INTÉGRATION DE FONCTIONS COMPLEXES



COURS D'ANALYSE COMPLEXE

1. Applications linéaires

2. Fonctions holomorphes

2.1. Orthogonalité des iso-courbes réelles et complexes

3. Logarithme complexe

4. Intégration de fonctions complexes

4.1. Convergence d'une série

5. Décomposition en chemins

5.1. Chemin inverse

6. Séries de Laurent

7. Singularités

7.1. Singularité apparente

7.2. Singularité essentielle

7.3. Pôles

8. Théorème des résidus

8.1. Pôle à l'infini

Nous venons de voir précédemment comment vérifier si une fonction complexe f(z) était dérivable (elle doit au moins respecter les équations de Cauchy-Riemann) en tout point et comment calculer celle-ci avec quelques exemples simples.

Maintenant voyons le cas contraire qui est... l'intégration (cas numérique de la recherche de primitive pour rappel).

Nous avons bien évidemment en reprenant les notations vue dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral:

equation   (17.87)

soit sous forme explicite:

equation   (17.88)

Bon cette expression établie faisons une petite explication quand à sa lecture:

1. Nous savons que u et v dépendent les deux dans le cas général de x et y.

2. Nous savons que u et v représentent (voir exemples au début du chapitre) des courbes fermées ou ouvertes ainsi que des droites lorsque x ou respectivement y sont fixés et que l'autre variable associée elle varie!

Donc chacun des termes comportant une intégrale dans l'expression écrite précédemment est une intégrale curviligne sur une famille de courbes ouvertes ou fermées (donc un cas particulier sont les droites...)!

Cette intégrale peut être évaluée en utilisant le théorème de Green dans le plan (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) si nous considérons le cas particulier d'un chemin curviligne fermé tel que:

equation   (17.89)

Nous avions effectivement démontré (il est très fortement conseillé de relire ce théorème de Green) dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

equation   (17.90)

Ce qui s'écrit dans notre situation:

equation   (17.91)

Or, si la fonction est holomorphe et satisfait donc aux équations de Cauchy-Riemann nous avons immédiatement:

equation   (17.92)

Ainsi notre intégrale se réduit dans le cas particulier d'un chemin fermé:

equation   (17.93)

Et.... réutilisons le théorème de Green:

equation   (17.94)

Or, si la fonction est holomorphe (donc pour dérivable en tout point du plan complexe ou d'un sous-ensemble ouvert de celui-ci) et satisfait donc aux équations de Cauchy-Riemann nous avons immédiatement:

equation   (17.95)

et nous obtenons ainsi le "théorème de Cauchy" qui dit que si une fonction est holomorphe (satisfait donc les équations de Cauchy-Riemann) et intégrée sur un contour fermé alors:

equation   (17.96)

Comme corollaire (sans démonstration), toute fonction qui satisfait à la relation précédente est holomorphe (dans tout le plan complexe ou un sous-ensemble ouvert de celui-ci).

A l'aide de ce résultat, faisons un exemple important qui nous sera utile par la suite.

Calculons:

equation   (17.97)

Pour cela, nous allons utiliser la simplification qui consiste à se rappeler (cf. chapitre Nombres) que:

equation   (17.98)

Donc:

equation   (17.99)

Nous pouvons alors écrire l'intégrale curviligne comme:

equation   (17.100)

Or comme sur un chemin fermé dérivable en tout point (donc sans sommets) l'angle à parcourir pour faire un tour complet ira nécessaire de 0 à equation. Il vient alors:

equation   (17.101)

Avant de continuer remarquons un fait intéressant et important: Une intégrale (on ne parle pas de la primitive mais de l'intégrale!) d'une fonction du type 1/x dans equation ne serait pas calculable. Or si nous généralisons le concept à equation, nous voyons que nous contournons... (le jeu de mot...) la singularité via une intégrale de chemin qui entoure la singularité. Et... et... dans notre calcul précédent z pourrait tout à fait avoir que la valeur réelle et pas l'imaginaire. Donc l'intégrale de 1/x devient alors calculable et a un résultat dans les complexes ce qui est remarquable!

Certains mathématiciens interprètent cela en figurant que 1/x est une projection plane d'un espace tridimensionnel dont l'axe imaginaire est perpendiculaire au plan equation. D'où le fait que 1/x soit intégrable dans equation.... mais bon c'est une interprétation...

Enfin, indiquons que 1/z est holomorphe sur tout le plan complexe excepté en 0 (la dérivée étant la même que pour 1/x).

Ceci étant fait, faisons un calcul similaire:

equation   (17.102)

equation est un nombre complexe constant. Posons:

equation   (17.103)

Nous pouvons alors écrire:

equation   (17.104)

qui n'est valable à nouveau que si notre chemin d'intégration évite equation sinon quoi il y a une singularité. Cette dernière intégrale est donc une petite généralisation simpliste de la précédente.

Maintenant montrons le théorème important qui nous intéresse au fait depuis le début de ce chapitre en utilisant les nombreux résultats démontrés jusqu'ici!

Nous savons que si une fonction f(z) satisfait aux équations de Cauchy-Riemann, alors si nous évitons soigneusement la valeur equation (comme dans les calculs précédents), l'expression:

equation   (17.105)

est aussi dérivable en tout point excepté en equation (donc l'expression n'est plus holomorphe) appelé qui est donc une singularité.

Effectivement, prendre une fonction holomorphe f(z) satisfaisant Cauchy-Riemann et y soustraire une constante ne change en rien le fait que l'expression (le numérateur dans la relation précédente) restera holomorphe. Enfin, multiplier celle ci par une fraction (dénominateur de la relation précédente) qui est elle aussi holomorphe donne une fonction holomorphe. Mais des singularités peuvent alors apparaître, nous parlons alors de "fonctions méromorphes" (il s'agit du rapport de deux fonctions holomorphes).

Dès lors, si nous en prenons l'intégrale curviligne sur un chemin fermé évitant de passer par equation, le théorème de Cauchy nous donne immédiatement (voir la démonstration plus haut):

equation   (17.106)

Or, ceci s'écrit aussi après réarrangement des termes:

equation   (17.107)

Soit:

equation   (17.108)

Or, nous avons démontré plus haut que:

equation   (17.109)

Il vient alors le résultat appelé "théorème intégral de Cauchy", ou plus rarement "formule de Cauchy", dont il existe une forme généralisée:

equation   (17.110)

Au fait, dans la pratique toute la subtilité est de pouvoir ramener une fonction g(z) holomorphe (qui satisfait donc les équations de Cauchy-Riemann) en la manipulant à une forme du type:

equation   (17.111)

quand c'est possible.... alors le calcul de son intégrale (de chemin fermé) devient extrêmement simple puisqu'elle sera égale à:

equation   (17.112)

de par le théorème intégral de Cauchy.

Remarque: Nous savons donc calculer la valeur d'une intégrale curviligne d'une expression non holomorphe mais dont le numérateur lui l'est.

Il a une relation équivalente pour la dérivée equation à celle donnée par le théorème intégral de Cauchy. Voyons cela:

equation   (17.113)

Donc:

equation   (17.114)

en continuant ainsi, nous avons:

equation   (17.115)

bref nous remarquons donc que:

equation   (17.116)

qui n'est d'autre que le "théorème intégral de Cauchy généralisé".

Ce résultat est très puissant car il montre que les fonctions holomorphes sont infiniment dérivables (à cause du dénominateur), soit analytiques, et il est beaucoup plus difficile de trouver un théorème équivalent avec des conditions aussi simples pour les fonctions réelles.

Si nous revenons maintenant à notre développement de Taylor d'une fonction complexe:

equation   (17.117)

humm... et que voyons-nous ici? Eh bien ceci! :

equation   (17.118)

Il en découle la relation suivante appelée "série de Laurent à puissances positives" (il en existe une version plus généralisée que nous allons démontrer plus tard):

equation   (17.119)

qui donne donc l'expression formelle d'une fonction complexe sous forme de série infinie de puissances entières à proximité d'un point equation du plan complexe avec donc:

equation   (17.120)

Nous constatons que l'ensemble des deux relations précédentes nous redonne le développement en série de Taylor que nous avions obtenue en analyse réelle (cf. chapitre de Suites et Séries) et qui était:

equation   (17.121)

Ainsi, les séries de Taylor ne sont qu'un cas particulier des séries de Laurent.

Ceci est assez remarquable comme résultat car cela montre aussi que nous pouvons utiliser l'intégrale curviligne sur le plan complexe pour calculer les coefficients equationde la série de Taylor au lieu de calculer les dérivées d'ordre n de la fonction f si ces dernières s'avéreraient trop compliquées à déterminer. Ou inversement.... calculer une simple dérivée au lieu de calculer une intégrale curviligne casse-tête (typiquement le cas en physique) en utilisant le fait que:

equation   (17.122)

Le seul point malheureux étant que cette dernière relation n'est calculable que si nous arrivons à mettre la fonction dans l'intégrale curviligne sous la forme:

equation   (17.123)

n est un entier positif ou nul. Ceci est franchement loin d'être aisé dans la grande majorité des cas! L'idée serait alors de trouver un chemin général pour l'intégrale curviligne, valable pour toute fonction f(z) tel que ce dénominateur (qui contient en plus un singularité en equation) disparaisse. Ce serait l'idéal... mais il nous faut une piste... et celle-ci va venir de l'étude de la convergence des séries de puissance complexes. Voyons de quoi il s'agit avec une approche qualitative!

CONVERGENCE D'UNE SÉRIE

Nous avons vu dans le chapitre de Suites et Séries que nombre de fonctions réelles pouvaient être exprimées en série de MacLaurin (cas particulier des séries de Taylor en equation) sous la forme:

equation   (17.124)

Nous y avions également montré, uniquement par l'exemple, que ce développement en série de puissance infinie n'était valable pour certaines fonctions réelles que dans un certain domaine de définition appelé "rayon de convergence".

Même si ce rayon de convergence peut être déterminé plus ou moins facilement au cas par cas, il y a certains exemples déroutants qui ne pouvaient pas au début de 19ème siècle être compris sans l'analyse complexe.

Voyons un exemple simple pour comprendre de quel type de problème il s'agit. Considérons pour cela les deux fonctions:

equation   et   equation   (17.125)

et vant de continuer notre exemple, rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Suites et Séries la relation:

equation   (17.126)

concernant les séries géométriques. C'est-à-dire les séries dont les termes sont du type :

equation   (17.127)

Il vient dès lors immédiatement si equation et equation nous avons:

equation   (17.128)

Si equation, nous avons:

equation   (17.129)

Donc si nous changeons la notation, nous avons:

equation   (17.130)

Il vient alors immédiatement:

equation et equation   (17.131)

Donc les deux fonctions g(x) et f(x) précédentes sont définies pour un développement en série infinie de puissance uniquement dans un rayon de convergence equation.

Nous obtiendrions donc le même résultant en faisant un développement en série de MacLaurin!

Nous voyons trivialement qu'il y a pour g(x) deux singularités qui sont equation par contre, basiquement nous n'en voyons pas trivialement pour h(x) si nous raisonnons uniquement dans equation donc il peut être difficile pour cette dernière fonction de comprendre le rayon de convergence.

Effectivement, si nous traçons ces deux fonctions dans equation avec Maple nous obtenons respectivement:

equation et equation
  (17.132)

d'où le problème de savoir pourquoi il y a quand même implicitement un  rayon de convergence equation pour h(x)???

Une manière encore plus flagrante de mettre en évidence le problème c'est de montrer l'approche de ces deux fonctions par un développement en série de MacLaurin avec dix termes:

Pour g(x) nous avons:

with(plots):
> xplot := plot(1/(1-x^2),x=-5..5,thickness=2,color=red):
> tays:= plots[display](xplot):
> for i from 1 by 2 to 10 do
> tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):
> tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-5..5,y=-2..2,
> color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
> plots[display]([tays],view=[-5..5,-2..2]);  

equation
  (17.133)

où nous voyons bien que la série de MacLaurin (ou l'expression en série de puissance) ne converge pas en dehors de equation ce qui peut est intuitif à cause des deux singularités.

Pour h(x) nous avons par contre:

>with(plots):
> xplot := plot(1/(1+x^2),x=-5..5,thickness=2,color=red):
> tays:= plots[display](xplot):
> for i from 1 by 2 to 10 do
> tpl := convert(taylor(1/(1+x^2), x=0,i),polynom):
> tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-5..5,y=-2..2,
> color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
> plots[display]([tays],view=[-5..5,-2..2]);  

equation
  (17.134)

où nous voyons bien que la série de MacLaurin (ou l'expression en série de puissance) ne converge pas en dehors de equation ce qui était déstabilisant et contre intuitif au début de l'histoire de l'analyse réelle.

Aujourd'hui même un élève du secondaire sait qu'il est possible de raisonner aussi dans equation et que equation. Donc l'analyse réelle n'est qu'un cas particulier et restreint de l'analyse complexe.

La singularité pour h(x) dans equation vient alors dû fait que celle-ci s'écrit alors:

equation   (17.135)

et qu'il y a donc deux singularités pour equation ce que nous voyons bien si nous représentons:

equation   (17.136)

avec Maple (heureusement que nous avec maintenant l'équivalent d'un microscope dans la mathématique...):

>plot3d(abs(1/(1+(re+I*im)^2)),re=-3..3,im=-3..3,view=[-2..2,-2..2,-2..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

equation
  (17.137)

où nous voyons bien les deux singularités sur l'axe imaginaire et la fonction h(x) sur l'axe réelle (entre les deux pics). Donc lorsque nous développons une fonction en série, nous concluons que son rayons de convergence est défini par tout le plan complexe et non par l'axe traditionnel de l'analyse réelle.

Il est ainsi plus naturel de comprendre pourquoi nous parlions dans le chapitre de Suites et Séries de "rayon" car vu du dessus nous avons dans le plan complexe:

equation
  (17.138)

d'où le fait que nous parlons tantôt de disque de convergence (ouvert) et de rayon de convergence (ouvert). Par ailleurs nous remarquons sur le graphique que le domaine de convergence est connexe (tout couple de points du domaine de convergence peut être relié par une droite qui est dans le domaine de convergence).

Remarque: Rappelons qu'un sous-ensemble, intervalle ou disque "ouvert" signifie que nous n'en prenons pas les bords.

Nous comprenons alors mieux pourquoi la série de Taylor ne convergait pas trivialement pour h(x): elle doit converger sur toute le disque de convergence du plan complexe et pas seulement converger sur l'axe réel!

De tout ceci il en découle que notre série de Laurent à puissances positives démontrée plus haut:

equation   (17.139)

ne converge pas forcément, sans surprise..., sur tout le plan complexe (au même titre que les séries de Taylor sur la droite réelle puisque il s'agit de l'équivalent!) mais parfois uniquement dans un sous-domaine (connexe?) ouvert de ce plan autour de equation (qui dans l'exemple particulier pris ici valait donc: 0).

Avec notre fonction h(x) exprimée en utilisant un développement de MacLaurin sur 6 termes, nous voyons immédiatement avec Maple que sur les bords du carré inscrit au disque de convergence, la série ne converge plus et nous y devinons le début des deux singularités:

>plot3d(abs(1-(re+I*im)^2+(re+I*im)^4-(re+I*im)^6+(re+I*im)^8),re=-0.7..0.7,im=-0.7..0.7,view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5,0..1.5],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

equation
  (17.140)

un peu en dehors du disque de convergence nous avons évidemment un peu n'importe quoi:

>plot3d(abs(1-(re+I*im)^2+(re+I*im)^4-(re+I*im)^6+(re+I*im)^8),re=-3..3,im=-3..3,view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5,0..1.5],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

equation
  (17.141)

Il y quand même quelques chose d'intéressant à essayer... puisque nous sommes maintenant sur un plan, et non plus sur une droite, il nous est possible de faire le développement de Taylor autour d'une singularité equation en déformant la disque convexe en un couronne simplement connexe telle que présentée ci-dessous (la couronne étant aussi la géométrie simplement connexe la plus simple découlant de la déformation d'un disque):

equation
  (17.142)

L'intérêt de ceci est de pouvoir déformer le domaine de convergence sur tout le plan complexe en évitant (contournant) toutes les singularités. Ainsi, contrairement aux séries de Taylor qui ne sont valables que sur un intervalle de l'axe des abscisses, nous aurions un nouveau type de série décrivant une fonction absolument partout, c'est-à-dire avant ET après (donc autour...) les singularités!

Donc évidemment nous allons imposer que dans la couronne déformée ci-dessus la fonction soit toujours holomorphe et analytique (comme dans le disque convexe initial). Avant de déterminer ce sur quoi nous allons tomber (série de Laurent généralisée), il nous d'abord faire un étude de la décomposition d'une intégrale en chemins:


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