   (3.75)

où la deuxième ligne est ce que nous appelons une "amplification des termes" et la cinquième ligne une "mise au dénominateur commun".

Nous avons aussi les propriétés suivantes:

P1. La division de plusieurs nombres dépend de l'ordre des termes. Nous disons alors que la division est une "opération non-commutative". Ce qui signifie que nous avons quant A est différent de B:

equation   (3.76)

P2. La résultat de la division de plusieurs nombres change si nous remplacons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la division est "opération non-associative":

equation   (3.77)

P3. L'unité est l'élément neutre à droite de la division car tout dividende divisé par le diviseur 1 est égal au dividende mais l'unité n'est par contre pas neutre à gauche.

P4. La division peut comporter un terme de telle façon à ce que la division soit égale à l'unité (l'élément neutre). Nous disons alors qu'il existe un "symétrique pour la division".

Si a et b sont deux nombres réels positifs et non nuls nous avons :

equation, equation   (3.78)

equation   (3.79)

Nous pouvons maintenant définir la racine q-ième principale d'un nombre quelconque a :

equation    (3.80)

la dernière relation n'étant définie que pour equation. Au niveau de la terminologie, nous avons :

equation   (3.81)

qui est une racine, le nombre a est le "radicante" et q est l'indice de la racine. Le symbol equationest appelé le "radical".

De ce qui a déjà été dit pour les puissances, nous pouvons conclure aisément que:

equation   (3.82)

et :

equation    (3.83)

il en ressort que :

 equation et  equation   (3.84)

Nous avons également si equation:

equation    (3.85)

si equation est impair et :

equation   (3.86)

si equation est pair.

Si equation et equation est impair, alors :

equation   (3.87)

est le nombre réel négatif b tel que:

equation   (3.88)

Si equationest pair alors bien sûr, comme nous l'avons déjà vu, la racine est complexe (cf. chapitre sur les Nombres).

Si le dénominateur d'un quotient contient un facteur de la forme equation avec equation, en multipliant la numérateur et le dénominateur par equation, nous supprimerons la racine au dénominateur, puisque :

equation   (3.89)

Nous appelons communément ce procédé "rendre un dénominateur rationnel". Nous pouvons bien sûr faire de même avec le numérateur.


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