PRODUIT SCALAIRE FONCTIONNEL



COURS D'ANALYSE FONCTIONNELLE

1. Représentations

1.1. Représentation tabulaire

1.2. Représentations graphiques

1.2.1. Représentations planes

1.2.2. Représentations 3D

1.2.3. Représentations vectorielles

1.2.4. Propriétés des représentations graphiques

1.3. Représentations analytiques

2. Fonctions

2.1. Dépendance et indépendance

2.2. Domaine d'existence

2.3. Fonctions croissantes ou décroissantes

2.4. Fonctions constantes

2.5. Fonctions périodiques

2.6. Fonctions composées et élémentaires

2.7. Limite et continuité des fonctions

2.7.1. Asymptotes

3. Logarithmes

3.1. Bases vulgaires

3.2. Base décimale et nepérienne

3.3. Nombre d'Euler (exponentielle)

4. Produit scalaire fonctionnel

Le produit scalaire fonctionnel (analogie très forte avec le produit scalaire vectoriel vu dans le chapitre de calcul vectoriel) peut paraître inutile lorsqu'il est étudié pour la première fois hors d'un contexte appliqué mais il connaît au fait de nombreuses applications pratiques. Nous en ferons par exemple directement usage dans le chapitre de physique quantique ondulatoire et de chimie quantique ou encore dans le cadre plus important encore des polynômes trigonométriques via les séries et transformées de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) que nous retrouvons partout dans la physique contemporaine.

Cependant, si le lecteur n'a pas encore parcouru le chapitre de calcul vectoriel et la partie y traitant du produit scalaire vectoriel, nous ne serions que trop recommander sa lecteur sans quoi de ce qui va suivre risque d'être un peu incompréhensible.

Nous nous plaçons dans l'espace equation des fonctions continues de l'intervalle [a,b] dans equation muni du produit scalaire définit par (nous retrouvons la notation spécifique du produit scalaire à sa version fonctionnelle comme nous en avions fait mention lors de notre définition du produit scalaire vectoriel):

equation   (16.147)

Une famille de polynômes orthogonale, comme nous pouvons en faire l'analogie avec le produit scalaire vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, est donc une famille equation de polynômes tels que :

equation si equation   (16.148)

Nous rappelons qu'une famille orthogonale est libre (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le développement suivant va nous rappeler le procédé de Gram-Schmidt (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) pour construire une famille orthogonale :

Soit equation une famille de polynômes linéairement indépendants définis sur [a,b] et V l'espace vectoriel engendré par cette famille. La famille equation définie par récurrence de la manière suivante :

equation   (16.149)

et equation est orthogonale et engendre V.

Démonstration:

Montrons par récurrence sur n que equation est une famille orthogonale qui engendre le même espace que equation. L'assertion est vérifiée pour equation. Supposons l'assertion vérifiée pour equation, pour equation nous avons :

equation   (16.150)

equation est donc orthogonale. Pour finir, l'égalité :

equation   (16.151)

montre que equation et equation engendrent le même espace. equation est donc bien une famille orthogonale qui engendre V.

equationC.Q.F.D.

exemple Exemple:

Considérons l'exemple très important en physique moderne qui est  l'ensemble equation des fonctions continues equation-périodiques qui forme un espace vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Nous définissons donc le produit scalaire de deux fonctions de cet ensemble par :

equation   (16.152)

Le but de cette étude est de construire une base de equation sur laquelle nous pouvons décomposer tout fonction equation-périodique.

L'idée la plus simple est alors de se servir des fonctions trigonométriques sinus et cosinus :

equation   (16.153)

Les relations ci-dessous montrent que les bases choisies ci-dessus sont orthogonaux et forment donc une famille libre, de plus c'est une famille génératrice de l'espace vectoriel equation car comme nous le démontrerons lors de notre étude des séries de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries), nous avons les valeurs suivantes :

equation   (16.154)

equation est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).