COURS MATHEMATIQUE SUR L'ANALYSE COMPLEXE



COURS D'ANALYSE COMPLEXE

1. Applications linéaires

2. Fonctions holomorphes

2.1. Orthogonalité des iso-courbes réelles et complexes

3. Logarithme complexe

4. Intégration de fonctions complexes

4.1. Convergence d'une série

5. Décomposition en chemins

5.1. Chemin inverse

6. Séries de Laurent

7. Singularités

7.1. Singularité apparente

7.2. Singularité essentielle

7.3. Pôles

8. Théorème des résidus

8.1. Pôle à l'infini

Avant de commencer ce chapitre de l'étude du calcul différentiel et intégral dans le cas généralisé de l'ensemble des nombres complexes, je tiens à signaler que je me suis beaucoup inspiré du PDF de E. Hairer (avec son autorisation) au niveau des illustrations. Le présent texte contient également de nombreuses phrases et développements repris, homogénéisés et simplifiés (au risque d'en faire grimper certains aux rideaux...) conformément aux notations et objectifs pédagogiques du reste de ce site internet.

Le sujet de l'analyse complexe est donc l'étude des fonctions equation et de leur différentiabilité (qui est différente de celle dans equation). Les "fonctions holomorphes" (c'est-à-dire différentiable dans un sous-ensemble de equation) nous le verrons possèdent des propriétés surprenantes, élégantes et qui peuvent être réutilisées dans le cas des fonctions de equation et qui ont des applications importantes en physique.

Avant de commencer expliquons l'intérêt de ce domaine de manière simplifiée!

Nous avons étudié dans la section d'Algèbre une partie du calcul différentiel et intégral avec quelques théorèmes utiles et importants pour la physique et l'ingénierie. Cependant, en restant dans equation ou equation la liste des théorèmes s'épuise en quelque sorte et on finit par ne plus trouver grand-chose de pertinent dans la pratique qui permette de simplifier le calcul d'intégrales que l'on retrouve souvent dans l'industrie. Alors, quand on sait que equation  (donc l'ensemble des complexes généralise celui des réels) et qu'on peut construire aussi une correspondance equation comme nous allons le voir, de nouveaux théorèmes apparaissent avec des résultats très intéressants que l'on peut exploiter pour les intégrales dans equation ou equation !! C'est cette raison qui fait que l'ingénieur à besoin de connaître l'analyse complexe!

APPLICATIONS LINÉAIRES

Une bonne introduction à l'analyse complexe et à sa représentation, consiste à étudier dans un premier temps (à titre pédagogique principalement) le cas particulier des applications linéaires complexes. Voyons cela:

Soit equation, un ensemble et equation un autre ensemble. Une fonction qui associe à chaque equation un equation:

equation   (17.1)

est une "fonction complexe" :

equation   (17.2)

Ce qui est important c'est de comprendre et remarquer que nous pouvons identifier:

equation   (17.3)

et:

equation   (17.4)

Nous arrivons alors à deux fonctions de deux variables réelles x, y:

equation   (17.5)

qui sont les coordonnées du point w.

Définition: Une application est dite equation-linéaire si par exemple pour une fonction du type:

equation   (17.6)

c est un nombre complexe fixé et z un nombre complexe quelconque, elle satisfait:

equation   (17.7)

Nous avons vu et démontré dans le chapitre Nombres lors de notre étude des nombres complexes, que la multiplication de deux nombre complexes pouvait être équivalente à une rotation orthogonale suivie d'une homothétie et que cette même multiplication pouvait être représentée sous forme matricielle! Or la transcription sous forme matricielle implique comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Algèbre linéaire automatiquement la linéarité!

Donc la matrice de rotation/homothétie est un exemple d'une application equation-linéaire que nous écrirons dorénavant:

equation   (17.8)

Ce qui se représente typiquement de la manière suivante (on y observe bien une rotation et une homothétie qui conserve les angles et les proportions):

equation
  (17.9)

C'est le fait que les proportions et que les angles soient conservés qui fait d'une fonction complexe qu'elle est equation-linéaire. Dans le cas contraire, nous dirions que la fonction est equation-linéaire.

Donc une matrice equation représente une application equation-linéaire seulement si elle est de la forme:

equation   (17.10)

Voyons des exemples de fonctions equation-linéaire assez remarquables.

exempleExemples:

E1.

equation   (17.11)

En coordonnées réelles cela donne:

equation   (17.12)

Ainsi, regardons ce que fait cette fonction avec les points du plan complexes confondus avec les lignes verticales du plan complexe (ce qui vient alors à poser equation). Nous avons alors:

equation   (17.13)

et en éliminant y, nous trouvons l'équation d'une parabole ou plutôt d'une famille de paraboles (pour plusieurs valeurs de a) qui sont ouvertes à gauche du plan complexe image:

equation   (17.14)

Si nous faisons la même analyse pour les points du plan complexes confondus avec lignes horizontales du plan complexe nous trouvons également, en posant equation, une famille de paraboles (pour plusieurs valeurs de b) qui partent sont ouvertes à droite du plan complexe image.

Voici une représentation du plan complexe image sur lequel nous avons dessiné un chat:

equation
  (17.15)

et si nous regardons le plan complexe pré-image correspondant nous avons alors deux têtes de chats qui apparaissent:

equation
  (17.16)

L'apparition de ces deux têtes de chats vient du fait que cette fonction possède 2 pré-images  possibles pour chaque point image (c'est donc une fonction surjective).

E2. Une autre fonction intéressante est la "transformation de Cayley" utilisée dans certains domaines de la physique et définie par:

equation   (17.17)

ayant comme domaine de définition: equation.

On remarquera qu'il s'agit d'une fonction involutive puisque:

equation   (17.18)

et comme nous avons démontré dans le chapitre de Théorie de la démonstration que toute fonction involutive est à la fois injective et surjective, alors la transformation de Cayley est une fonction bijective.

Cette fonction transforme l'axe des imaginaires en cercle unité (et inversement puisqu'elle est involutive):

equation   (17.19)

où:

equation   (17.20)

satisfont:

equation   (17.21)

Soit:

equation   (17.22)

Il s'agit donc bien de l'équation d'un cercle.

E3. Comme dernière fonction d'exemple, prenons la "transformation de Joukovski" définie par:

equation   (17.23)

Si le domaine de définition donné est construit en coordonnées polaires regardons comment un cercle ou une ellipse se transforme :

equation
  (17.24)

Alors le plan image sera:

equation
  (17.25)

Elle transforme donc respectivement les cercles centrés en 0 et les rayons passant par 0 en une famille d'ellipses et d'hyperboles cofocales. Pour démontrer ce fait, nous utilisons donc les coordonnées polaires complexes (formule d'Euler) vues dans le chapitre sur les Nombres:

equation   (17.26)

et:

equation   (17.27)

Nous avons alors:

equation   (17.28)

d'où:

equation   (17.29)

et nous voyons immédiatement que:

equation   (17.30)

qui a la forme de l'équation d'une ellipse (cf. chapitre de Géométrie Analytique) et nous avons de même:

equation   (17.31)

qui est l'équation d'une hyperbole (cf. chapitre de Géométrie Analytique).

Cette fonction trouve son utilité dans le cas où si nous plaçons astucieusement un cercle (comme dans le cas de la première figure représentant le plan en coordonnées polaires en trait discontinu) passant par le point equation pourrait ressembler à une aile d'avion. Ce qui permet en aérodynamique de transposer l'étude d'un champ de vecteurs du profil d'une aile d'avion à l'étude du profil d'un cercle et de faire par la suite la transformation de Joukovski.

Effectivement, voyons un partie de cela avec Maple:

> assume(x,real,y,real);
> z:=x+I*y;
> F:=1/2*(z+1/z);

> u:=Re(F);
> u:=evalc(u);

> v:=Im(F);
> v:=evalc(v);

> with(plots):with(plottools):
> p1:=disk([0,0],1,color=black):
> p2:=implicitplot({seq(v=b/8,b=-10..10)},x=-4..4,y=-2..2,color=black):
> display([p2,p1],scaling=constrained);

Nous obtenons alors...:

equation
  (17.32)

E3. Faisons un dernier exemple avec la fonction 1/z mais et encore avec Maple. Si vous y saisissez les commandes suivantes (suffisamment explicites de par leur nom pour comprendre ce qu'elles font):

> assume(x,real,y,real);
> z:=x+I*y;
> F:=1/z;

> u:=Re(F);
> u:=evalc(u);

> v:=Im(F);
> v:=evalc(v);

> with(plots):
> p1:=implicitplot({seq(u=a,a=-5..5)},x=-1..1,y=-1..1,numpoints=1000):
> p2:=implicitplot({seq(v=b,b=-5..5)},x=-1..1,y=-1..1,numpoints=1000,color=green):
> display([p1,p2],scaling=constrained);

Nous obtenons!:

equation
  (17.33)

voilà pour ceux qui souhaiteraient faire eux-mêmes des figures de fonctions complexes!


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