SÉRIES DE LAURENT



COURS D'ANALYSE COMPLEXE

1. Applications linéaires

2. Fonctions holomorphes

2.1. Orthogonalité des iso-courbes réelles et complexes

3. Logarithme complexe

4. Intégration de fonctions complexes

4.1. Convergence d'une série

5. Décomposition en chemins

5.1. Chemin inverse

6. Séries de Laurent

7. Singularités

7.1. Singularité apparente

7.2. Singularité essentielle

7.3. Pôles

8. Théorème des résidus

8.1. Pôle à l'infini

Cette dernière relation obtenue, nous pouvons revenir à notre déformation du disque de convergence en une couronne. Nous rappelons que l'idée étant initialement d'avoir l'expression analytique d'une fonction sous forme d'une série de puissance infinie dans un domaine restreint autour d'un point singulier et tout ceci... afin de pouvoir calculer pour les physiciens des intégrales curvilignes complexes en passant par une méthode utilisant les propriétés des séries complexes!

Commençons dont par le point (2), qui nous mènera plus facilement au point (1), en faisant un zoom sur notre couronne:

equation
  (17.162)

Nous avons donc si la fonction f est analytique et holomorphe dans la couronne de rayon extérieur R et rayon intérieur r, l'intégrale de chemin suivante dans toute la couronne:

equation   (17.163)

où nous notons z le point où nous souhaitons connaître la fonction et z' la variable dont dépend f. Ce changement de notation se justifiera par la suite pour une raison purement pratique.

La couronne peut être donc décomposée en 4 chemins:

equation   (17.164)

Si les deux segments equation et equation sont infiniment proches, ils correspondent alors à un même chemin parcouru une fois dans un sens positif et une fois dans le sens négatif. Or, nous avons démontré plus haut que:

equation   (17.165)

Il en découle donc que:

equation   (17.166)

Ce qui nous amène à écrire:

equation   (17.167)

Pour les deux intégrales equation, nous savons que la fraction peut s'écrire sous la forme d'une série géométrique déjà vue plus haut. Effectivement:

equation   (17.168)

en assimilant:

equation   (17.169)

où comme nous l'avons vu, la convergence impose que:

equation   (17.170)

afin que x soit en valeur absolue inférieur à 1.

Nous voyons alors apparaître la série géométrique infinie:

equation   (17.171)

Soit:

equation   (17.172)

Pour revenir à:

equation   (17.173)

nous avons en tout point z à l'intérieur du cercle de rayon R dont le bord est décrit par la variable z' et de centre equation la convergence qui est assurée car:

equation   (17.174)

Nous pouvons alors écrire:

equation   (17.175)

Intégrant terme à terme, nous mettons en évidence le développement (déjà connu):

equation   (17.176)

avec la définition des coefficients equation, où n est un entier positif ou nul:

equation   (17.177)

Ce développement peut faire penser au développement de Taylor au sens où seules des puissances positives (ou nulles) de equation apparaissent, mais il n'en est pas un dans la cas de la couronne! En effet, equation ne peut pas être écrit cette fois-ci comme:

equation   (17.178)

puisque, par hypothèse, f(z) est supposée analytique dans la couronne seulement, et peut donc fort bien ne pas l'être à l'intérieur du petit cercle de rayon r, en particulier en equation, auquel cas equation peut tout simplement ne pas exister (répétons que z est strictement contrait à se trouver dans la couronne, soit equation). Nous verrons plus loin ce qui ce passe quand f(z) est holomorphe dans ce disque et que, notamment, equation n'est pas un point singulier.

Il nous faut encore traiter equation. Nous faisons alors le même type de développement que pour equation, avec la différence que maintenant :

equation   (17.179)

lorsque z' parcoure le petit cercle de rayon r. Pour faire apparaître une série géométrique, il faut écrire cette fois-ci:

equation   (17.180)

d'où:

equation   (17.181)

Soit:

equation   (17.182)

Intégrant terme à terme, nous mettons en évidence le développement (nouveau):

equation   (17.183)

avec:

equation   (17.184)

En changeant n et -n dans la sommation pour equation , nous avons pour la somme equation:

equation   (17.185)

avec pour l'instant deux equation distincts:

equation et equation   (17.186)

Nous allons voir maintenant que des deux relations peuvent être réunies en une seule!

Si nous observons bien ces deux dernières relations, nous constatons qu'elles ne dépendent nullement de z (!) et c'est bien normal puisque les equation sont les coefficients du développement en série de f(z) et ceux-ci sont les mêmes en n'importe quel point du domaine de définition de la fonction où celle-ci est analytique!

Donc les deux contours (cercles) peuvent être fusionnés en un seul cercle tant que celui-ci est situé dans la couronne et a pour centre equation:

equation   (17.187)

Par ailleurs, le lecteur attentif aura remarqué que ce contour n'a même pas besoin d'être un cercle finalement. Il peut être quelconque tant qu'il est ferme et qu'il se trouve dans un domaine analytique!

Ainsi les deux relations:

equation   (17.188)

Les deux relations précédentes définissent la "série de Laurent" généralisée. Il est remarquable et se distingue d'une série de Taylor au sens où il contient toutes les puissances entières positives et négatives et les coefficients equation ne sont pas a priori exprimables avec les dérivées de f.

La série de puissances equation est appelée "partie régulière", celle des puissances négatives porte le nom de "partie principale".

La série des puissances négatives converge uniformément partout à l'extérieur de equation, celle des puissances positives à l'intérieur de equation. Au total le développement de Laurent converge uniformément dans le domaine commun, qui est la couronne et donc aussi sur le chemin unique equation.

Montrons maintenant un point que nous avions mentionné plus haut. Si le cercle ne contient pas de singularité, alors tous les coefficients:

equation   (17.189)

sont nuls. Notons d'abord que equation est un nombre entier positif ou nul que nous noterons p tel que:

equation   (17.190)

Nous avons alors l'intégrand suivant dans un chemin fermé:

equation   (17.191)

Or, si nous enlevons la singularité cela impose que equation est holomorphe (et de toute façon c'est imposé par tous les développements initiaux sur les séries de Laurent).

equation est un polynôme à puissance positive et non nulle et comme nous le savons, tout polynôme satisfaisant ces conditions est dérivable au moins une fois sans faire apparaître de singularité. Ainsi ce terme est aussi holomorphe.

En admettant que le produit de deux fonctions holomorphe est une fonction holomorphe et que le contour equation est fermé, nous avons alors en utilisant le résultat suivant démontré plus haut (pour une fonction holomorphe):

equation   (17.192)

la conséquence immédiate suivante:

equation   (17.193)

s'il n'y pas de singularité dans le petit cercle de la couronne. Nous retrouvons alors dans ce cas un développement avec les seules puissances positives, les equation étant cette fois équivalents à:

equation   (17.194)

conformément au théorème intégral de Cauchy généralisé démontré plus haut. A contrario, nous voyons bien que c'est la partie principale (quand elle existe) qui contient l'information sur le fait que f n'est pas à priori holomorphe dans le petit disque. L'existence de puissances négatives montre que f n'est visiblement pas bornée en equation.

La classification des singularités d'une fonction sera précisément sur la considération des caractéristiques de la partie principale du développement de Laurent centré sur un point singulier de cette fonction.

exempleExemple:

Voyons donc à quoi ressemble la série de Laurent de notre fonction:

equation   (17.195)

sur un domaine simplement connexe qui serait donc la couronne entourant la singularité i par exemple (nous aurions pu choisir la deuxième singularité -i mais il fallait bien en prendre une...). Ce qui équivaut donc à chercher le développement en série de puissance de z - i.

Nous allons procéder de la manière suivante:

equation   (17.196)

Nous allons utiliser pour la suite:

equation   (17.197)

La deuxième fraction peut être exprimée en série géométrique si comme nous l'avons déjà vu:

equation   (17.198)

Il vient alors:

equation   (17.199)

Multiplions cette série par -i/2 et divisons ensuite par z - i  (le deuxième terme du dénominateur de la fraction initiale) pour obtenir pour le terme de gauche:

equation   (17.200)

et pour le terme de droite nous avons:

equation   (17.201)

Nous avons alors au final pour notre série géométrique:

equation   (17.202)

Nous voyons donc sur cette série de Laurent autour de i de la fonction holomorphe f(z) dans la couronne, les coefficients :

equation   (17.203)

et nous avons avec Maple:

>plot3d(abs(-I/2*1/((re+I*im)-I)-(I/2)^2-(I/2)^3*(re-I*im)-(I/2)^4*(re-I*im)^2-(I/2)^5*(re-I*im)^3),re=-1.5..1.5,im=-1.5..1.5,view=[-2..2,-2..2,-1..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

equation
  (17.204)

où nous voyons que la série de Laurent nous permet d'exprimer f(z) dans un voisinage proche de la singularité i en prenant 5 termes.

Idem si nous faisons la somme des deux séries de Laurent pour les deux singularités avec 5 termes:

>plot3d(abs(-I/2*1/((re+I*im)-I)-(I/2)^2-(I/2)^3*(re-I*im)-(I/2)^4*(re-I*im)^2-(I/2)^5*(re-I*im)^3 -(I/2)^6*(re-I*im)^4-(I/2)^7*(re-I*im)^5+I/2*1/((re+I*im)+I)+(I/2)^2+
(I/2)^3*(re+I*im)+(I/2)^4*(re+I*im)^2+(I/2)^5*(re+I*im)^3+(I/2)^6*(re+I*im)^5
+(I/2)^7*(re+I*im)^6),re=-1.5..1.5, im=-1.5..1.5, view=[-2..2,-2..2,-1..2],orientation=[130,70], contours=50, style=PATCHCONTOUR, axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

equation
  (17.205)

et nous voyons que très vite en dehors des deux singularités tout diverge puisque les séries ne convergent que dans une couronne ou la fonction y est holomorphe. Mais cela donne déjà une bonne idée visuelle des choses.

SINGULARITÉS

Nous avons donc vu juste précédemment qu'il était donc possible de calculer l'intégrale curviligne d'une fonction, sous condition d'analycité, sur le contour d'une singularité. Notre objectif va maintenant être d'améliorer cette approche.

Nous avons déjà mentionné et mis en évidence dans nos démonstrations que l'intégrant dans le "théorème intégral de Cauchy" était de la forme:

equation   (17.206)

f(z) est bien définie en equation.

Le point equation est bien évidemment une singularité de g(z) et celle-ci n'y est donc pas définie.

Comme nous l'avons vu lors de notre démonstration de séries de Laurent, g(z) peut être exprimé sous forme de série de Laurent positive dans un disque de convergence (ou ce qui revient au même: en série de Laurent dans une couronne non centrée sur une singularité...) sous la forme:

equation   (17.207)

Avant de continuer, il est d'usage en mathématique de définir un petit vocabulaire conventionnel en ce qui concerne cette fois-ci les éventuelles singularités de f(z)!

Rappelons au préalable que nous savons, et nous avons démontré, que toutes les informations sur les singularités de f(z) sont contenues la partie principale de la série de Laurent (les puissances négatives) définie sur la couronne entourant equation:

equation   (17.208)

La classification ci-après porte donc sur les "singularités isolées", c'est-à-dire un point singulier où f(z) est analytique partout dans le voisinage de equation excepté en equation.

Définitions:

D1. Lorsque la limite de la fonction equation existe en equation, nous disons que la singularité est un "point singulier éliminable" ou une "singularité apparente".

Par exemple:

equation   (17.209)

ne semble pas être définie en equation mais nous avons un numérateur ayant une série de Laurent sans puissances négatives (donc un simple série de Taylor). Il vient alors en faisant la série de MacLaurin (donc la série de Taylor en equation en d'autres termes...) :

equation   (17.210)

Donc nous voyons que f(z) n'a finalement aucun terme en puissance négative et donc que nous avons éliminé la singularité (ou qu'elle n'en contient au fait pas... ce qui est facilement vérifiable avec Maple).

Donc une autre manière équivalente de définir une singularité éliminable, est de dire que le développement de Laurent de la fonction ne contient aucun terme en puissance négative.

D2. Lorsque en equation la limite de equation n'existe pas, nous parlons de "singularité essentielle".

Par exemple, equation est une singularité essentielle pour la fonction:

equation   (17.211)

En effet, si z tend vers zéro en venant de l'axe réel positif, la fonction diverge, plus précisément, elle tend vers equation. Si z vient du côté equation, la fonction tend vers zéro comment le montre bien le tracé Maple suivant:

>plot3d(abs(exp(1/(re+I*im))),re=-5..5,im=-5..5,view=[-3..3,-3..3,-0.5..3],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

equation
  (17.212)

Effectivement:

equation   (17.213)

Donc une autre manière équivalente de définir une singularité essentielle, est de dire qu'il y a un nombre infini de termes à puissances négatives dans la partie principale de la série de Laurent.

D3. Lorsque en equation la limite de equation est equation, nous parlons de "pôle".

Il s'agit de la dernière catégorie dans laquelle nous pouvons ranger une fonction qui n'est classable ni dans la première, ni dans la deuxième définition précédentes.

Donc une autre manière équivalente de définir un "pôle", est de dire qu'il y a un nombre fini de termes à puissances négatives dans la partie principale de la série de Laurent. Si ce nombre de termes est k, alors nous parlons de "pôle d'ordre k".

Nous pouvons également trouver encore une autre définition équivalente courante d'un pôle (pour ceux qui aiment les définitions à relire...):

f(z) a un pôle d'ordre k à equation si et seulement si equation a une singularité éliminable en equation, mais equation avec equation n'en a pas.

Remarque: Nous disons parfois qu'une "singularité essentielle" est un pôle d'ordre infini.

Si nous prenons comme exemple:

equation   (17.214)

Nous avons démontré plus haut que la série de Laurent était de cette fonction en equation était:

equation   (17.215)

Donc la fonction précédente a un pôle d'ordre 1 en equation (et in extenso, nous devinons qu'elle en a un aussi en equation).


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