FONCTIONS HOLOMORPHES



COURS D'ANALYSE COMPLEXE

1. Applications linéaires

2. Fonctions holomorphes

2.1. Orthogonalité des iso-courbes réelles et complexes

3. Logarithme complexe

4. Intégration de fonctions complexes

4.1. Convergence d'une série

5. Décomposition en chemins

5.1. Chemin inverse

6. Séries de Laurent

7. Singularités

7.1. Singularité apparente

7.2. Singularité essentielle

7.3. Pôles

8. Théorème des résidus

8.1. Pôle à l'infini

La définition de la dérivation par rapport à une variable complexe est naturellement formellement identique à la dérivation par rapport à une variable réelle.

Nous avons alors, si la fonction est dérivable en equation:

equation   (17.34)

et nous disons (abusivement dans le cadre de ce site) que la fonction est "holomorphe" (alors que dans equation on dit "dérivable") ou "analytique" dans son domaine de définition ou dans un sous-ensemble de celui-ci si elle y est dérivable en chaque point.

Remarque:

R1. Une fonction complexe se dérive comme une fonction réelle, il suffit de poser z comme étant x... à condition que ce que nous allons voir dans ce qui va suivre soit respecté!

R2. Au fait si la fonction est holomorphe dans un sous-ensemble du plan complexe, nous verrons un peu plus loin lors de notre étude la converge des séries de puissance qu'il s'agit toujours d'un sous-ensemble ouvert.

D'une manière équivalente, nous disons que la fonction f est equation-différentiable en equation si la limite suivante existe dans equation:

equation   (17.35)

Présentons maintenant un théorème central pour l'analyse complexe appelée "théorème de Cauchy-Riemann"!

Si la fonction:

equation   (17.36)

est equation-différentiable, en equation, alors nous avons:

equation   (17.37)

qui est un peu l'équivalent du théorème de Schwarz dans equation vu dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral. Ces deux dernières relations sont appelées "conditions de Cauchy".

Démonstration:

Puisque:

equation   (17.38)

En choisissant:

equation   (17.39)

avec equation, nous obtenons:

equation   (17.40)

et quand x tend vers une petite valeur dx nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (17.41)

et en choisissant:

equation   (17.42)

avec equation, nous obtenons :

equation   (17.43)

et quand y tend vers une petite valeur dy nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (17.44)

Nous avons donc maintenant:

equation   (17.45)

Or nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral que:

equation   (17.46)

Dès lors:

equation   (17.47)

Soit:

equation   (17.48)

Ce qui peut s'écrire:

equation   (17.49)

Une solution triviale est d'avoir:

equation   (17.50)

Soit la possibilité d'écrire:

equation   (17.51)

En identifiant parties réelles et imaginaires, nous terminons la démonstration!

equationC.Q.F.D.

Donc pour que f soit dérivable au sens complexe (holomorphe) en un point, il suffit qu'elle y soit différentiable comme fonction de deux variables réelles (equation-différentiable en equation) et que ses dérivées premières partielles en ce point vérifient les équations de Cauchy-Riemann.

Par contre, pour qu'elle soit equation-différentiable, il faut que les équations de Cauchy-Riemann soient valables en tous les points du plan complexe (on parle alors parfois de "fonctions entières") et non pas seulement dans un sous-domaine de celui-ci!

Remarque: Géométriquement, nous montrerons plus tard qu'une fonction holomorphe a une interprétation possible dans le sens qu'elle est conforme (conserve les angles).

Signalons donc que si f(z) est equation-différentiable alors elle peut donc être développée en série de Taylor aussi (cf. chapitre de Suites et Séries):

equation   (17.52)

Remarquons une chose importante aussi. Si nous récrivons:

equation   (17.53)

Sous la forme suivante:

equation   (17.54)

Nous disons alors que la fonction f est irrotationnelle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) puisque la première relation peut être vue comme:

equation   (17.55)

ce qui est une analogie non anodine! Enfin, la deuxième relation:

equation   (17.56)

permet également de dire par analogie (mais cela s'arrête à une simple analogie!) que la fonction f est non divergente (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) ce qui est bon moyen mnémotechnique de s'en souvenir.

Mettons également autre chose en évidence. Si nous reprenons les deux équations de Cauchy-Riemann:

equation   (17.57)

et que nous les dérivons encore une fois ainsi:

equation   (17.58)

et que nous sommons ces deux relations nous avons alors:

equation   (17.59)

Il en est de même avec v. Nous avons alors:

equation   (17.60)

Et nous connaissons très bien cette forme d'équations (équation de Maxwell-Poisson dans le chapitre d'Électrodynamique et de Newton-Poisson dans celui d'Astronomie...). Il s'agit d'une équation d'onde appelée aussi "équation de Laplace" (rien à voir avec celle vue lors de notre étude de l'hydrostatique!) parfois et donnée par le Laplacien scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (17.61)

Il est alors de tradition de dire que u est harmonique et nous pouvons arriver bien évidemment au même résultat avec v! Bon évidemment... nous le savions déjà puisque nous avons déjà étudié que dans le chapitre sur les Nombres que la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe pouvait être mises sous forme trigonométrique.

Grâce à cette découverte, Riemann a ouvert l'application des fonctions holomorphes à de nombreux problèmes de la physique, puisque ces dernières équations sont satisfaites par le potentiel gravitationnel (équation de Newton-Poisson dans le chapitre d'Astronomie), par les champs électriques et magnétiques (équation de Maxwell-Poisson dans le chapitre d'Électrodynamique) et par la chaleur en équilibre (par encore d'exemples sur le site) et aux mouvements sans rotationnel de certains liquides ( par encore d'exemples non plus sur le site).

exempleExemple:

Le potentiel d'un dipôle peut être décrit par la fonction holomorphe:

equation   (17.62)

La figure ci-dessous:

equation
  (17.63)

montre les courbes de niveau des fonctions harmoniques u(x, y) et v(x, y) données comme parties réelle et complexe de la  f(z) donnée précédemment.

ORTHOGONALITÉ DES ISO-COURBES RÉELLES ET IMAGINAIRES

Nous allons maintenant démontrer une propriété sympathique que les fonctions qui satisfont les conditions de Cauchy (donc les fonctions analytiques!) ont. Effectivement, rappelez-vous que nous avons vu plus haut la fonction:

equation   (17.64)

qui donnait donc le diagramme suivant:

equation
  (17.65)

Eh bien les fonctions satisfaisant les conditions de Cauchy ont la propriété géométrique simple suivante: les lignes dont la partie réelle de la fonction est constante equation et les lignes dont la partie imaginaire sont equation sont orthogonales les unes aux autres.

En d'autres termes, les fonctions complexes analytiques sont des fonctions de transformation d'un domaine du plan dans un plan où les angles sont conservés. Nous disons alors que la fonction est une "transformation conforme".

Pour la démonstration rappelons que nous avons démontré lors dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le gradient d'une fonction f de equation est donné par:

equation   (17.66)

et dans le cadre de notre étude des isoclines dans le chapitre de Géométrie Différentielle que la vecteur tangent aux isoclines de la fonction f sera toujours parallèle au vecteur du plan:

equation   (17.67)

et que ces deux derniers vecteurs sont perpendiculaires tels que:

equation   (17.68)

Nous avons alors le vecteur (parallèle) tangent equation aux lignes:

equation   (17.69)

donné par:

equation   (17.70)

La normale aux lignes:

equation   (17.71)

est le gradient de v de composantes:

equation   (17.72)

Mais en utilisant les conditions de Cauchy démontrées plus haut, nous avons aussi:

equation   (17.73)

En comparant:

equation et equation   (17.74)

nous voyons donc que equation et equation sont parallèles (colinéaires). Et puisque equation est colinéaires aux isolignes réelles et que equation est perpendiculaire aux isolignes imaginaires nous avons terminé notre démonstration.

Le lecteur pourra donc prendre comme exemple la fonction :

equation  (17.75)

détaillé mathématiquement et schématiquement plus haut! Mais pour changer un peu, prenons un exemple qui nous accompagnera tout au long du reste de ce chapitre et qui est la fonction holomorphe suivante:

equation  (17.76)

>assume(x,real,y,real);
> z:=1/(1+(x+I*y)^2);
> F:=1/z;
> u:=Re(F);
> u:=evalc(u);
> v:=Im(F);
> v:=evalc(v);
> with(plots):
> p1:=implicitplot({seq(u=a,a=-5..5)},x=-5..5,y=-5..5,numpoints=1000):
> p2:=implicitplot({seq(v=b,b=-5..5)},x=-5..5,y=-5..5,numpoints=1000,color=green):
> display([p1,p2]);

equation
  (17.77)

LOGARITHME COMPLEXE

Nous devons trouver pour toutes les fonctions construites dans equation leur équivalent dans equation tout en sachant que si nous réduisons le cas de equation à equation nous devons retomber sur nos pattes!

Pour cela, commençons par la fonction la plus classique et scolaire qui est donc le logarithme.

De la même manière que nous avions construit le logarithme comme étant par définition (!) la fonction réciproque de l'exponentielle naturelle equation dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle nous partons d'abord de:

equation   (17.78)

z est donc un nombre complexe et nous allons définir le logarithme complexe qui doit se réduire au logarithme naturel si z n'a pas de partie imaginaire!

Donc par définition le logarithme complexe sera:

equation   (17.79)

et sur l'ensemble de ce site, le logarithme complexe sera différencie du logarithme réel par un L majuscule!

Ecrivons z et w sous la forme d'Euler vue dans le chapitre sur les Nombres:

equation   (17.80)

Nous avons alors:

equation   (17.81)

Par correspondance nous trouvons immédiatement:

equation   et     equation   (17.82)

avec equation. Il vient alors:

equation   (17.83)

Donc:

equation   (17.84)

ou autrement écrit:

equation   (17.85)

Donc si w n'a pas de partie imaginaire nous retombons bien sur nos pattes puisque arg(w) devient nul.

Une grosse différence est mise en avant donc entre le logarithme des nombres complexes et réels: ces premiers peuvent prendre plusieurs valeurs à cause de l'argument.

Nous vérifions bien par ailleurs maintenant que:

equation   (17.86)


page suivante : 4. Intégration de fonctions complexes