VALEURS ET VECTEURS PROPRES



COURS SUR L'ALGÈBRE LINÉAIRE

1. Systèmes linéaires

2. Transformations linéaires

3. Matrices

3.1. Opérations sur les matrices

3.2. Types de matrices

3.3. Changements de base

3.4. Déterminants

3.4.1. Dérivée d'un déterminant

3.4.2. Inverse d'une matrice

4. Valeurs et vecteurs propres

4.1. Matrices de rotation

4.2. Théorème spectral

Définition: Une "valeur propre" est par définition (nous retrouverons cette définition dans l'introduction à l'algèbre quantique dans le cadre du chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) une valeur equation appartenant à un corps K tel que soit une matrice carréeequation nous avons :

equation   (13.167)

et réciproquement qu'un vecteur equation est un "vecteur propre" si et seulement si :

equation   (13.168)

L'avantage majeur de ces concepts sera la possibilité d'étudier une application linéaire, ou tout autre objet lié à une représentation matricielle, dans une représentation simple grâce à un changement de base sur laquelle la restriction de A est une simple homothétie.

En d'autres termes: lorsqu'une transformation (application d'une matrice) agit sur un vecteur, elle modifie la direction de ce vecteur excepté pour certaines matrices particulières qui ont des valeurs propres!

Ainsi, l'ensemble des valeurs propres d'une matrice equation est appelé "spectre de A" et satisfait au système homogène :

equation   (13.169)

 ou (peu importe cela revient au même!) :

equation   (13.170)

equation (aussi notée equation) est une matrice diagonale unitaire (et donc aussi carrée) de dimension n . Ce système nous le savons (démontré plus haut) admet des solutions non triviales, donc equation ou equation, si et seulement si (nous verrons de nombreux exemples en physique) :

equation   (13.171)

Le déterminant equation est donc un polynôme en equation de degré n et peut donc avoir aux maximum n solutions/valeur propres comme nous l'avons démontré lors de notre étude des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) et est appelé "polynôme caractéristique" de A et l'équation equation "équation caractéristique de A" ou "équations aux valeurs propres".

Pour la petite paranthèse, il est sympathique de remarquer que nous avons toujours dans le développement du equation la trace de la matrice tr(A) et le déterminant det(A) qui apparaissent. Voyons deux exemples de cela:

equation   (13.172)

et:

equation   (13.173)

Si nous regardons equation comme une application linéaire f, puisque ce sont les solutions non triviales qui nous intéressent, nous pouvons alors dire que les valeurs propres sont les éléments equation tel que :

equation   (13.174)

et que le Kernel constitue l'espace propre de A de la valeur propre equation dont les éléments non nuls sont les vecteurs propres!

En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'applique donc à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation/homothétie est donc la valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres, réunis en un "espace propre".

Une autre manière de voir la chose :

- Un vecteur est dit "vecteur propre" par une application linéaire s'il est non nul et si l'application ne fait que modifier sa taille sans changer sa direction.

- Une "valeur propre" associée à un "vecteur propre" est le facteur de modification de taille, c'est à dire le nombre par lequel il faut multiplier le vecteur pour obtenir son image. Ce facteur peut être négatif (renversement du sens du vecteur) ou nul (vecteur transformé en un vecteur de longueur nulle).

- Un "espace propre" associé à une "valeur propre" est l'ensemble des vecteurs propres qui ont une même valeur propre et le vecteur nul. Ils subissent tous la multiplication par le même facteur.

Remarque: En mécanique, nous étudions les fréquences propres et les modes propres des systèmes oscillants (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). En analyse fonctionnelle, une fonction propre est un vecteur propre pour un opérateur linéaire, c'est-à-dire une application linéaire agissant sur un espace de fonctions cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle). En géométrie ou en optique, nous parlons de directions propres pour rendre compte de la courbure des surfaces (cf. chapitre de Géométrie Non- Euclidiennes). En théorie des graphes, une valeur propre est simplement une valeur propre de la matrice d'adjacence du graphe (cf. chapitre de Théorie Des Graphes).

MATRICES DE ROTATION

Maintenant que nous avons vu ce qu'était une valeur et un vecteur propre, revenons sur un type particulier de matrices orthogonales qui nous seront particulièrement utiles dans notre étude des quaternions (cf. chapitre sur les Nombres), des groupes et symétries (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste) et de la physique des particules (cf. chapitre de Physique des Particules Elémentaires).

Nous notons, selon ce qui a été vu dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste, O(n) l'ensemble des matrices equation à coefficients dans equation orthogonales, c'est-à-dire vérifiant :

equation   (13.175)

que nous notons aussi pour rappel :

equation   (13.176)

Les colonnes et les lignes d'une matrice orthogonale forment des bases orthonormées de equation pour le produit scalaire habituel.

Le déterminant d'une matrice orthogonale vaut equation, en effet equation entraîne :

equation   (13.177)

Nous notons SO(n) l'ensemble des matrices orthogonales de déterminant 1. Montrons en trois points que si equation alors A est la matrice d'une rotation par rapport à un axe passant par l'origine.

1. Toute valeur propre d'une matrice de rotation A (réelle ou complexe) est de module 1. En d'autres termes, la rotation conserve la norme :

En effet, si equation est une valeur propre de vecteur propre equation, nous avons :

equation   (13.178)

ou en notant le produit scalaire avec la notation habituelle du site :

equation   (13.179)

donc equation.

2. Il existe une droite dans l'espace qui sert d'axe de rotation et tout vecteur sur cette droite ne subit aucune rotation :

Notons equation un vecteur propre normé de valeur propre 1 (c.à.d un vecteur tel que equation). Comme le lecteur l'aura peut-être compris (lire jusqu'au bout!), la droite engendrée par equation que l'on notera equation constitue notre axe de rotation.

En effet, tout vecteur sur equation est envoyé sur lui-même par A. Dans ce cas l'espace orthogonal noté equation qui est de dimension deux est le plan perpendiculaire à l'axe de rotation.

3. Tout vecteur perpendiculaire à l'axe de rotation reste, après une rotation, perpendiculaire à cet axe. En d'autres termes, equation est invariant par A

En effet, si equation alors, equation et pour tout equation:

equation   (13.180)

c'est-à-dire equation. Donc equation est invariant par A.

En fin de compte, la restriction de A à l'espace equation est une rotation.

exempleExemple :

Soit equation (voir le chapitre sur les nombres où la rotation par les complexes est démontré) une valeur propre (dont le module est de 1 comme nous l'avons vu lors de notre étude des nombres complexes) de A restreinte à equation.

Notons equation un vecteur propre avec equation de sorte que :

equation   (13.181)

avec (comme nous l'avons déjà montré dans notre étude des nombres complexes) :

equation   (13.182)

où nous savons de par notre étude des nombres complexes, que les vecteurs equation forment une base orthogonale (pas nécessairement normée!) de equation.

Remarque: Il est par ailleurs aisé de vérifier que cette matrice est orthogonale (si ce n'est pas le cas contactez-nous et ce sera détaillé!).

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