Cours d'analyse fonctionnel



COURS D'ANALYSE FONCTIONNELLE

1. Représentations

1.1. Représentation tabulaire

1.2. Représentations graphiques

1.2.1. Représentations planes

1.2.2. Représentations 3D

1.2.3. Représentations vectorielles

1.2.4. Propriétés des représentations graphiques

1.3. Représentations analytiques

2. Fonctions

2.1. Dépendance et indépendance

2.2. Domaine d'existence

2.3. Fonctions croissantes ou décroissantes

2.4. Fonctions constantes

2.5. Fonctions périodiques

2.6. Fonctions composées et élémentaires

2.7. Limite et continuité des fonctions

2.7.1. Asymptotes

3. Logarithmes

3.1. Bases vulgaires

3.2. Base décimale et nepérienne

3.3. Nombre d'Euler (exponentielle)

4. Produit scalaire fonctionnel

L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse qui est en rapport avec l'étude des espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des équations différentielles et des intégrales. A ce titre elle englobe tellement de domaines qu'il est difficile de justifier qu'elle fasse l'objet d'un chapitre car il s'agit plutôt d'un domaine d'études. Par ailleurs, c'est à cause de cette difficulté de cerner exactement le domaine qu'elle touche que le lecteur trouvera le théorème fondamental de l'analyse dans le chapitre de calcul différentiel et intégral plutôt qu'ici.

Pourquoi ceci dit utilisons-nous le terme "analyse" dans le cas particulier des fonctions. La raison vient pour des raisons historiques à l'étude des divers phénomènes de la nature et la résolution de divers problèmes techniques et par conséquent de mathématiques, qui nous amènent souvent à considérer la variation d'une grandeur en corrélation avec la variation d'une autre ou de plusieurs autres grandeurs. Pour étudier ces variations, de nombreux outils sont à la disposition de tout à chacun :

- L'ingénieur a par exemple fréquemment recours à la représentation graphique (système d'axes cartésien, polaire, logarithmique... concepts sur lesquels nous reviendrons plus en détail) pour déterminer la relation (ou "loi") mathématique qui lient les différentes grandeurs entre elles. Certes ce genre de méthode est (parfois...) esthétique mais les étudiants savent bien combien il est parfois pénible en laboratoire de devoir porter des points sur une feuille de papier ou à l'ordinateur. C'est malheureusement une étape nécessaire (mais dont il faudrait éviter de faire une utilisation abusive) pour comprendre comment nos prédécesseurs travaillaient et ont obtenu les résultats qui nous aident aujourd'hui dans nos avancées en physique théorique.

- Le mathématicien et le physicien théoricien ont habituellement horreur d'avoir recours aux méthodes papier-crayon-gribouillage. Quoiqu'il en soit, le rôle du mathématicien ou du physicien est de développer de nouvelles théories à l'aide d'axiomes ou de principes mathématiques ce qui ne devrait nécessiter aucunement le recours à la représentation graphique et à l'accès aux mesures expérimentales qui y sont souvent rattachées.

Remarque: Avant de commencer la lecture de ce qui va suivre, il peut être utile de rappeler au lecteur que la définition du concept de "fonction" (et les propriétés élémentaires y relatives) sont données dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.


REPRÉSENTATIONS

Nous allons voir dans ce qui va suivre, dans un premier temps, comment représenter différentes grandeurs liées de façon tabulaire et graphique (eh oui! il faut bien car cela aide à comprendre) et ensuite comment analyser mathématiquement les propriétés de ces représentations uniquement à l'aide d'outils mathématiques abstraits.

Définition: Une fonction est dite "fonction univalente", si le nombre de ses arguments (paramètres ou variables) est égal à un. Dans le cas d'une fonction à deux arguments, nous parlons de "fonction bivalente", etc.

REPRÉSENTATION TABULAIRE

Parmi le mode de représentation visuel des fonctions, la plus intuitive et la plus ancienne est celle où nous disposons dans la colonne ou la ligne d'un tableau de façon ordonnée les valeurs de la variable indépendante equation et les valeurs correspondantes, dites "variables transformées" de la fonction equation dans une autre colonne ou ligne alignée. 

Telles sont par exemple, les tables des fonctions trigonométriques, les tables logarithmiques, etc. et au cours de l'étude expérimentale de certains phénomènes des tables qui expriment la dépendance fonctionnelle existant entre des grandeurs physiques mesurées tel que les relevés de la température de l'air enregistrés dans une station météorologique durant une journée.

Bien évidemment, ce concept est généralisable à toute fonction multivalente quelque soit son ensemble de définition.

Cependant, cette méthode est laborieuse et ne permet pas de voir directement le comportement de la fonction et donc une analyse visuelle simple et intéressante de ses propriétés. Elle a pour avantage quand même de ne pas nécessiter d'outils spéciaux ou de connaissances mathématiques poussées.


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