DÉCOMPOSITIONS EN CHEMINS



COURS D'ANALYSE COMPLEXE

1. Applications linéaires

2. Fonctions holomorphes

2.1. Orthogonalité des iso-courbes réelles et complexes

3. Logarithme complexe

4. Intégration de fonctions complexes

4.1. Convergence d'une série

5. Décomposition en chemins

5.1. Chemin inverse

6. Séries de Laurent

7. Singularités

7.1. Singularité apparente

7.2. Singularité essentielle

7.3. Pôles

8. Théorème des résidus

8.1. Pôle à l'infini

Les intégrales curvilignes comme celles données précédemment peuvent aussi être écrites sous une autre forme assez classique et souvent utilisée dans la pratique.

Voyons cela. D'abord, nous venons de démontrer dans le cas particulier d'une fonction holomorphe que:

equation   (17.143)

mais un chemin fermé peut être vu comme un chemin ayant un aller et un retour:

equation
  (17.144)

Nous avons alors:

equation   (17.145)

Et maintenant viens ce qui nous intéresse.... pour cela concentrons-nous sur une des intégrales curviligne du type:

equation   (17.146)

Nous savons que tout nombre complexe z du type:

equation   (17.147)

peut être écrit sous la forme:

equation   (17.148)

et pour intégrer sur un chemin, rien ne nous empêche d'en choisir un où r serait fixe (le module) et equation variable (nous n'aurions pas pu faire cela avec la première forme d'expression car en faisant varier que la partie imaginaire ou réelle nous ne pouvons pas obtenir de courbe alors que cela est possible avec la forme d'Euler d'un nombre complexe)!

Nous avons alors:

equation   (17.149)

Nous pouvons dès lors écrire:

equation   (17.150)

et comme:

equation   (17.151)

d'où:

equation   (17.152)

ce que nous retrouvons souvent sous la forme suivante dans la littérature:

equation   (17.153)

Cette relation va nous être maintenant utile à démontrer un résultat nécessaire pour notre étude de la couronne.

CHEMIN INVERSE

Si C est une courbe allant d'un point P à un point Q,  nous notons alors equation la même courbe mais parcourue de Q à P.

Paramétrisons equation:

Si C(t) est la courbe définie sur [a, b] nous définissons equation la courbe définie sur [a, b] par:

equation   (17.154)

En effet, nous avons alors bien avec cette paramétrisation:

equation et equation   (17.155)

et lorsque t croit de a à b, a + b - t décroît de b à a. equation n'est donc que C mais parcourue dans le sens inverse.

Nous avons alors en utilisant la dernière démonstration:

equation   (17.156)

Posons:

equation   (17.157)

d'où:

equation   (17.158)

Nous avons alors:

equation   (17.159)

Donc si equation et C sont les chemins d'une même fonction mais parcourues dans le sens inverse, nous avons en reprenant notre notation conventionnelle (attention dans le deuxième terme il est implicite que la paramétrisation est différente du premier!):

equation   (17.160)

Soit:

equation   (17.161)


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