THÉORÈME DES RÉSIDUS



COURS D'ANALYSE COMPLEXE

1. Applications linéaires

2. Fonctions holomorphes

2.1. Orthogonalité des iso-courbes réelles et complexes

3. Logarithme complexe

4. Intégration de fonctions complexes

4.1. Convergence d'une série

5. Décomposition en chemins

5.1. Chemin inverse

6. Séries de Laurent

7. Singularités

7.1. Singularité apparente

7.2. Singularité essentielle

7.3. Pôles

8. Théorème des résidus

8.1. Pôle à l'infini

Considérons une fonction:

equation   (17.216)

qui est analytique (c'est-à-dire que nous avons pris une fonction f(z) que nous avons rendue analytique après élimination de ses pôles supposés en un nombre fini k...). Cette fonction equation a alors un développement en série de Taylor dans un disque centré sur equation .

Comme nous l'avons vu plus haut, nous pouvons alors en utilisant la relation ci-dessous:

equation   (17.217)

écrire:

equation   (17.218)

En explicitant equation dans l'intégrale, il vient:

equation   (17.219)

Il faut bien analyser cette relation et comprendre qu'elle relie l'intégrale d'une fonction ayant des singularités avec la valeur en un point d'une fonction analytique n'ayant plus de singularités!

La dernière relation peut se récrire en réarrangeant les termes:

equation   (17.220)

Et en exprimant equation en utilisant (autorisé car cette dernière fonction est analytique) le fait que:

equation   (17.221)

Nous avons:

equation   (17.222)

Soit en explicitant à nouveau equation:

equation   (17.223)

Cette dernière relation est pour rappel valable que pour UNE singularité isolée equation (au cas où vous auriez oublié les concepts introduits lors de notre présentation des singularités) et où k vaut au minimum 1!

Les mathématiciens définissent alors:

equation   (17.224)

comme étant le résidu de la fonction f(z) au point equation étant une singularité isolée et ayant un pôle d'ordre k. Ou respectivement:

equation   (17.225)

où l'intégrale curviligne est donc centrée en equation.

Remarquons que le terme à droite de l'égalité dans la relation précédente correspond au coefficient  equation de la série de Laurent. Effectivement:

equation   (17.226)

D'où:

equation   (17.227)

Remarque: Il vient donc qu'en une singularité isolée éliminable, le résidu est nul puisque comme nous l'avons vu plus haut, l'intégrale curviligne entourant un domaine sans singularité est nulle!

Bref, la relation:

equation   (17.228)

est très intéressante pour le physicien... car il y a donc une manière élégante lui permettant de calculer l'intégrale curviligne d'une fonction f(z) non analytique ayant une unique singularité isolée et ce juste en connaissant ses pôles!

Par exemple si une fonction f(z) n'a qu'un pôle d'ordre 1, il vient alors:

equation   (17.229)

et nous remplaçons donc equation par la valeur voulue dans la parenthèse equation et ensuite nous calculons la limite du terme entre crochets!

Maintenant pour aller plus loin, rappelons que le contour de l'intégrale curviligne:

equation   (17.230)

et le même que le chemin curviligne equation de l'intégrale:

equation   (17.231)

sont au fait confondus et que les coefficients equation ne dépendant pas de z! La seule contrainte du chemin est qu'il soit fermé et dans un domaine analytique centré sur un point.

Donc si nous avons plusieurs singularités isolées, entourées par des chemins curvilignes reliés tels que présenté ci-dessous sur le plan complexe d'une fonction ayant un pôle d'ordre 3 (donc trois singularités equationnon éliminables):

equation
  (17.232)

nous avons alors toujours qu'un seul chemin curviligne fermé mais dont les différentes singularités isolées sont reliées par des traverses où comme nous le savons, les chemins qui s'opposent, s'annulent! Et rappelons que les coefficients equation sont les mêmes partout sur tout le chemin puisque celui-ci est dans un domaine analytique.

Nous avons alors la version généralisée du théorème des résidus pour une fonction f ayant n singularités isolées:

equation   (17.233)

avec une rigueur approche rigueur digne de l'ingénieur... qui notent cette dernière relation parfois:

equation   (17.234)

r est donc un résidu.

exempleExemple:

Prenons la fonction:

equation   (17.235)

Nous savons qu'elle a un pôle d'ordre 1 en equation et un pôle d'ordre 1 equation. Donc si nous prenons cette fois la série de Laurent dans un chemin qui entoure les deux singularités (et non plus qu'une seule) nous avons alors une fonction avec un pôle d'ordre 2.

Il vient alors pour ce cas particulier:

equation   (17.236)

avec donc n valant 2.

Nous avons alors:

equation   (17.237)

et:

equation   (17.238)

Nous pouvons vérifier cela avec Maple:

>readlib(singular)
> singular(1/(1+z^2),z)
> readlib(residue):
>residue(1/(1+z^2),z=-I);
>residue(1/(1+z^2),z=I);

et dès lors:

equation   (17.239)

Au fait dans le cas présent, le théorème des résidus est nul car la fonction n'a pas de pôles à l'infini ce qui se vérifie puisque dans notre exemple:

equation   (17.240)

Les physiciens quant à eux diraient que la force ne travaille pas sur le chemin...!

PÔLE À L'INFINI

Nous avons parlé juste précédemment que toute fonction qui n'avait pas de pôle à l'infini avait donc la somme des résidus de tous ces pôles qui était nulle. Ce résultat est très important en physique et mérite d'être approfondi!

Il est assez facile de reconnaître nombre de pôles... mais pour reconnaître les pôles à l'infini on risque de se faire prendre au piège.

Considérons l'expression f(z)dz. Si z est au voisinage de l'infini alors 1/z se trouve au voisinage de 0. Posons:

equation   (17.241)

Nous avons alors:

equation   (17.242)

Donc le résidu à l'infini est tel que:

equation   (17.243)

avec:

equation   (17.244)

Avec donc:

equation   (17.245)

Cette dernière relation nous sera indispensable dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire pour construire le modèle relativiste de l'atome d'hydrogène de Sommerfeld car nous aurons à y calculer une intégrale de chemin ayant un pôle à l'infini.

Voyons un exemple avec la fonction qui nous accompagne depuis le début de ce chapitre. C'est-à-dire:

equation   (17.246)

Il vient alors :

equation   (17.247)

Or nous reconnaissons immédiatement la fonction initiale au signe près et qui n'a donc pas de pôle en 0. Donc f(z) n'a pas de pôles à l'infini.